数学物理方法第十二章
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
梁昆淼 第12章 数学物理方法
T
T
vu dS vudV vudV
T
T
上述两式相减得到
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
第二格林公式
表示沿边界
n
的外方向求导数
6
三 泊松方程的解用点源函数与边界条件表示——解出积分公式 1. 泊松方程的求解：
T K
T K
9
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0)]dV G(r, r0) f (r )dV
T K
T K
应用第二类格林
公式将左边的体 积分化为面积分
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
(G u u G)dS (G u u G)dS Gf dV (3)
u(r )乘以 G(r , r0 ) (r r0 ) u(r )G(r , r0 ) u(r ) (r r0 ) (2)
8
(1)—(2)式
G(r , r0 )u u(r )G(r , r0 ) G(r , r0 ) f (r ) u(r ) (r r0)
第十二章 格林函数法 (Method of Green Function)
Introduction
行波法
无界空间波动问题，有局限性
分离变量法 格林函数法
各种定解问题（有界）， 其解为无穷级数
直接求特解，各种定解问题， 解一个含有格林函数的有限积分
1
格林（Green）函数：又称为点源影响函数，是数学物理中的
(大学教材)数学物理方法大纲
数学物理方法大纲
第一章复数与复变函数
第一节复数及运算
第二节区域
第三节复变函数
第四节复变函数的极限和连续性
第二章解析函数
第一节导数
第二节解析函数
第三节解析函数的变换性质
第四节平面标量场
第三章复变函数的积分
第一节积分的概念及性质
第二节 Cauchy定理
第三节原函数与不定积分
第四节 Cauchy积分公式
第四章级数
第一节复数项级数
第二节幂级数
第三节 Taylor级数表示
第四节 Laurent级数表示
第五节孤立奇点的分类
第五章留数定理及其应用
第一节留数及留数定理
第二节应用留数定理计算实函数的积分
第六章 Fourier变换
第一节 Fourier级数
第二节 Fourier积分与Fourier变换
第三节 -函数
第七章 Laplace变换
第一节 Laplace变换
第二节 Laplace变换之应用
第八章数学物理方程及定解问题
第一节波动方程及定解条件
第二节热传导方程与扩散方程
第三节位势方程。
数学物理方法总结
∞
为了求得 Tn (t ) ，将上解代入泛定方程得
14
Tn (t ) + n Tn (t ) = 0
' 2
解得 Tn (t ) = An e
∞ n =1 =1
− n 2t
− n 2t
∞
所以 u ( x, t ) = ∑ An e 代入初始条件可得
sin nx
n
∑A
n =1
sin nx = sin x + 2 sin 3 x
1 = [arctg ( x + at ) − arctg ( x − at )] 2a
用拉普拉斯变换法求解方程
6
y '' (t ) − 2 y ' (t ) + y (t ) = t 2 e t y (0) = 0, y ' (0) = 0
解：设
(t ≥ 0)
L[ y (t )]
'
=
10
解：设分离变数形式的解为
u ( x, t ) = X ( x )T (t )
X '' + λX = 0 代入泛定方程和边界条件，可得 X (0) = 0, X (π ) = 0 T ' + λT = 0
X (x ) 的方程和条件构成本征值问题，如果
λ < 0或 λ = 0
X ( x ) = 0 ，只能得无意义的解 ，故排除。
2
12
线性叠加得满足泛定方程和边界条件的解，原定解问题的形式解为
u n ( x, t ) = ∑ Ae
n =1
∞
− n 2t
sin nx
将形式解代入初始条件得 比较系数后得
数学物理方法--格林函数法
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
数学物理方法 刘连寿著 第三版 课后答案set12
2 ∞ ⎧ 2 ⎪ A(k ) = ∫0 f (ξ ) cos kξ dξ 令A(k)= cc (k ) π ⎨ π ⎪ ⎩cs (k ) = 0 则 ⎧c (k ) = ∞ f ( x) cos kxdx ∫0 ⎪ c ⎨ 2 ∞ ⎪ f ( x) = ∫ cc (k ) cos kxdk π 0 ⎩
{
0
}
2
+ (α + iω )
2
12.1.3．求函数 f ( x ) = 解： c( k ) =
1 （a>0）的傅立叶变换。 a + x2
2
∫
∞
−∞
f ( x)e − ikx dx = ∫
e − ikx dx −∞ a 2 + x 2
∞
为应用留数定理，要分别讨论 k<0 及 k>0 情形。
(1)k < 0 c(k ) = ∫ = 2π i
7．求 f ( x ) = e （一） f ( x ) =
− ax
傅立叶正余弦变换，其中，a>0。
∞
π∫
2
0
[cc ( k )cokx + cs ( k ) sin kx]dk
解： f ( x)既不是奇函数也不是偶函数，则cc 及cs均不为零。
cs (k ) = ∫ e − ax sin kxdx
0
∼ k2 π
直接积分也可以得到相同的结果。
方法二：
∼
f ( k ) = ∫ cos β x 2 e − ikx dx
−∞ k k2 k k2
∞
1 ∞ iβ x 2 −ikx 1 ∞ − iβ x 2 −ikx 1 ∞ i β ( x − 2 β ) 2 −i 4 β 1 ∞ i β ( x + 2 β )2 +i 4 β = ∫ e dx + ∫ e dx = ∫ e dx + ∫ e dx 2 −∞ 2 −∞ 2 −∞ 2 −∞
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第12章第12.1节一、数学物理问题分为正向问题和逆向问题。
正向问题，即为已知源求场；逆向问题，即为已知场求源。
前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理所讨论的主要内容。
二、数学物理方程的类型和所描述的物理规律多数为二阶线性偏微分方程1.振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程。
2.热传导问题和扩散问题满足热传导方程。
3.静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程。
三、三类典型的数学物理方程1.双曲型方程（以波动方程为代表）错误！未找到引用源。
2.抛物型方程（以热传导方程为代表）错误！未找到引用源。
3.椭圆型方程（以泊松方程为代表）错误！未找到引用源。
当f(x,y,z)=0时，退化为拉普拉斯方程。
四、三类数学物理方程的一种最常用解法分离变量法 -> 偏微分方程 -> 标准的常微分方程 ->标准解，即为各类特殊函数第12.2节一、振动方程1.弦的横振动考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．确定弦的微分方程的方法：1)要研究的物理量是弦沿垂直方向的位移u(x,t)2)被研究的物理量遵循牛顿第二定律。
3)按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）其中必须注意两点：（a）由于数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．（b）由于物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．根据牛顿第二定律F =ma运动的方程可以描述为：错误！未找到引用源。
仅考虑微小的横振动，夹角θ1 θ2为很小的量，cosθ1≈cosθ2≈1Sinθ1≈tgθ1sinθ2≈tgθ2∆s≈ds≈∆x=dx注意到:错误！未找到引用源。
故对本题有错误！未找到引用源。
这样，(12.2.1a)和(12.2.1b)简化为错误！未找到引用源。
因此在微小横振动条件下，可得出T2=T1，弦中张力不随x 而变， （实质是有变化的）可记为T=T2=T1 故有错误！未找到引用源。
变化量 dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立错误！未找到引用源。
这样，弧ABC 段的运动方程就成为错误！未找到引用源。
即g x u a t u-∂∂=∂∂22222 其中 错误！未找到引用源。
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式右端的重力加速度项可以忽略．（2）由此得到下列齐次偏微分方程：错误！未找到引用源。
☆称式☆为弦的自由振动方程（3）如果在弦的单位长度上还有横向外力F( x, t )作用，则式 ※应该改写为错误！未找到引用源。
⊙式中 f(x,t)=F(x,t)/ρ称为力密度，为t时刻作用于x 处单位质量上的横向外力式⊙称为弦的受迫振动方程.2、杆的纵振动假设E为弹性模量,ε为杆的相对伸长量∂u/∂x由胡克定律f=kx 知轴向张应力σ=Eε杆的横截面上的轴向张应力F=σS=ES∂u/∂x故对所研究的这一小段杆，其质量为ρ0S∆x其运动方程由牛顿第二定律可得：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
把系数整理，并令a=错误！未找到引用源。
，则得到杆的纵振动方程：错误！未找到引用源。
讨论：(1)对于均匀杆，E 和ρ是常数，方程错误！未找到引用源。
与弦的自由振动方程具有完全相同的形式．（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程完全一样，只是其中f( x, t )应是（3）杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力。
3. 传输线方程（电报方程）一般的传输线方程:错误！未找到引用源。
(1)无损耗线错误！未找到引用源。
(2)无失真线错误！未找到引用源。
其中错误！未找到引用源。
(3)无漏导，无电感线错误！未找到引用源。
4.膜的横振动方程错误！未找到引用源。
其中错误！未找到引用源。
二、热传导类型方程(推导一般固体的热传导方程时，需要利用能量三、守恒定律和关于热传导的傅里叶定律。
)一维热传导问题：一根长四、为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。
其热传导系数为 k，五、比热为c，线密度为ρ。
求杆内温度变化的规律。
分析：设杆长方向六、为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm= ρdx，七、热容量为cdm。
设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度八、分布为 u(x,t)，则由能量守恒定律cdmdu=dQcρdx du =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有错误！未找到引用源。
由热传导定律q(x,t) = -ku x(x,t)代入前面的式子，得到cρu t =ku xxu t =a2u xx推广1这里直接由一维推广到三维的情况：此时温度u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：cρu t(x,y,z,t)=k(u xx+u yy+u zz )cρu t( 错误！未找到引用源。
,t )=k ∇2 u(r ,t )⇒ u t( r , t ) =a2∇2u(r ,t ) 其中 a2=错误！未找到引用源。
推广2情况：内部有热源(或侧面不绝热)分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt方程：cρu t= ku xx+Fu t= a2u xx+ f(x,t)，其中a2=k/cρ， f=F/cρ推广3情况：细杆不均匀分析：热传导系数k，比热c 或线密度ρ为x的函数方程：c( x )ρ( x )u t=错误！未找到引用源。
[k(x)错误！未找到引用源。
]推广4情况：扩散问题分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数 k，质量守恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律方程：u t = Du xx-----无外部影响u t =a2u xx+ F ----有外部影响三维扩散问题，类似三位热传导问题错误！未找到引用源。
九、拉普拉斯方程（或泊松方程）------稳定场方程1.概念产生：在热传导或扩散过程中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。
形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。
2.分类无外界作用情况拉普拉斯方程： u t(r ,t )=a2∇2u(错误！未找到引用源。
, t ) = 0有外界作用情况泊松方程：u t(r ,t)=a2∇2u(r ,t) -f(x,y,z)=03.静电场的电势方程直角坐标系中泊松方程为错误！未找到引用源。
若空间 V中无电荷，即电荷密度ρ=0，上式成为错误！未找到引用源。
称这个方程为拉普拉斯方程.4.稳定温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
第12.3节一、初始条件初始位置，用 u |t=0 = f(x)表示；初始速度，用 u t|t=0 = g(x)表示。
典型例子一根长为 l 的弦，两端固定于x=0 和x=l ,在距离坐标原点为b 的位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有u t (x,t)|t=0 =u t(x,0)=0初始位移如图所示错误！未找到引用源。
例一根长为l的杆以常速v沿x轴方向运动，在某时刻在杆的中点处被突然钳住停止运动，试求其振动。
解：这是杆的振动问题，其振动方程为：错误！未找到引用源。
如果取杆中点突然停止运动的时刻为初始时刻，则该问题的初始条件是：u|t=0 =0 u t|t=0 = v二、边界条件1.振动问题的边界条件举例对右端边界单元由牛顿第二定律错误！未找到引用源。
因此令∆x→0 对上式取极限，即得x=l时的边界条件ESu x(l,t)+ku(l,t)=0对左端边界单元由牛顿第二定律错误！未找到引用源。
因此令∆x→0 对上式取极限，即得x=l时的边界条件ESux(0,t)-ku(0,t)=0显然，若杆的两端固定，则边界条件为：u(0,t)=u(l,t)=0若杆的两端按给定的规律移动，则边界条件为：u(0,t)=f(t)u(l,t)=g(t)若杆的两端自由，则边界条件为：u x (0,t)=u x(l,t)=0若杆的两端弹性固结，则边界条件为：ESu x(0,t)−ku(0,t)=0ESu x(l,t)+ku(l,t)=0例.考察一端固定，一端系有重物的竖直杆,在纵振动时的边界条件。
解：坐标系如图，考察x=l端的边界单元与重物W的情形。
对边界单元(l−∆x,l)有错误！未找到引用源。
对于重物W有错误！未找到引用源。
其中W是重力，x c是重物质心的坐标当∆x→0时，由两方程取极限，可得边界条件：错误！未找到引用源。
在x=0端的边界条件，显然为：u(0,t )=0 三、热传导方程的边界条件ⅰ若杆的两端的温度按给给定规律变化时，边界条件为：u(0,t)=f(t) u(l,t)=g(t)ⅱ若杆的两端是绝热的时，边界条件为：u x(0,t)=u x(l,t)=0ⅲ若杆的两端表面与外界通过对流方式进行热交换时，边界条件为：U x+hu(l,t)=0 u x−hu(0,t)=0其中错误！未找到引用源。
,α是热交换系数，κ是传热系数ⅳ若杆的表面与外界通过辐射方式进行热交换时，边界条件为：u x(0,t)=c(u4−u04)|x=0其中u表示表面温度，u0表示外界温度四、稳恒问题边界条件分为三类:1、在边界上直接给定未知函数u,即为第一类边界条件．u|Σ=f1(Σ,t)2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件．错误！未找到引用源。
3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件.错误！未找到引用源。
注、以上三类边界条件都是线性的，f=0时为齐次线性，否则为非齐次线性。
五、连接条件边界条件的类型除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边界条件之外，还有其它边界条件，如自然边界条件，衔接条件, 周期性条件和无边界条件．衔接条件：所研究的物体材质不同，在不同材质的区域建立的数学物理方程不同，为了将他们联系起来所需要的一些条件就是连接条件。
第12.4节定解问题的适定性(1) 解的存在性看所归结出来的定解问题是否有解；(2) 解的唯一性看是否只有一个解(3) 解的稳定性当定解问题的自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性.。