《数学物理方法》第六章_勒让德函数
勒让德变换公式
勒让德变换公式以勒让德变换公式是数学分析中的一种重要工具，它在信号处理、泛函分析、微分方程等领域有着广泛的应用。
该公式是由法国数学家亨利·勒让德于1811年提出的，可以将函数在不同的域之间进行变换，从而帮助我们更好地理解和处理问题。
在介绍以勒让德变换公式之前，我们需要先了解一些基本概念。
在数学中，函数是描述两个变量之间关系的一种工具。
我们可以将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以是连续的，也可以是离散的。
而变换则是将一个函数通过某种方式转换成另一个函数的过程。
以勒让德变换公式是一种线性变换，它可以将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）。
在时域中，函数表示随时间变化的信号，而在频域中，函数表示信号的频率分布。
这种变换对于处理信号和波动问题非常有用，可以帮助我们更好地理解信号的特性和行为。
以勒让德变换公式可以用以下形式表示：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，F(s)表示在频域中的函数，s是复数变量，f(t)表示在时域中的函数，t是实数变量。
这个公式可以将时域中的函数f(t)通过积分的方式转换到频域中的函数F(s)。
通过这个公式，我们可以将一个复杂的时域函数转换成频域中的简单函数，从而更好地分析和处理问题。
以勒让德变换公式具有很多重要的性质和应用。
首先，它是线性的，也就是说，对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，以勒让德变换公式可以将它们的线性组合转换为频域中的线性组合。
其次，它是可逆的，也就是说，我们可以通过逆变换将频域中的函数转换回时域中的函数。
这使得我们可以在时域和频域之间自由切换，根据具体问题选择更合适的分析方法。
以勒让德变换公式在信号处理中有着广泛的应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和能量分布，从而帮助我们更好地理解和处理信号。
例如，在音频处理中，我们可以将声音信号通过以勒让德变换公式转换到频域中，然后进行滤波、降噪等处理，最后再将处理后的信号通过逆变换转换回时域，从而获得清晰的声音效果。
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
勒让德多项式及其应用
勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。
作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。
勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。
具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。
这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。
此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。
二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。
例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。
此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。
勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。
三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。
在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。
在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。
此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。
四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。
例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
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6
定理1
在常点z0的邻域|z- z0|<R内，方程(6. 1. 1)
有唯一满足初始条件初始条件w(z0) = C0 ,
wʹ(z0) = C1 的幂级数解 (6.1.2)
7
定理2 在正则奇点z0的邻域|z-z|<R内，方程的 解为
C0≠0 ， D0≠0。 r1和r2称为方程的指标方程
8
指标方程的确定：将
6.2.1 勒让德多项式的微分表达式—罗德里格 斯公式
证明 从罗德里格斯公式右边出发来证明． 二项式展开定理为
33
对(x2-1)l求l阶导数后除以(2ll!)得到
为何求和指标的最大值为[l/2]，因为对于指 数(2l-2s)＜l的项，在求l 阶导数后均为零，故： 只含(2l-2s)≥l的项，即：s≤ l/2的项．这样当 l 为偶数时，l/2为最大值； l为奇数时，(l-1)/2 为最大值。用简写符号表示就是 [l/2]
17
这表明，在x=±1处，两级数是发散的．
18
物理量总是有界的
因此，在求解勒让德方程时，要求解在 x=±1有界，并把“解在x=±1有界”的 条件称为勒让德方程的自然边界条 件． 为了得到在闭区间[-1,1]内有界的解，必 须研究在什么条件下，这两个无穷级数 才能中断为多项式.
19
5. 本征值与本征函数 从系数递推公式(6.1.9), 若l为偶数：l =2n(n为 正整数)，则级数y0(x) 将到x2n项为止．将 k=l=2n代入式(6.1.9)，易见x2n+2项的系数为
34
在等式右边的分子分母中同乘以(l-2s)！，有
罗德里格斯公式得证．
35
§6.2.2 勒让德多项式的母函数
若函数w(x,t)的泰勒级数为
则w(x,t)称为Pl(x)的母函数(或生成函数)． 勒让德多项式的母函数为
式中规定多值函数的单值分支为.
36
将x看作参数,w(x,t)作为t的函数在|t|<1解析① 今在|t|<1 的圆内将它展开为泰勒级数，可证明 展开系数为 证明 (1)在|t|<1内，将w(x,t)展开为泰勒级数
§6.1 勒让德方程与勒让德多项式
本节首先介绍二阶线性齐次常微分方程 的级数解法，随后求出勒让德方程的通 解，舍去不符合有界性条件的特解，最 后规定最高次幂项系数，即得勒让德多 项式．
§6.1.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法
二阶线性齐次常微分方程的标准形式是
式中w(z)是待求的复变函数; p(z)和q(z)是已 知的复变函数，称为方程的系数． 一般来说，方程在复平面的不同区域的解可 以有不同的形式．通常的间题是：求方程在 某点z0的邻域内满足一定条件[如初始条件 w(z0) = C0 , wʹ(z0) = C1 ]的解．
代入方程(6.1.1)，由最低次幂项的系数和为 零得到r的方程(称为指标方程)，方程的两个 根就是r1和r2(取r1≥r2)． w2(z) 含或不含对数项，取决 r1和r2是否为零 与整数；系数a是否为零而定
9
定理1和定理2的证明见有关专著①．
本篇将用两个非常重要的例子说明二阶线 性齐次常微分方程的级数解法．
50
51
作业- §6.2
Group A
1. 2.
第132页
Group B
1. 2.
Group C
1. 2.
6.2.3 6.2.4
6.2.2 6.2.4
6.2.1 6.2.4
52
§6.3 勒让德多项式的 正交性与完备性
在介绍“正交性”含义的基础上，证 明勒让德多项式的正交性； 计算勒让德多项式的模, 导出勒让德多 项式的正交归一关系式； 在介绍“完备性”含义的基础上，给 出以{Pl(x)}为基将函数f (x)展开为广义 傅里叶级数的条件，以及计算广义傅 里叶系数的公式
式中u=x在曲线Cʹ的内部． 2.拉普拉斯积分
40
拉普拉斯积分证明
在施列夫利公式中，取u平面的回路Cʹ为以x 为圆心 ， 为半径的圆周，则
41
将以上各式代人施列夫利公式，即
得拉普拉斯积分
42
【例6.2.1】试由拉普拉斯积分证明勒让 德多项式的特殊值
Pl(1) =1,
Pl(-1) = (-1)l
l l=0 l -1
l -1
- 2 x Pl ( x ) t
l=0
+
l P ( x )t
l l=0
l -1+ 2
=
l Pl ( x ) t
-
l=0
( 2 l + 1) xP l ( x ) t +
l l
l=0
( l + 1) Pl ( x ) t
l
l +1
l=0
( l + 1) Pl + 1 ( x ) t -
4
级数解法对方程没有特殊的要求．它的 基本方法是：把方程的解表示为以z0为 中心、带有待定系数的幂级数，将这个 幂级数代入方程及定解条件，求出所有 待定系数即可．
方程(6.1.1)的解的形式由方程的系数p(z) 及q(z)的解析性决定．
5
常点、正则奇点、非正则奇点
如果p(z)和q(z)在z0点的邻域解析， z0称为方 程的常点； 如果z0最多是：ⅰ)p(z)的一阶极点，ⅱ)q(z) 的二 阶极点， z0称为方程的正则奇点； 注： [ⅰ)或ⅱ)]=[ ⅰ)和ⅱ)] 如果z0不满足上面两种条件，则 z0称为方程 配非正则奇点。
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+5, C2n+7, …均为 零。 y1(x)的最高次幂为x2n+1= xl ．类似地， 取常数C0=0，则勒让德方程的解为
21
因此，无论 l 为偶数还是奇数，勒让德
方程的解都
中断为 l 次的多项式(6.1.
16)或式(6. 1.17)，因而在x=±1保持有 界．这表明本征值l=l(l+1)，l=0,1,2,…
27
勒让德多项式的函数曲线如图6. 1所示
28
由式(6. 1.20)可以直接得到关于Pl(x)的奇偶性 及若干特殊值：
(1) 奇偶性
Pl(-x) ＝(-1)l Pl(x)
(6.1.22)
这直接用-x替代式(6. 1.20)中的x，利用 (-x)l-2s =(-1)l (-x)l-2s 可得．
29
其中al为泰勒系数, C为在|t|<1内包围t=0点的回路
①奇点
的|t12|<1
37
(2)为证明al =Pl(x)，作变换(u为复变数)
38
代入al ，便有
其中u平面的曲线Cʹ是在式(6.2.5)的变换下t平面曲线 C的像．当t=0时，由式 (6.2.6)得到u=x.既然t=0在 曲线C的内部，因此u=x在曲线Cʹ的内部． (3)应用高阶导数公式计算式(6.2.7)的积分
13
2. 系数递推公式
由此得系数递推公式
14
3. 由递推公式求系数，得通解
15
勒让德方程的通解可表示为
它们是勒让德方程的两个线性无关的特解．
16
4. 有界解的要求，自然边界条件
现在以y0(x)为例，求级数的收敛半径． 令u=x2，则
级数Y0(u)相邻两项的系数分别为Cn和Cn-2．由 式(6. 1. 10)可得
6.2.11)
解 分别将x =±1代入拉普拉斯积分，得
43
【例6.2.2】试由拉普拉斯积分证明 |Pl(x)|d1 (6.2.12)
证明 将x = cosq 代入拉普拉斯积分，并利用 复变积分的性质5，便有
44
6.2.4 勒让德多项式的递推公式
在积分过程中, 常用到以下几个递推公式(l 1):
x Pl ( x ) t l
l=0
Pl ( x ) t
l +1
l=0
l Pl ( x ) t
x Pl ( x ) t l
Pl 1 ( x ) t -
l
l =1
l =1
l =1
lP l ( x ) = x Pl ( x ) - Pl 1 ( x ) 48
49
其他证明方法？
二阶线性齐次常微分方程 (1-x2)y"(x)-2xyʹ(x)-l(l+1)y(x)＝0
-1<x<1
(6.1.6)
称为勒让德方程．
方程中的 l(l+1)=l 是待定参数
y(x)是待求函数．
11
在x=0的邻域求勒让德方程的有界解．
在有界性条件下求解勒让德方程的问题又称 为勒让德方程的本征值问题．方程中的参数 l(l+1)=l称为本征值，方程的解y(x)称为本征 函数．
重复应用式(6. 1. 9)，可证C2n+4, C2n+6, …均为 零。 y0(x)的最高次幂为x2n= xl．
根据物理量是有限的，舍去不合物理意义的 解，取常数C1 =0，则勒让德方程的解为
(6.1.16)
20
同理，若l为奇数：l=2n+1(n为正整数)，则级 数y1(x)到x2n+1项为止．将k=l=2n+1代入式(6. 1. 9)，即得x2n+3项的系数为