第六章. 勒让德函数
关联勒让德函数
勒让德函数（Legendre functions）是一类特殊的数学函数，它们是勒让德微分方程的解。
勒让德函数在物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，特别是在描述球形对称问题和电势分布中常被使用。
勒让德函数包括勒让德多项式和勒让德球谐函数两种形式。
1. 勒让德多项式（Legendre polynomials）通常表示为Pn(x)，其中n是多项式的次数。
勒让德多项式具有以下特点：
-是关于自变量x的多项式；
-是正交函数，即在一定区间上的内积为零；
-满足勒让德微分方程。
2. 勒让德球谐函数（Legendre spherical harmonics）通常表示为Ylm(θ, φ)，其中l和m 是整数，θ和φ是球坐标系中的角度。
勒让德球谐函数具有以下特点：-描述球形对称问题中的解；
-与勒让德多项式有关，也涉及球坐标系的角度。
勒让德函数可以通过递推关系、积分定义和级数展开等方式求解。
它们在物理学中的应用包括描述量子力学中的杂化原子轨道、球形边界值问题中的电势、地球的引力场等。
此外，勒让德函数还与球面谐振子、球谐函数叠加和球形天体力学等领域密切相关。
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
勒让德函数
勒让德函数勒让德函数，又称为拉格朗日函数，是拉格朗日于1934年提出的一个经典函数，用来表示给定边界条件下的最优化问题，它对数学和最优化理论有着重要的意义。
一般地，勒让德函数是用来求解最优化问题的经典优化技术，它可以求解无约束优化问题和约束优化问题的最优解。
它的特点是可以将最优化问题转换为函数极小(或极大)的问题，这样就可以用微分技术来求解，要解最优化问题，就要根据勒让德函数的性质，求出满足约束条件的最优解是什么。
勒让德函数最早用来解决线性编程问题，但它也有广泛的应用，如基本组合优化(选择最优组合)、二次凸优化(使函数最小)等，甚至可以用来处理非线性函数最优化问题。
勒让德函数的结构如下：$$F(x)=f(x)+sum_{i=1}^n lambda_i g_i (x)$$其中，$f(x)$是待最优化的函数，$g_i(x)$是约束条件函数，$lambda_i$是拉格朗日乘子，用来控制约束条件。
当$f(x)$有最值，$g_i(x)$满足约束条件时，$lambda_i$可以确定使得$F(x)$取最值，从而可以求出最优解。
勒让德函数是一个功能强大的优化工具，因为它可以求解无约束优化问题和约束优化问题，它比较容易理解，也容易应用，所以它用来解决最优化问题的范围很广。
勒让德函数的应用很广泛，在很多领域都可以看到它的身影，如管理学、经济学、投资学、工程和科学等。
比如，在基于约束的投资组合的构建中，可以用勒让德函数来调整不同的投资组合，以获得最佳的投资组合；计算多晶物体的极限承载力时，勒让德函数可以帮助我们找到最佳的材料参数，以达到最大的承载力。
此外，勒让德函数也可以用来研究复杂系统的结构演化，研究复杂系统中复杂网络动力学机制等。
至此，可以看出勒让德函数是解决最优化问题的一个强大的优化技术。
它在实现经济效率、科学发展和科学研究等多个领域都有着重要的意义，是研究最优化理论的重要组成部分。
同时，它也为复杂系统的结构演化和复杂网络动力学机制等研究提供了重要的技术手段。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
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第6章 勒让德函数6.1 勒让德方程与勒让德多项式一、线性常微分方程的级数解法
主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程 的级数解。
1. 级数解法的基本思想：
把方程的解表示为以
为中心、带有待定系数的幂级数，将这个幂级数带入方程及定解条件，求出所有待定系数即可得该方程的解。
0z
说明：
(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。
(2)对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。
用级数解法要选定某个点 作展开中心，得到的解是以
为中心的幂级数。
另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有意义。
0z 0z
2. 方程的常点和奇点方程的标准形式：
(1)
其中：w (z )—未知的复变函数，p (z )、q (z )—已知的复
变函数 (方程的系数)
要求解的问题：
在一定条件下( 如初始条件 )满足(1)的w (z )。
''()()'()()()0w z p z w z q z w z ++=1000)(',)(c z w c z w ==
方程(1)的解的性质 (解的存在性、唯一性、稳定性、单值性等) 由方程的系数p (z )和q (z )的解析性确定。
设p (z )和q (z )在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，是z 的单值解析函数。
区域中的点可分为两类：
(i)方程的常点：如果p (z )和q (z )都在点 的邻域解析，则
称为方程的常点。
0z 0z
(ii) 方程的奇点：只要两系数p (z )和q (z )之一在点 不 解析， 就称为方程的奇点。
如果
最多是p (z )的一阶极点、q (z )的二阶极点，则
称为方程的正则奇点。
否则，则 称为方程的非正则奇点。
0z 0z 0z 0z 0z
解：1. 级数解的形式
由于 ，在 解析 是方程 的常点。
级数解具有以下形式：
0()k k k w z C z ∞
==∑
2.将级数解代入方程，求待定系数。
210
(1)20k k k
k k k k k k C k k z z C kz C z λ∞
∞
∞
−−===−−+=∑∑∑ (1)
为比较同次幂的系数，对上式作变换：
λ=−=)(,
2)(z q z z p 00=z 0z ⇒(
：任意常数)10,c c 22
2
(1)(1)k k k k k k C k k z C k k z ∞
∞
−−==−=−∑∑
求正则解的步骤：
为方便起见，设正则奇点 （对于一般的 点，只需把0z z z →−）
以2
z 乘方程 '''0w pw qw ++= (5)
得： 2
11''()'()0z w zp z w q z w ++= (6)
其中： 1
()()p z zp z = 2
1()()q z z q z =
由条件(4)可知： ，
在z =0点及其邻域内是解析的， 作泰勒展开：
10
()s
s s p z a z
∞
==∑
10
()s
s s q z b z ∞
==∑ (7)
0=z 0z )(1z p )(1z q
由z 的最低次幂的系数为零得：
000[(1)]0C a b ρρρ−++= (00,a b 已知) 0000(1)0C a b ρρρ≠⇒−++= (10)
—— 的二次方程，指标方程 又由(9)式中的 的系数为零得：
()(1)()0n s n s s n s s s C n n a n s C b C ρρρ∞
∞
−−==++−++−+=∑∑ (1,2)n = (11)
利用递推关系，可以逐一把(8)式中的 用 和 以及已知的 和 表示出来。
说明：由指标方程 的两个根。
故用递推关系(11)一般可以得到两组系数 。
具体讨论参见郭敦仁《数学物理方法》。
0C 1C (0)k C k >s a s b ρ⇒21,ρρk k d c ,ρn
z
9. 勒让德多项式的递推公式
递推关系：相邻的勒让德多项式以及它们的导数
之间存在着一定的关系。
具体如下：
1()()'()
(2)
l l l l P x x P x P x −′=−11(1)()(21)()()0(1)
l l l l P x l x P x l P x +−+−++=11(21)()'()'()
(4)
l l l l P x P x P x +−+=−1(1)()'()'()
(3)
l l l l P x P x x P x ++=−
整理上式后比较等式两边 的系数，得递推关系式 (2)。
(3) 由(1)式两边对x 求导，再与递推关系式(2)联立消去
含
的项，即得递推关系式(3) (4) 递推关系式(2)+递推关系式(3) 递推关系式(4)
⇒)('
1
x P l −10
()()'()l l
l l l l t l P x t x t P x t ∞∞
−==⇒=−∑∑l
t。