第六章_数理方程勒让德多项式
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
数理方程课件第六章勒让德多项式
k
从而有
1ຫໍສະໝຸດ 1 mP ( x) Pn ( x)dx 0
n
x
称为n次勒让德多项式或第一类勒让德函数。 前六个勒让德多项式为：
P0 ( x) 1
P ( x) x 1
P2 ( x) 1 (3 x 2 1) 2 1 1 3 P3 ( x) (5 x 3x) P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) 2 8 1 P5 ( x) (63 x 5 70 x 3 15 x) 8
1 1
1
1 n 1 d n1 1 d 1 k 2 n 2 n k 1 n x n1 ( x 1) k ( x 1) x dx 1 dx n 1 2 n! dx 1 n 1 k 1 k 1 d n x ( x 2 1) n dx 2 n! 1 dx n 1
HUST 数学物理方程与特殊函数
第6章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式
6.1 勒让德方程的导出 考虑球域内Laplace方程的Dirichlet问题
u u xx u yy u zz 0, x 2 y 2 z 2 1 u | x 2 y 2 z 2 1 f ( x, y, z )
1 2 u 1 u 1 2u 2 2 sin sin 2 sin 2 2 0
(0 1, 0 2 , 0 )
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
《数学物理方法》第六章_勒让德函数
《数学物理方法》第六章_勒让德函数勒让德函数（Legendre functions）是数学物理方法中的一种重要函数，它在数学物理领域中具有广泛的应用。
勒让德函数以法国数学家阿道夫·勒让德（Adrien-Marie Legendre）的名字命名，是勒让德微分方程的解。
勒让德函数是圆轴对尔雅多多\n（cylinder functions）和球贝塞尔函数（spherical Bessel functions）的特殊情况。
勒让德函数可以通过勒让德微分方程来定义，勒让德微分方程是一个著名的二阶微分方程，它可以用来描述线性介质中电场的分布、地球引力场势能和量子力学中的角动量问题等。
勒让德微分方程如下所示：$$(1-x^2)y'' - 2xy' + \lambda(\lambda + 1)y = 0$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\lambda$是常数。
这个方程的解称为勒让德函数$P_\lambda(x)$。
勒让德函数具有许多重要的性质和关系，其中最重要的性质之一是正交性。
如果$\lambda_1 \neq \lambda_2$，则勒让德函数$P_{\lambda_1}(x)$和$P_{\lambda_2}(x)$在区间$[-1,1]$上是正交的，即满足下面的正交关系：$$\int_{-1}^{1}P_{\lambda_1}(x)P_{\lambda_2}(x)dx = 0$$另外，勒让德函数还具有归一化的性质，即满足下面的归一化条件：$$\int_{-1}^{1}(P_{\lambda}(x))^2 dx = \frac{2}{2\lambda + 1} $$勒让德函数在数学物理中的应用非常广泛，下面以一些具体的例子来说明。
首先是球坐标系中的边界条件问题。
在球坐标系中，勒让德函数可以用来描述径向部分的波函数。
例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为勒让德函数的线性组合，其中不同的勒让德函数对应不同的能级和角动量量子数。
第六章勒让德多项式
1 d d 1 d 2 n(n 1) sin 2 2 sin d d sin d 1 d d 1 d 2 2 sin sin n ( n 1)sin 2 d d d 1 d 2u 2 m 2 1 d d 2 2 d sin sin n ( n 1)sin m d d ( ) B1 cos m B2 sin m 2 2 d d m cot [ n ( n 1) ] 0 2 2 d d sin 连带的勒让德方程
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
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数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例2:将Pl( x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式 解：方法一
Pl( x) Cn Pn ( x) Cn Pn ( x)
n 0
l 1
( l 1) / 2
n 0
n 0
Cl 2 n 1Pl 2 n 1 ( x)
方法二
2l 4n 1 1 1 2 l 4 n 1 Cl 2 n 1 Pl ( x) Pl 2 n 1 ( x)dx Pl 2 n 1 ( x)dPl ( x) 1 1 2 2 1 2l 4n 1 1 Pl 2 n 1 ( x) Pl ( x) |1 Pl ( x) Pl ( x)dx 2 n 1 1 2 2l 4n 1 2 Pl 2 n1 (1) Pl (1) 0 2l 4n 1 2
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
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2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
an2k
(1)k
(2n 2k)! k !2n (n k)!(n 2k)!
当n为正偶数时，将这些系数代入到 y1(x) 中得到
y1 ( x)
(2n)! 2n (n!)2
dR dr
R
r 2 sin
d
d
sin
d
d
R
r 2 sin2
d 2
d 2
0
用 r 2 遍乘各项并移项整理，即得 R
1 R
d dr
r
2
dR dr
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d 2
d 2
Ql (x) 称为第二类Legendre函数，它在[ -1，1 ]上
仍是无界的.
lim
|x|1
|
Ql
(
x)
|
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
6. 4 函数展开成 勒让德多项式的级数
1 勒让德多项式的正交性
0, m n
1 1
Pm
(
x)
Pn
(
x)dx
2 2n
C0
1 2
1 f (x)dx 1
1
2
0 xdx 1
1
2
1 xdx 1
0
2
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
4n 1 1
C2n 2 1 f (x)P2n (x)dx
4n 1 2
0
1
1 xP2n (x)dx 0 xP2n (x)dx
(2k 1)!
a1
6. 2 勒让德方程的求解
y(x) a1 y1(x) a2 y2 (x)
其中
y1
1
n(n 1) 2!
x2
n(n
2)(n 4!
1)(n
3)
x4
(2k 2 n)(2k 4 n) (n)(n 1) (n 2k 1) x2k (2k)!
第六章 勒让德多项式
勒让德方程的引出 勒让德方程的求解 勒让德多项式 函数展开成勒让德多项式的级数
6.1 勒让德方程的引出
6.1 勒让德方程的引出
在球坐标系下
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
(0 r , 0 π, 0 2π)
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
代入方程得
(r2R" 2rR ') (" cot ')R 0
化简并引入参数
r2R" 2rR ' " ctg '
R
分解得到两个常微分方程
r2R" 2rR ' R 0
" cot ' 0
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
多项式的Rodrigues表达式
当为整数时,取
an
(2n)! 2n (n!)2
时,
y1(x), y2 (x)
中总有一个是勒让德多项式，在[ －1，1 ]上有界，
这时另一个函数仍是无穷级数，记作 Ql (x)
6. 3 勒让德多项式
此时Legendre方程的通解为
y(x) C1Pl (x) C2Ql (x)
连带的勒让德方程
6.1 勒让德方程的引出
m=0时
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
nn
1
P
0
勒让德方程
6. 2 勒让德方程的求解
6. 2 勒让德方程的求解
考整虑理勒c让(c德方1)a程0 x
1 x2
{[(k c
令
k0
cdd22x2)y2(ck(c2cx1dd)1xay)1axkcn21n
Laplace方程的表达式为
1 r2
r
r
2
u r
1
r 2 sin
sin
u
1
r 2 sin2
2u
2
0
6.1 勒让德方程的引出
令ur, , Rr 代入上式得
r2
d dr
r
2
ak 2
可以将其它系数一一推算出来，即
an2
n(n 1) 2(2n 1)
an
an4
(n 2)(n 3) 4(2n 3)
an2
n(n 1)(n 2)(n 3) 2 4(2n 1)(2n 3)
an
取
an
(2n)! 2n (n!)2
有
an2
(2n 2)! 2n (n 1)!(n
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
R的方程 r2R" 2rR ' n(n 1)R 0 的通解为
Rn (r) Anr n Bnr (n1)
当 r 0,| Rn | 应保持有界，故 Bn 0 ，即
Rl (r) Al rl
(k n)(k n 1) c =0时 递推公式 ak2 (k 2) (k 1) ak 依此可得
a2
l(l 1) 2!
a0
a4
(2 l)(l 3) 43
a2
(2 l)(l)(l 1)(l 4!
3)
a0
a2k
(2k
2 l)(2k
4 l) (l)(l (2k )!
n n
1 sin2
0
6.1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2
结合，构成本征值问题
" 0
2
解之可确定本征值 m2, m 0,1,
和相应的本征函数 Acos m Bsin m
1
y
0
y([x()kxcc)(ka0ca1x1)an2(xn2 1)ak ]a}kxxkkc 0
比将较其可代得入勒让德方程，得
c(c 1)a0 0
c 0或＝1
c(c 1)a1 0 [(k c)(k c c 0或1) ＝ n－(n1 1)]ak xkc
6. 4 函数展开成勒让德多项式的级数
例3 球形域内的电位分布 在半径为1的球内求调和函数u ，使其在球面上
满足 u |r1 cos2
解：在球面坐标系 所提问题可化为下列边值问题
1u
r
2
1 rr2
r2rurr2
u
rr
2s1inr2
在第二个方程中，令
n(n 1), x cos, (arccos x) P(x)
则有
1 x2
d2P dx2
2x
dP dx
n
n
1
P
0
勒让德方程
为保证函数 u 的有界性 n 只能取为整数，此时 P(x) CnPn (x) 是方程在自然边界条件 P(1) 下的特征函数系.
2n
k
(2n !(n
2k)! k)!(n
2k
xn2k )!
这两个多项式可以统一写成
n
Pn (x)
2
(1)k
k 0
(2n 2k)! 2n k !(n k)!(n
xn2k , 2k )!
n 0,1, 2,
n 阶勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
1
,
m
n
N
1 1
Pn2
(
x)dx
2 称为勒让德多项式的模值。
2n 1
{Pn (x)}n0 是一个正交的函数系.