数学物理方程学习指导书 第9章 勒让德多项式
勒让德多项式
k 2 3P3 ( x) 5xP2 ( x) 2P ( x) 15 x3 9 x 1 2 2
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 – 模 – 正交性应用例题
完备性
(35cos 4 20cos 2 9)
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数 – 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用 递推公式 – 基本递推公式 – 证明 – 应用
球内解要求u (0, )有界，半通解化为 u
l 0
Al r l Pl (cos )
2
由边界条件得： Ax
l 0
Al a l Pl ( x )
Ax2 P ( x)dx k
2k 1 根据完备性：Ak 2a k
1
1
勒让德多项式的应用
例题 2
半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空 间的电势 u 。
2
由边界条件得： Ax
l 0
Bl a l 1Pl ( x )
2k 1 k 1 根据完备性： k B a 2
1
1
Ax2 P ( x)dx k
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
解：定解问题为：u 0, a r b u |r a cos , u |r b 0
勒让德多项式归一化
勒让德多项式归一化
勒让德多项式是一类经典的正交多项式，用于描述数学和物理领域中
的各种现象和问题。
为了方便应用，我们需要将这些多项式进行归一
化处理。
勒让德多项式的归一化可以通过如下方式实现。
首先，我们需要确定
多项式中最高次幂的系数，即归一化因子。
通过求解正交条件和归一
化条件，我们可以得到这个系数的具体表达式。
以勒让德多项式P_n(x)为例，其中n代表多项式的阶数，x为自变量。
首先，我们需要确定归一化因子A_n，它的求解需要满足以下两个条件：
1. 正交条件：不同阶数的勒让德多项式在某一区间上的内积为0，即
∫(-1 to 1) P_n(x)P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)。
这个条件保证了不同
阶数的多项式之间不存在互相干扰。
2. 归一化条件：阶数为n的勒让德多项式在区间内的归一化，即∫(-
1 to 1) [P_n(x)]^
2 dx = 1。
这个条件保证了每个多项式都有相同的
总能量。
通过求解这两个条件，我们可以得到归一化因子A_n的具体表达式。
然后，我们可以将原始的勒让德多项式除以归一化因子，即P_n(x) /
A_n，从而得到归一化后的多项式。
归一化后的勒让德多项式具有一些重要的性质和应用。
它们能够描述
电磁场、量子力学以及各种物理过程中的现象和问题。
归一化后的勒
让德多项式在实际计算中更加方便和可靠，能够提供准确的结果，并
被广泛应用于科学和工程领域。
勒让德多项式及其正交性质
勒让德多项式及其正交性质勒让德多项式是一种重要的数学工具，在微积分、物理学等领域都有广泛的应用。
它是一类正交多项式，具有良好的性质，可以用于解决一些特殊的数学问题。
本文将讨论勒让德多项式及其正交性质，以期读者能够深入了解这一重要数学工具。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一种定义在区间[-1,1]上的多项式函数，通常用Pn(x)表示，其中n为多项式的次数。
勒让德多项式可以通过如下公式递归地定义：P0(x) = 1P1(x) = xPn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n这个公式可以用来计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式的前几个函数值如下：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (3x² - 1)/2P3(x) = (5x³ - 3x)/2P4(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，其中最重要的是正交性质。
1. 正交性质勒让德多项式在区间[-1,1]上的内积可以定义为：∫[-1,1] Pn(x)Pm(x)dx如果n=m，则积分结果为2/(2n+1)；如果n≠m，则积分结果为0。
也就是说，勒让德多项式之间具有正交性质。
这个性质非常重要，因为它能够使我们更方便地进行一些数学运算。
例如，计算某个函数在勒让德多项式基下的系数时，我们只需要进行一次内积计算即可。
2. 完备性质勒让德多项式在区间[-1,1]上具有完备性质。
也就是说，任何在该区间上连续的函数都可以用勒让德多项式展开，并且展开式收敛于原函数。
这个性质太过深奥，需要深入的数学知识，不在本文的讨论范围内。
3. 递推性质勒让德多项式之间具有递推性质，可以用如下公式计算高一阶的勒让德多项式：Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)这个公式可以用来快速地计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
数理方程勒让德多项式
35 cos
3
30 cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
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计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
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(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l
(l
1)
1
m2 x2
y
0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
第3页/共30页
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式，又称勒让德多项式，是一种数学表达式，用来表示一个多项式的值。
它是
由法国数学家勒让德（Joseph Louis Lagrange）在1795年发明的。
勒让德多项式的表达式是一个多项式，它由一系列的系数和指数组成，每个系数和指数都
有一个特定的含义。
系数表示多项式中每一项的系数，而指数表示多项式中每一项的指数。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来解决许多数学问题，它可以用来解决多项式的根，也可以
用来解决多项式的导数和积分。
它还可以用来解决更复杂的数学问题，比如求解微分方程
和积分方程。
勒让德多项式的表达式是一种非常有用的数学表达式，它可以用来解决许多数学问题，比
如求解多项式的根，求解多项式的导数和积分，以及求解微分方程和积分方程。
它的表达
式简洁明了，可以让我们更容易理解多项式的值，从而更好地解决数学问题。
大学物理-勒让德多项式
(三) 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 (I) 勒让德多项式的正交性 勒让德方程与有限性条件构成施—刘型本征值问题：
勒让德方程可化为施—刘型方程，其中 (x) = 1，a =
–1，b = 1，而本征函数 yl (x) = Pl (x) 是实函数，故有如下正 交关系
另一种形式：
(II) 勒让德多项式的完备性 根据施—刘型本征值问题的完备性定理，对于在区间
示——微分表示
证明：由二项式展开定理得到
所以
注意到：凡是指数 (2l – 2s) < l 的项经 l 次求导后为 0，故 只剩下 (2l – 2s) ≥ l 的项，即 s ≤ l / 2，于是得到
罗德里格斯公式的应用之一 因为
所以
对于 Pl (1)，利用上式，n > 0 各项的值均为 0，只有当 n = 0 的项，其值不为 0，因此
之间存在着一定的关系。具体如下：
(1) (2) (3) (4)
证明：(I) 由生成函数关系式 两边对 r 求导，有
改写为 两边乘以 (1–2 x r + r2)，再将生成函数关系式代入，得到
比较两边 rl 的系数，有 整理上式，得到 当 l = 0 时，P0(x) = 1，P1(x) = x， 所以 x P0(x) = P1(x) (II) 将生成函数关系式两边对 x 求导，得到
例3 将函数 f (x) = xn 在区间 [–1,1] 上按完备正交函数系
Pl (x) 展开为广义傅里叶级数。
解：所给函数满足斯–刘型本征函数完备性定理的条件，故
xn Cl Pl (x) l 0
广义傅里叶系数为
Cl
2l 1 2
1 1
x
n
Pl
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这样一来，的展开式中只剩下两项，即
(9.14)
系数固然也可以用上面的公式进行计算，不过这样做比较麻烦，下面我
们用别的方法来确定.
由于的最高次项的系数为，比较(9.14)两端最高次项的系数，得
由此得到
在(9.14)中令，由于，可得
即
(9.15)
用分离变量法来解，令代入原方程，得
或
从而得到
(9.16)
(9.17)
将常数写成，则方程(9.17)就是(7.17)当的特例，所以它就是勒让德方程.
它的通解为
由问题的物理意义，函数应是有界的，从而也应有界.由9.2中的结论可
知，只有当为整数时，它在区间内才有界解而方程(9.16)的通解为
要使有界，必须也有界，故即
用叠加原理得到原问题的解为
(9.18)
由(9.15)中的边界条件得
(9.19)
若在(9.19)中以代替，则得
由于
比较这两式的右端可得
因此所求定解问题的解为
(9.19)中的系数当然也可以用公式(9.12)来计算，读者自己可按这个公式
计算一遍.
9.4 连带的勒让德多项式
在7.2中我们已经指出过，若调和函数与有关，则通过对拉普拉斯方 程进行分离变量便引出连带的勒让德方程(7.17)或(7.18)，在(7.18)中将 未知函数换成即得
……………… 为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式，并且使所得的多项式在处 取的值等于1（见习题九中第1题），我们取为 从而相应地有 一般言之，当时，我们有： 如果是正偶数时，将这些系数代入(9.6)得到 如果是正奇数时，将上面的表达式代入(9.7)式得到 把这两个多项式写成统一的形式，得
(9.8) 其中 这个多项式称为次的勒让德多项式（或称为第一类勒让德函数）.
…………………… …………………… 令分别得 …………………… 将这些值代入级数(9.2)，便得
(9.5) 其中是两个任意常数，由于方程是齐次的，所以函数
（9.6） （9.7） 也都是方程(9.1)的解，显然在的情况下，它们是线性无关的. 如果开始时取，重复前面的做法，所得的级数解就是.这里不再赘 述，读者可自己验算. 从系数的递推公式(9.4)容易证明这两个组数的收敛半径都为1，故在 内(9.5)式即为方程(9.1)的通解.
由(9.9)式并运用分部积分法可得 但以为重零点，所以，于是得 重复运用分部积分法，可得 作代换，则 因而
(9.10) 有了（9.10）式，我们就可以讨论函数按勒让德多项式展开的问题 了.设函数满足第五章所述按固有函数展开的条件，则可以表示为
(9.11) 为了求出系数在(9.11)式两端同乘并在区间上积分，得 所以
(9.24) 利用(9.24)和正交完备性，我们就可以把一个函数展成连带勒让德多项 式的级数.
习题七
1、证明：
2、证明： 3、若 证明 4、证明 5、证明 6、验证满足勒让德方程. 7、在半径为1的球内求调和函数，使 8、在半径为1的球内求调和函数，已知在球面上 9、在半径为1的球的外部求调和函数，使
1、 2、 5、 6、 7、
习题四 习题五
8、 习题七
1、 2、 3、
1、 4、 5、 10、 11、 12、 13、 17、 18、
非齐次方程的解为
7、 8、 9、
习题八 习题九
(9.12) 把代入(9.11)式，便得的展开式.
如果在(9.11)与(9.12)中令，则这两个式子可写成 例1 将函数 ， 按勒让德多项式展开为无穷级数. 解 利用前面勒让德多项式的表达式及公式(9.12)得
…………………… 所以 例2 求证勒让德多项式的递推公式：
(9.13) 证明 为了证明公式(9.13)，我们将函数展成勒让德多项式的级数.设 其中 由于是次多项式，所以它的展开式中不可能包含高于次的多项式，即当 时，.同时，利用分部积分法，可得
特别是，当时，分别有
图9-1
它们的图形如9-1所示. 为了后面应用起来方便，我们可将写成 （9.9）
的形式，(9.9)式称为勒让德多项式的罗德利克(Rodrigues)表达式.要验证 这个公式，只需要用到计算两个函数乘积的高阶导数的莱布尼兹 （Leibnitz）公式： 读者自己应用这个公式去证一下.
上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零， 上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零，在上式第二个或式中 令，便得到的乘幂的系数，然后令它等于零，即 由此得或.为了得到一般项系数的表达式，我们把(9.3)写成如下形式 于是由一般项的系数等于零，得到递推公式 取，得
（9.4） 这便是级数(9.2)的系数间应满足的递推公式.令，分别得
(9.20) 其中是正整数，现在我们来寻求这个方程的解.
在勒让德方程 的两端对微分次，便得
(9.21) 但 令数则有
代入(9.22)并化简得到 由此可见，当是整数时，函数
(9.23) 是连带的勒让德方程(9.20)的解，这个解以表示，即 我们称它为次阶的连带勒让德多项式.从施特姆-刘维尔理论可知，连带 的勒让德多项式在区间上也构成正交完备系.经过计算（参阅A.Ⅱ.萨波 洛夫斯基著：《特殊函数》，还可以得到
综合上述，可得如下结论： 当不是整数时，方程(9.1)的通解为，其中分别由(9.6)和(9.7)确定，而 且它们在闭区间上是无界的，所以此时方程(7.1)在上无有界的解. 当为整数时，在适当选定之后，中有一个是勒让德多项式，另一个 仍是无穷级数，记作，此时方程(9.1)的通解为
其中称为第二类勒让德函数，它在闭区间 上仍是无界的（因时，）.
习题答案
习题三
1、 2、 3、其中u(x,t)是纵向位移，（E一杨氏模量，—杆的密度）. 4、
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 其中 9、 10、 11、 其中的二次积分. 12、 13、 14、 15、 其中由 确定，且 16、 其中 确定. 17、 18、 19、 20、 其中
第9章 勒让德多项式
本章我们来讨论在章所建立的勒让德方程的解法，以及解的性质， 这个解构成了另一类特殊函数.
9.1 勒让德方程的求解
把7.2中的勒让德方程写成如下的形式 (9.1)
其中为任意实数. 如同求贝塞尔方程的解一样，设(9.1)的解为 （9.2）
求上式的导数，并与(9.2)一起代入(9.1)得 （9.3）
9.3 函数展成勒让德多项的级数
在应用勒让德多项式解决数学物理方程的定解问题时，需要将给定 在区间内的函数按勒让德多项式展开为无穷有数.根据施特姆-刘维尔理 论，勒让德多项式族：在上是正交完备的.因此这样展开是允许的.为了 计算展开式中的系数，和贝塞尔函数的情形一样，必须先求出勒让德多 项式模值的平方
9.2 勒让德多项式
上面我们求出了方程(9.1)的解，并且从(9.6)与(9.7)可以看出，当不是 整数时，都是无穷级数，在内它们都绝对收敛，可以证明在时发散，且 当时，与均趋于.
当是整数时，则或者便成为多项式，例如是正偶数（或负奇数）时 是n次多项式，而当是正奇数（或负偶数）时，是次多项式，在实际运 用中，这种特殊情况常常出现，现在我们就来给出这个多项式的表达 式. 于是可以通过多项式的最高次项系数来表示其他各次项的系数.
将代入(9.14)中，得到
这就是所要证明的递推公式(9.13).这个公式告诉我们，当已知时，即可
由它们求出，这对于计算勒让德多项式的函数值有重要的意义.
例3 球形域内的电位分布
在半径为1的球内求调和函数，使它在球面上满足
解 根据边界条件的形式，可以推知，所求的调和函数只与两个变量有
关，而与变量无关，因此，所提的问题可归结为下列定解问题：