函数递归之求n阶勒让德多项式
c语言n阶勒让德多项式
c语言n阶勒让德多项式勒让德多项式是数学中的一种常见函数，常用于描述球面的形状、量子力学、振动和波动等领域。
在计算机科学中，勒让德多项式也是非常重要的，尤其在图像处理和计算机视觉中，常常用来进行边缘检测、形态学处理、模板匹配等操作。
C语言中，可以直接使用math.h库函数来计算勒让德多项式，函数原型为：```cdouble legendre(int n, double x);```其中，n表示勒让德多项式的阶数，x表示自变量。
函数返回值为函数值。
需要注意的是，n必须为非负整数，x的范围应在[-1,1]之间。
我们可以使用递归的方式实现勒让德多项式的计算，具体代码如下：```c#include<stdio.h>#include<math.h>double Pn(int n,double x){double result;if(n==0) result=1;else if(n==1) result=x;else result=(2*n-1)*x*Pn(n-1,x)-(n-1)*Pn(n-2,x)/n;return result;}int main(){double x;int n;printf("请输入勒让德多项式的阶数n：");scanf("%d",&n);printf("请输入自变量x：");scanf("%lf",&x);printf("P%d(%lf)=%lf\n",n,x,Pn(n,x));return 0;}```在代码中，我们通过递归方式实现勒让德多项式的计算，并通过scanf函数从用户处获取函数的阶数n和自变量x，最终输出勒让德多项式的计算结果。
总之，勒让德多项式在数学和计算机科学中都具有重要的应用价值，掌握它的计算方法，对于进行图像处理和计算机视觉开发都有很大的帮助。
勒让德多项式及其正交性质
勒让德多项式及其正交性质勒让德多项式是一种重要的数学工具，在微积分、物理学等领域都有广泛的应用。
它是一类正交多项式，具有良好的性质，可以用于解决一些特殊的数学问题。
本文将讨论勒让德多项式及其正交性质，以期读者能够深入了解这一重要数学工具。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一种定义在区间[-1,1]上的多项式函数，通常用Pn(x)表示，其中n为多项式的次数。
勒让德多项式可以通过如下公式递归地定义：P0(x) = 1P1(x) = xPn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n这个公式可以用来计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式的前几个函数值如下：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (3x² - 1)/2P3(x) = (5x³ - 3x)/2P4(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，其中最重要的是正交性质。
1. 正交性质勒让德多项式在区间[-1,1]上的内积可以定义为：∫[-1,1] Pn(x)Pm(x)dx如果n=m，则积分结果为2/(2n+1)；如果n≠m，则积分结果为0。
也就是说，勒让德多项式之间具有正交性质。
这个性质非常重要，因为它能够使我们更方便地进行一些数学运算。
例如，计算某个函数在勒让德多项式基下的系数时，我们只需要进行一次内积计算即可。
2. 完备性质勒让德多项式在区间[-1,1]上具有完备性质。
也就是说，任何在该区间上连续的函数都可以用勒让德多项式展开，并且展开式收敛于原函数。
这个性质太过深奥，需要深入的数学知识，不在本文的讨论范围内。
3. 递推性质勒让德多项式之间具有递推性质，可以用如下公式计算高一阶的勒让德多项式：Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)这个公式可以用来快速地计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式递推公式推导
勒让德多项式递推公式推导
雷伯斯让德多项式递推公式是数学发展的一个里程碑。
它是一个可以用来快速计算高次多项式系数序列的重要公式，又称非递归式。
它以有趣的方式应用数学公式，使多项式系数序列计算变得更加合理、简单清晰。
雷伯斯让德多项式递推公式的形式为：
a_n=(n+ann+1+(n+2nn+2))*a_n-1
其中，a_n表示高次多项式的系数序列中的当前项系数，an+1表示高次多项式的系数序列中的下一项系数，同时还有nn+1和nn+2两个参数。
通常来说，我们可以很容易地计算第一项多项式系数序列a_1，但要计算多项式系数序列中的第n项，就需要比较复杂的计算过程。
雷伯斯让德多项式递推公式可以帮助我们快速计算第n项多项式系数序列，而不需要逐一计算每一项。
只要首先计算出a_1，然后将其与参数nn+1和nn+2相乘，再将所得的和再乘以上一项的系数a_n-1，即可获得当前项a_n的计算公式。
由此可见，雷伯斯让德多项式递推公式可以显著降低多项式计算的繁琐性，有效提升计算效率和准确性，也受到了数学家的一致欢迎。
它的出现使许多数学问题的解决变得更加轻松，再次推动了数学的发展，也为社会提供了不少便利。
勒让德多项式及其应用
勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。
作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。
勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。
具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。
这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。
此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。
二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。
例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。
此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。
勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。
三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。
在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。
在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。
此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。
四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。
例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
C++课后习题解答
C++课后习题程序3-14.用递归的方法编写程序求N阶勒让德多项式的值，在主程序中实现输入输出。
递归公式为1 (n=0)Pn(x)= x (n=1)[(2n-1)x*Pn-1(x)-(n-1)Pn-2(x)]/n (n>1)#include<iostream>using namespace std;long p(int x,int y) //Legendre polynomials函数定义{ if(y==0)return 1;else if(y==1)return x;elsereturn (((2*y-1)*x*p(x,y-1)-(y-1)*p(x,y-2))/y);}void main(){ int a; //legendre polynomials函数中x的值int n; //级数ncout<<"请输入legendre polynomials函数中x的值：\n";cin>>a;cout<<"请输入所要求的多项式级数：\n";cin>>n;p(a,n);cout<<"n阶勒让德多项式的值为(当x="<<a<<"时）:\n";cout<<p(a,n)<<endl; //输出多项式的值}4-8 定义一个Dog 类，包含的age、weight等属性，以及对这些属性操作的方法。
实现并测试这个类。
(第一个程序待调试)#include <iostream.h>class Dog{ public:Dog (int initialAge = 0，int initialWeight = 5);~Dog();int GetAge() { return itsAge;} // inline!void SetAge (int age) { itsAge = age;} // inline!int GetWeight() { return itsWeight;} // inline!void SetWeight (int weight) { itsAge = weight;} // inline!private:int itsAge，itsWeight;};Dog::Dog(int initialAge，int initialWeight){itsAge = initialAge;itsWeight = initialWeight;}Dog::~Dog() //destructor，takes no action{}int main(){ Dog Jack(2，10);cout << "Jack is a Dog who is " ;cout << Jack.GetAge() << " years old and";cout << Jack.GetWeight() << " pounds weight.\n";Jack.SetAge(7);Jack.SetWeight(20);cout << "Now Jack is " ;cout << Jack.GetAge() << " years old and";cout << Jack.GetWeight() << " pounds weight.";return 0；}程序二:#include <cstdlib>#include<iostream>using namespace std;class dog{ private:int m_age;int m_weight;public:dog():m_age(5),m_weight(10){}void setAge(int i){m_age=i;}void setWeight(int i){m_weight=i;}int age(){return m_age;}int weight(){return m_weight;}};int main(){ dog d;cout<<d.age()<<" "<<d.weight()<<endl;return 0;}4-9 设计并测试一个名为Rectangle的矩形类，其属性为矩形的左下角与右上角两个点的坐标，能计算矩形的面积。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明我们来了解一下以勒让德多项式的定义。
以勒让德多项式是一个由整数阶幂函数组成的多项式序列，通常用P_n(x)表示，其中n为非负整数。
以勒让德多项式可以由递推关系式定义，即：P_0(x) = 1P_1(x) = xP_n(x) = ((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n根据这个递推关系式，我们可以通过递推的方式计算出以勒让德多项式的各阶多项式。
接下来，我们将证明以勒让德多项式的递推公式。
为了方便证明，我们先定义两个辅助多项式：Q_n(x) = d/dx[P_n(x)]R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)我们证明Q_n(x)的递推关系式：Q_0(x) = d/dx[1] = 0Q_1(x) = d/dx[x] = 1Q_n(x) = d/dx[((2n-1)x * P_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))/n]= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)Q_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) + (2n-1)x * Q_{n-1}(x) - (n-1)(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n-1)P_{n-2}(x))/n= ((2n-1) * P_{n-1}(x) - n(x^2-1)Q_{n-2}(x) + n(n+1)P_{n-2}(x))/n= (2n-1) * P_{n-1}(x)/n - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)P_{n-2}(x)= (2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)接下来，我们证明R_n(x)的递推关系式：R_0(x) = (x^2-1)Q_0(x) - 0 = x^2 - 1R_1(x) = (x^2-1)Q_1(x) - 1(1+1)P_1(x) = x^2 - 1 - 2x^2 = -x^2 - 1R_n(x) = (x^2-1)Q_n(x) - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)[(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)Q_{n-2}(x) + (n+1)/n * P_{n-2}(x)] - n(n+1)P_n(x)= (x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x) - n(n+1)P_n(x)= [(x^2-1)(2n-1)/n * P_{n-1}(x) - n(n+1)P_n(x)] - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)= R_{n-1}(x) - (x^2-1)^2Q_{n-2}(x) + (x^2-1)(n+1)/n * P_{n-2}(x)我们可以看出，R_n(x)的递推关系式与P_n(x)的递推关系式非常相似，只是多了一个(x^2-1)^2Q_{n-2}(x)的项。
递归方法求n阶勒让德多项式的值
递归方法求n阶勒让德多项式的值勒让德多项式是物理学和数学中一种常用的多项式，它旨在用更简单的方法描述复杂的函数。
它由下面公式给出：Ln(x)=∑(-1)n-kC(k)x^k其中，n为阶数，C(k)为调和级数n的系数，X=1；用递归方法求n阶勒让德多项式的值，可以采用递归公式：Ln(k+1)=-Ln(k)+x^k通过求解以上递归公式的循环就可以计算出某个给定n值下的Ln(x)的值：(1)首先确定输入参数n，以及调和级数系数C(k)；(2)其次定义一个变量L(x)，初始化成1，即L(0)=1；(3)接着定义另外一个变量temp，初始化成0，即temp=0；(4)接着开始循环，即令temp = temp + (-1)^(n-k)C(k)*x^k，当k = 0时，循环结束。
(5)最后令Ln(x)=L(x)+temp，即可求出n阶Ln(x)的值。
以上就是解决n阶勒让德多项式的值的递归方法，操作起来比较简单，但需要考虑的参数较多。
1. 什么是勒让德多项式勒让德多项式是用来描述复杂函数的一种多项式，它的公式为：Ln(x)=∑(-1)n-kC(k)x^k，其中，n为阶数，C(k)为调和级数n的系数，X=1。
2. 递归方法求n阶勒让德多项式的值采用递归公式：Ln(k+1)=-Ln(k)+x^k，从而又能以Ln(k)为条件来再计算Ln(k+1)，同时得到Ln(x)的值。
步骤如下：(1)确定输入参数n，以及调和级数系数C(k)；(2)定义一个变量L(x)，初始化成1，即L(0)=1；(3)定义另外一个变量temp，初始化成0，即temp=0；(4)循环，即令temp = temp + (-1)^(n-k)C(k)*x^k，当k = 0时，循环结束；(5)令Ln(x)=L(x)+temp，即可求出n阶Ln(x)的值。
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问题H: C语言习题求n阶勒让德多项式题目描述
用递归方法求n阶勒让德多项式的值，递归公式为
n=0 p n(x) =1
n=1 p n(x) =x
n>1 p n(x) =((2n-1)*x* p n-1(x) -(n-1)* p n-2(x))/n
结果保留2位小数。
输入
n和x的值。
输出
p n(x)的值。
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
double polya(int n,int x)
{
double a;
if(n==0) a=1;
if(n==1) a=x;
if(n>1) a=((2*n-1)*x*polya(n-1,x)-(n-1)*polya(n-2,x))/n;
return a;
}
int main()
{
int x,n;
cin>>n>>x;
cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2);
cout<<polya(n,x)<<endl;
return 0;
}
递归的原理就是先给出第一项或前两项的结果，然后其余的项要通过第一项或前两项来推算出;
所以自定义函数时，要给出第一项或前两项的值(if(n==0) a=1; if(n==1) a=x;);
利用递归的原理,根据其余项的公式给出计算方法(if(n>1) a=((2*n-1)*x*polya(n-1,x)-(n-1)*polya(n-2,x))/n;);
在主函数中,输入数据(cin>>n>>x;),按照题目要求保留两位小数(cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2);)输出结果(cout<<polya(n,x)<<endl;)!。