等价关系与划分3.1
近世代数集合的等价 关系与分类
Si | i I
9
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例6 设 M 为数域 F 上全体 n 阶方阵的集合,令
M r 表示所有秩为 r 的 n 阶方阵构成的子集.
n
(1) M M i
i 0
;
(2) M i M j , i j ．
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(3) 若 m | a b , 有 m | a a (2) 若m | a b , 则m | b a ；
m | b c , 则m | a c ． 所以 是Z 的一个等价关系,显然
a与b 等价当且仅当a与b 被 m除有相同的余数, 因此称
这个关系为同余关系 (congruence relation) , 并记作
5
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定义1.1.3 对a S , 令
如果～是集合 S 的一个等价关系,
a x S | x ~ a
称子集 a 为 S 的一个等价类 (equivalence class) ． S 的全体等价类的集合称为集合S 在等价关系下的商集 (quotient set), 记作 S / ~ ．
a, b ,由 a, b 1 ，可推出 b, a 1 ．
4
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定义1.1.2 果 满足
设 是 S 非空集合的一个关系, 如
(E1) 反身性, 即对任意的a S, 有aa ； (E2)对称性, 即若ab , 则 ba ； (E3) 传递性, 即若ab ,且 bc ,则ac． 则 称是S 的一个等价关系(equivalence relation), 并且如果 ab ,则称 a 等价于 b ,记作 a ~ b ．
概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖
回顾初中数学集合的等价关系与划分
回顾初中数学集合的等价关系与划分集合论是数学中的一个重要分支，其研究的核心概念之一是等价关系与划分。
等价关系是指具有自反性、对称性和传递性的关系，而划分则是将集合拆分成多个不相交的子集。
本文将回顾初中数学中关于集合的等价关系与划分的基本概念和应用。
一、等价关系的定义与性质在集合的研究中，等价关系是一个非常重要的概念。
设集合A是一个非空集合，若一个二元关系R满足以下三个条件：自反性、对称性和传递性，即对于任意的a、b、c ∈ A，满足以下条件：1. 自反性：对于任意的a∈A，都有aRa；2. 对称性：对于任意的a、b∈A，若aRb，则bRa；3. 传递性：对于任意的a、b、c∈A，若aRb且bRc，则aRc。
则称R为A上的等价关系，记作R∼。
集合A中任意两个元素a和b满足a∼b，则称a与b等价。
等价关系具有一些重要的性质，如：1. 等价关系将集合划分成几个非空的等价类；2. 等价类具有相同的元素，且两个等价类要么完全相同，要么完全不相交；3. 对于集合A中的元素a，一定有a∼a，即每个元素都与自身等价；4. 对于集合A中的任意两个元素a和b，若a∼b，则b∼a；5. 若a∼b且b∼c，则a∼c，即等价关系具有传递性。
二、划分的定义与表示划分是将一个集合拆分成多个不相交的子集，即这些子集之间没有共同的元素。
设集合A是一个非空集合，若存在一个集合B，满足以下条件：1. A是B的全集，即每个元素都属于B；2. B的任意两个子集之间是不相交的，即任意的两个子集A1和A2满足A1∩A2=∅。
则称B为A的一个划分。
对于划分中的每个子集Ai，称其为划分的一个划块。
一般情况下，划分可以用花括号表示，如{A1, A2, A3, ...}。
其中Ai 表示划分的一个划块。
三、等价关系与划分的联系等价关系与划分是密切相关的概念。
事实上，等价关系可以帮助我们对集合进行划分，而通过划分，可以构建等价关系。
具体来说，在一个集合A上，我们可以根据等价关系R构建一个划分B。
等价关系与划分
• • • • •
例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2}, {3,4}} 因为{1}{1,2}，{2}{1,2}， {3,4}{3,4}， 所以'细分 若 ' 细分 , 则与它们对应的二元关系 R' 和R它们之间有何联系？
• (1)若 '细分 ,则与它们对应的二元关系 R'和R满足R'R。 • 证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R • (2)若R'R，是否有'细分？ • 证明：对任意S‘’,目标是S • S‘S • 定理 2.17：设',是A的划分,它们确定A 上的等价关系分别为R,R',则'细分当 且仅当R'R。
• 三、等价关系与划分 • 定义 2.14：设R是A上的等价关系, 对于 每个aA,与a等价的元素全体所组成的集 合称为由 a 生成的关于 R 的等价类 , 记为 [a]R, 即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类 的代表元。 • 在不会引起误解的情况下 , 可把 [a]R 简记 为[a]。 • 定义 2.15 ：设 R 是 A 上的一个等价关系 , 关于R的等价类全体所组成的集合族称为 A 上 关 于 R 的 商 集 , 记 为 A/R, 即 A/R={[a]|aA}。
• • • •
定理 2.13：设R是A上的等价关系, 则 (1)对任一aA,有a[a]; (2)若aRb, 则[a]=[b]; (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]=;
(4) [a] A
aA
此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的 定理的 (2)、 (3)说明：互相等价的元素属于同一个等价类， 而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素 定理的(4)说明：A上等价关系R所对应的等价类的并就等于 A. 由此定理说明 A 上等价关系 R 所对应的等价类集合是 A 的 一个划分。 该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分。
近世代数中关于集合的划分及其应用研究
近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。
因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。
每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。
离散数学(3.10等价关系和等价类)
又例如 一群人的集合中姓氏相同的关系也是
等价关系。
但父子关系不是等价关系，因为它不可传递。
例1 设A是任意集合，则A上的恒等关系和全
域关系UA均是A上的等价关系。
例2 设 A {a,b, c, d} ，A上的关系
{a, a,a,b,b, a,b,b,c,c,c, d,d,c,d, d}
显然有 [0] [3] [3] [6] [1] [4] [2] [2] [5] [1]
而 Z1, Z2 , Z3 恰好为 Z 的一个划分。
3.8.2等价类的性质(The Properties of
Equivalence class )
class )
பைடு நூலகம்
AB
3.8.3等价关系与划分(Equivalence Relations &
Partitions)
3.8.1等价关系的定义(The Definition of
Equivalence Relation )
1. 等价关系
定义3.8.1集合A上的关系ρ，如果它是自反的，对
称的，且可传递的，则称ρ是A上的等价关系。
例4 对于例2中的ρ来说
[a] {a,b}, [b] {a,b}
[c] {c, d}, [d ] {c, d}
例5 整数集Z关于模3同余关系ρ的等价类共有三个：
Z1 [0] { ,3n, ,6,3,0,3,6, ,3n, },
Z2 [1] { ,3n 1, ,5,2,1,4,7, ,3n 1, }, Z3 [2] { ,3n 2, ,4,1,2,5,8, ,3n 2, }
等价关系与划分
• 四、划分的积与和 • 1.划分的积 • 定理 2.16：设R1和R2是A上的等价关系,则 R1∩R2是A上的等价关系。 • 定义 2.16：设R1和R2是A上的等价关系, 由 R1和 R2确定的A的划分分别为 1和2,A上 的等价关系 R1∩R2 所确定的 A 的划分 , 称为 1与2划分的积,记为1· 2。 • 定义 2.17：设和'是A的划分, 若'的每 一块包含在的一块中, 称'细分,或称' 加细。
• 定理 2.18：设1,2是A的划分,则 • (1)1· 2细分1与2。 • (2) 设 ' 是 A 的划分 , 若 ' 细分 1 与 2 , 则 ' 细分 1· 2。 • 证明：(1)设1和2分别对应的A上关系是R1和R2， 则 1· 2对应的关系为R1∩R2。 • (2) 设'对应A上关系是R'，1和2分别对应的A 上关系是 R1 和 R2，则 1 · 2 对应的关系为 R1∩R2。
• A={1,2},画出A的幂集P(A)上的包含关系 的哈斯图 • P(A)={,{1},{2},{1,2}}
• 例A={2, 3, 6, 12, 24, 36}, 画出偏序集(A, /) 的哈斯图。
• 设A上的小于等于关系≦,A={1, 2, 3, 4, 5, 6},画出偏序集(A,≦)的哈斯图。
• 2．Hasse图 • 偏序集 (A,R) 可以通过图形表示 , 该图叫哈 斯图。是对关系图的简化。 • (1)由于偏序关系是自反的，即对每个元素a, 都有aRa，因此在图上省去自环 • (2) 由于偏序关系是传递的，即若有 aRb, bRc则必有aRc,因此省去a与c之间的连线 • (3)对于aRb,规定b在 a的上方，则可省去箭 头。 • 这样的图称为哈斯图。
等价关系与划分3.1
21
划分(partition)
注： 等价关系Ｒ把Ａ的元素分为若干类，各 类之间没有公共元素。 划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分 块(block).
6
例2(续)
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R) =rts( R ) =rst( R ) 自反 对称 传递 等价关 (等价闭包) 系
7
等价类(equivalence class)
设R是A上等价关系,xA,令 [x]R={ y | yA xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x].
Ｒ是等价关系，但不直观，用关系图表示。
三个不连通的图
19
二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分 成了三个等价类，
（Ａ）＝｛｛０｝，｛１，２，３｝，｛４，５｝｝
A/R＝｛［０］，［１］，［４］｝ 例6 ： Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ≡ｂ （ｍｏｄ３）， ａ，ｂ∈Ｉ｝ 是整数集合Ｉ上模３同余的二元关系. 证明R是等价关系。
等价关系与划分
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数
1
等价(equivalence)关系
定义 同余关系 等价类 商集 划分 划分的加细 Stirling子集数
2
等价关系Equivalence Relations
[定义1] Ａ上的二元关系Ｒ，如果Ｒ是
22
也可表示为： [ 定义 ] 集合的划分：把集合Ａ分为若干子 集Ａ1，Ａ2，…，满足： （1）当ｉ≠ｊ时Ａi∩Ａj＝ （2） ａ∈Ａ， ｉ， 使ａ∈Ａi（ｉ＝１，２，…） 则集合 Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝ 称为Ａ的一个划分/partition。
等价关系,商集和集合的划分
等价关系,商集和集合的划分1.等价关系所需要的三个性质 --- 自反的，对称的，传递的必须同时具备，缺一不可2.同余关系纠正：同余关系需要三个数，一个正整数m，和两个整数a,b，如果整数(a - b)能够被m整除的话，则称a和b 是同余关系（需要注意的是整数0能够被仍和整数整除，整除的结果为0）1.关于第二点：负号不影响整除关系1通过特定规则（这个特定规则就是上面的这个生成元规则）获取的等价关系的子集称为等价类2.任何等价类都是非空集合，因为在这个等价类中一定包含了生成元本身3.有些等价类是完全相同的，有些等价类是完全不一样的4.所有等价类并在一起就能够得到总的集合a1.第二点的b证明处：证明两个集合没有交集的常用方法是反证法 --- 即证明有交集是矛盾的来得出没有交集这个结论2.关于第三点：两个集合互为子集则这两个集合等价1.商集其实就是集合的集合2.在集合中相同的元素只需要写一个，不用重复写最后一句话的意思就是：直到最后给定集合中的所有的元素都被找完第二部分 --- 集合的划分1.注意这里面的si都是非空集合a的非空子集1.通过等价关系，等价类和商集对集合进行划分1.关系的复合运算是左右两个关系中间一个圈，左右两个集合中间一个乘号这是笛卡尔积 --- 得到的结果是一个序偶集合，其中序偶的定义域由称号左边的集合元素提供，值域由乘号右边的集合元素提供2.上面这个等价关系是由每个划分的块集合的全关系序偶集合取并集得到的一个总的序偶集合，且每个块集合的全关系序偶集合都不一样（因为每个块集合的元素都不相同），所以等价关系这个序偶集合中的任意一个序偶元素都来自于某一个块集合的全关系序偶集合一个集合上的所有等价关系个数与这个集合的所有划分方式的个数相等。
等价关系与等价类
等价关系与等价类等价关系是数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍等价关系的概念及其性质，并探讨等价关系所对应的等价类的特征和应用。
一、等价关系的定义与性质在集合论中，等价关系是指对于给定集合上的一个二元关系，它必须满足以下三个性质：1. 自反性：对于集合中的任意元素a，a与自身相等。
2. 对称性：如果元素a与元素b相等，则元素b与元素a相等。
3. 传递性：如果元素a与元素b相等，并且元素b与元素c相等，则元素a与元素c相等。
满足以上三个性质的关系被称为等价关系。
等价关系将集合中的元素划分为若干个等价类，每个等价类是具有相同特征或者具有相同关系的元素的集合。
二、等价类的特征等价类是等价关系的重要概念，它具有以下特征：1. 等价类是集合的划分：等价关系将集合划分为若干个互不相交的等价类，集合中的每一个元素必然属于且仅属于一个等价类。
2. 等价类的元素具有相同的特征：同一个等价类中的元素具有相同的特征或满足相同的条件。
例如，对于一个以人的身高为等价关系的集合，每个等价类中的人具有相同的身高。
3. 等价类的元素之间没有次序关系：在同一个等价类中，元素之间没有大小或顺序之分。
它们在等价关系下是等价的，彼此之间没有优劣之分。
三、等价关系的应用等价关系在数学和其他领域有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用：1. 等价关系在集合的划分和分类中的应用：等价关系将集合划分为若干个等价类，可以根据等价类的特征对元素进行分类和归类。
例如，在社会科学中，可以根据人们的教育程度等价关系将人群分为不同的等价类进行研究。
2. 等价关系在算法和数据结构中的应用：等价关系可以用于判断两个元素是否具有相同的特征或关系，从而在算法和数据结构中进行分类和操作。
例如，在图像处理中，可以使用等价关系将相似的像素点进行聚类，从而达到图像分割和特征提取的目的。
3. 等价关系在等价性证明中的应用：等价关系在数学证明中起到重要的作用，可以用于证明两个数学对象的等价性。
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例3
例3: 设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>} 都是A上等价关系, 求对应的商集, 其中 ai,ajA, ij. 是A上等价关系吗? 解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } } A/EA={ {a1,a2,…,an } } A/Rij= A/IA{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}. 不是A上等价关系(非自反). #
27
文字叙述为： Ａ在等价关系Ｒ下的等价类正是Ａ的一种 划分。Ａ的任一种划分，也必有Ａ上的一个 等价关系Ｒ与之对应。 若划分A为划分B的加细 RARB
证明：设Ｒ是等价关系，等价类的集合为
Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝。 1）ａ∈Ａ，由Ｒ的自反性， （ａ，ａ）∈Ｒ，即ａ与ａ属于同一等价类， 也即ｉ，ａ∈Ａi
(3) xRy [x]R[y]R= ; 证明: (3) (反证) 假设z, z[x]R[y]R, 则 z[x]R[y]R zRxzRy xRzzRy xRy, 这与xRy矛盾! [x]R[y]R=.
z
x y 11
定理1(证明(4))
(4) U{ [x]R | xA } = A. 证明: (4) A=U{ {x} | xA } U{ [x]R | xA } U{ A | xA }=A. U{ [x]R | xA } = A. #
x
y 12
定理2
[ 定理 2] R 是集合 A 上的一个等价关系， 则下列命题是等价的： 1、(a,b)R 2、[a]=[b] 3、[a][b]
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同余(congruence)关系
同余关系: 设n{2,3,4,…}, x,yZ,则 x与y模n同余(be congruent modulo n) xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ) 同余关系是等价关系 0 1 11 [0] ={ kn|kZ}, 10 2 [1] ={ 1+kn|kZ}, 9 3 [2] ={ 2+kn|kZ},…, 8 4 7 6 5 [n-1]={(n-1)+kn|kZ}.
Ｒ是等价关系，但不直观，用关系图表示。
三个不连通的图
19
二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分 成了三个等价类，
（Ａ）＝｛｛０｝，｛１，２，３｝，｛４，５｝｝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A/R＝｛［０］，［１］，［４］｝ 例6 ： Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ≡ｂ （ｍｏｄ３）， ａ，ｂ∈Ｉ｝ 是整数集合Ｉ上模３同余的二元关系. 证明R是等价关系。
20
证明：由于３｜（ａ－ｂ）ａ≡ｂ（ｍｏｄ３） (1) ３｜（ａ－ａ）， (2)若３｜（ａ－ｂ），则３｜（ｂ－ａ） (3)若３｜（ａ－ｂ），３｜（ｂ－ｃ），则 ａ－ｃ＝（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ） ３｜（ａ－ｃ） 满足传递性, 商集：Ｉ／Ｒ＝｛［０］，［１］，［２］｝ 其中 ［０］＝｛…，－６，－３，０，３，６，…｝ ［１］＝｛…，－５，－２，１，４，７，…｝ ［２］＝｛…，－４，－１，２，５，８，…｝
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也可表示为： [ 定义 ] 集合的划分：把集合Ａ分为若干子 集Ａ1，Ａ2，…，满足： （1）当ｉ≠ｊ时Ａi∩Ａj＝ （2） ａ∈Ａ， ｉ， 使ａ∈Ａi（ｉ＝１，２，…） 则集合 Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝ 称为Ａ的一个划分/partition。
23
划分(举例)
17
例4： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝ 则: Ｒ1把Ａ分为四类同花类， Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。 例5： Ａ＝｛０，１，２，３，４，５｝ Ｒ＝｛（０，０），（１，１），（２， ２），（３，３），（１，２），（１，３）， （２，１），（２，３），（３，１），（３， ２），（４，４），（４，５），（５，４）， （５，５）｝ 18
29
若Ａ已进行了划分，则构造二元关系Ｒ。 Ｒ={（a，b）| ａ，ｂ∈A， 且a，b在同一划 分块内}。 显然，Ｒ是自反的，对称的，
而且也是传递的，因为若（ａ，ｂ）∈Ｒ， （ｂ，ｃ）∈ Ｒ，则ａ，ｂ在同一划分块内， b，c在同一划分块内，由划分的性质知：a，b， c在同一划分块内。
故（ａ，ｃ）∈Ｒ。即R是A上的等价关系。
把Ａ中的等价元素归为一类，称为等价类 /equivalence class。
8
定理1
设R是A上等价关系,x,yA, (1) [x]R (2) xRy [x]R=[y]R ; (3) xRy [x]R[y]R= ; (4) U{ [x]R | xA } =A. 证明: (1) R自反xRxx[x]R[x]R.
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划分(partition)
注： 等价关系Ｒ把Ａ的元素分为若干类，各 类之间没有公共元素。 划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分 块(block).
例:
问A={a,b,c,d}上有多少种等价关系? 解: 15个。 注： （1）等价关系，用穷举法很难判别 （2）用关系图比较直观，明确 （3）用集合的分划来研究等价关系
32
4
例1(续)
定义 R1 R2 R3 x与y同年生 x与y同姓 x的年龄不比 y小 x与y选修同 门课程 自反 对称 传递 等价关系
R4 R5
5
x的体重比y 重
例2
例2: 设 RAA 且 A, 对R依次求三 种闭包共有6种不同顺序, 其中哪些顺序 一定导致等价关系? rst( R ), rts( R ), str( R ), srt( R ), trs( R ), tsr( R )=t(s(r( R ))) 解: st( R )ts( R ), sr( R )=rs( R ),… tsr( R )=trs( R )=rts( R ) str( R )=srt( R )=rst( R )
x
9
定理1(证明(2))
(2) xRy [x]R=[y]R ; 证明: (2) 只需证明[x]R[y]R和[x]R[y]R. () z, z[x]RxRy zRxxRy zRy z[y]R . [x]R[y]R. () 同理可证. z
x
y 10
定理1(证明(3))
~A1~A2… ~An-1An,… A1A2… An}-{}. #
24
例
例: A={a,b,c}, 求A上全体等价关系. 解: A上不同划分共有5种:
a b c b a c b a c b a c b a c
R1= EA, R2=IA{<b,c><c,b>}, R3=IA{<a,c><c,a>}, R4=IA{<a,b><b,a>}, R5=IA.
6
例2(续)
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R) =rts( R ) =rst( R ) 自反 对称 传递 等价关 (等价闭包) 系
7
等价类(equivalence class)
设R是A上等价关系,xA,令 [x]R={ y | yA xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x].
28
2）若ｉ≠ｊ，Ａi≠Ａj，而Ａi∩Ａj ≠ ， 则ｃ∈Ａi∩Ａj，ｃ∈Ａi，且ｃ∈Ａj, 对ａ∈Ａi，ａRｃ，ｃ∈Ａj ； 对ｂ∈Ａj，ｂRｃ，即ｃRｂ(对称性)， 由Ｒ传递性，ａRｂ，再由ａ，ｂ的任意性， 故Ａi＝Ａj ，与Ａi和Ａj 为不同的等价类矛盾。 故Ａi∩Ａj ≠ 。故Pr（Ａ）＝｛Ａ1，Ａ2，…， Ａn，…｝是集合A的一个划分。
等价关系与划分
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数
1
等价(equivalence)关系
定义 同余关系 等价类 商集 划分 划分的加细 Stirling子集数
2
等价关系Equivalence Relations
[定义1] Ａ上的二元关系Ｒ，如果Ｒ是
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例４： Ｎ的一个分划为：若１０ i-1≢ａ＜１０i， 则ａ∈Ａi，对应的等价关系 Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ有相同位数， ａ，ｂ∈Ｎ｝相同位的数归为一类，此Ｒ把Ｎ 分划为可列个等价类。
[定义]相容关系： Ａ上的二元关系Ｒ，若是自反的， 对称的，称Ｒ为相容关系。
等价关系必然是相容关系。
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[定义]平凡分划： 集合A的最粗或最细的分划，称为平凡分 划。
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划分的加细(refinement)
划分的加细: 设A和B都是集合A的划分, 若A的每个划分块都包含于B的某个划分 块中, 则称A为B的加细.
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等价关系与划分是一一对应的
定理: 设A, 则 (1) R是A上等价关系 A/R是A的划分 (2) A是A的划分 RA是A上等价关系,其中 xRAy z(zA xz yz) RA称为由划分A 所定义的等价关系(同块关系).
(1）自反的 (2）对称的 (3) 传递的 称Ｒ为等价关系/Equivalence Relations 。 （ａ，ｂ）∈Ｒ，称ａ与ｂ等价，
记作ａ～ｂ或aRb。
3
例1: 判断是否等价关系(A是某班学生): R1={<x,y>|x,yAx与y同年生} R2={<x,y>|x,yAx与y同姓} R3={<x,y>|x,yAx的年龄不比y小} R4={<x,y>|x,yAx与y选修同门课程} R5={<x,y>|x,yAx的体重比y重}