《离散数学课件》6等价关系

等价类、代表元
若R是A上的等价关系， a是A中任意一个元素，
集合
{x∊A│(x,a) ∊ R}
称为集合A关于关系R的一个等价类，记 [a]R= {x∊A│(x,a) ∊ R}, 简记[a] 其中a叫代表元。
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例1
A={1,2,3},
R={(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}
A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系，则有
(1) ∪[x]R=A，
x∊A
(2) 对于任意的x,y∊A， 若[x]R∩[y]R≠Ø ，则[x]R=[y]R。 证明(1) 显然，对于任意的x∊A，有[x]R⊆A， 所以 ∪[x]R ⊆ A. 反之，对于任意的x’ ∊A，则x’ ∊[x’]， 即 x’ ∊ ∪[x]R ，
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7.5 等价关系和集合的划分
7.5.1 等价关系与等价类 7.5.2 商集合 7.5.3 集合的划分
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例 试画出关系图
A={1,2,3,4,5,6,7,8} R={(x,y) │x,y ∊A, x≡y(mod 3)} 其中x≡y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除.
1
4
7 2
(1) π (2) xy (x,y∈π∧x≠y→x∩y=) (3) ∪π=A
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集合的划分——等价关系
若给定集合A上的一个划分π， 可以在A上定义一个二元关系R， 使得R成为A上的一个等价关系，且有 A/R ＝π
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例：考虑集合A={a,b,c,d}的一个划分: {{a}, {b,c}, {d}} 求该划分所对应的等价关系. 解: R={(a,a), (b,b), (c,c), (b,c),(c,b),(d,d)}
例设A={1,2,3,…},并设~是A×A上的关系，其 定义为：若ad=bc， 则(a,b) ~(c,d)。证明 ~ 是一个等价关系。
证： (1) 自反性 对于∀(a,b)∊A×A, 因为ab=ba， 则有(a,b) ~(a,b) 。 (2) 对称性 如果(a,b) ~(c,d)，即有 ad=bc， 即有 cb=da， 故有(c,d) ~(a,b)。 (3) 传递性 如果(a,b) ~(c,d)，(c,d) ~(e,f)， 即有 ad=bc, cf=de, 于是有 adcf=bcde 即 af=be, 故有 (a,b)~(e,f) 8/55
求其等价类 [a]={a}, [b]=[c]={b,c}, [d]={d} 商集A/R={[a],[b],[c]} ={{a},{b,c},{d}}
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例：给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
π1 对应等价关系 R1 ={<2,3>,<3,2>}∪IA π2 对应等价关系 R2={<1,3>,<3,1>}∪IA π3 对应等价关系 R3={<1,2>,<2,1>}∪IA π4 对应于全域关系 EA，π5 对应于恒等关系 IA
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小结 等价关系
等价关系 Hale Waihona Puke 价类 定义 性质
商集、集合的划分 等价关系和划分的对应

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x∊A x∊A
所以 A ⊆ ∪[x]R
x∊A
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定理1 证明 若[x]R∩[y]R≠Ø ，则[x]R=[y]R
证明(2): 对于任意的x,y ∊A，若[x]R∩[y]R≠Ø， 则存在a∊[x]R∩[y]R。 由a∊[x]R，得(a,x)∊R； 再由R的对称性，有(x,a) ∊R。 由a∊[y]R, 有(a,y) ∊R。 利用R的传递性，得(x,y)∊R。 下面开始证明[x]R=[y]R。 对于任意的z∊ [x]R，有(z,x) ∊R, 又因为刚才已得到(x,y) ∊R， 由R的传递性，得到(z,y) ∊R, 所以有z∊ [y]R。从而证得 [x]R⊆[y]R。 同理可证[y]R⊆[x]R。 所以最后得到[x]R=[y]R。
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例3
(p106)
Z是整数集，在Z上定义一个二元关系R： 对于任意的 x,y∊Z, (x,y) ∊R当且仅当x与y被 5除余数相同。R是Z上的等价关系。
显然, x与y被5除同余的充要条件是5|(x-y), 这里符号 a|b表示a整除b，a与b是两个整数。 对于 x∊Z，有5|(x-x), 即(x,x) ∊R，亦即R有自反性。 对于 x,y∊Z，若(x,y) ∊R, 即5|(x-y)， 也即5|(y-x), 所以(y,x) ∊R， 亦即R有对称性。 对于 x,y,z∊Z，若(x,y) ∊R, 且(y,z) ∊R， 即5|(x-y)，且5|(z-y)，则 5|[(x-y)+(y-z)]， 亦即5|(x-z)，所以(x,z) ∊R，亦即R有传递性。 故R是A上的等价关系。 7/55
[0]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n} [1]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+1} [2]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+2} [3]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+3} [4]R={x∊Z│∃n∊Z, x=5n+4}
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例 A={1,2,3,4,5,6,7,8}
R={(x,y) │x,y ∊A, x≡y(mod 3)}
二元关系的性质与闭包（7.3-7.4）

性质
自反性、反自反性
对称性、反对称性 传递性

闭包
自反闭包r(R) 对称闭包s(R) 传递闭包t(R)
1
特 点
自反性 定义 反自反性 对称性 若 (x,y)∊R,则有 (y,x)∊R 反对称性 若 (x,y)∊R 且 (y,x)∊R,则x＝ y 传递性 若 (x,y)∊R 且 (y,z)∊R 则(x,z)∊R 对每个x∊A 对每个 x∊A，有 ，有 (x,x)∊R (x,x)∉R
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商集合
定义2 A是一个非空集合，R是A上的一个等价关 系，集合{[x]R│x∊A} 叫集合A的商集合，记 为 A/R= {[x]R│x∊A}
例 A={1,2,3},
1 2 3
A/R={ [1]R , [3]R}={ {1,2} , {3} }
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例
Z是整数集，在Z上定义一个二元关系R： 对于任意的 x,y∊Z, (x,y) ∊R 当且仅当x与y被5除余数相同。 则 Z/R={ [0]R, [1]R, [2]R, [3]R, [4]R}
则R是A上一个等价关系。
1
2
3
显然 [1]R＝{1,2}
[2]R＝{1,2}
[3]R＝{3}
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例2 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
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定理1(p107) 等价类的性质
关系矩 阵的特 点 关系图 的特点
主对角线 主对角线 元素全为1 元素全为 0 每个顶点 都有环 每个顶点 都没有环
矩阵为对称矩 如果rij=1,且 阵 i≠j,则rji=0 如果两个顶点 之间有边,一 定是一对方向 相反的边 如果两个顶 点之间有边, 一定是一条 有向边 如果顶点A到 B有边,B到C 有边,则从A 到C有边
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例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 则π1和π2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
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定理1’
A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系，则有
(1) ∪[x]R=A，
x∊A
(2) 对于任意的x,y∊A，若[x]R∩[y]R≠Ø ，
则[x]R=[y]R。
(3) [x]R≠Ø, 且[x]R⊆A. (4) 若xRy, 则[x]R=[y]R. (5) 若xRy, 则[x]R∩[y]R=Ø
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例3 设 A={1, 2, 3, 4}，在 AA上定义二元关系R： <<x,y>,<u,v>>R x+y = u+v， 求 R 导出的划分. 解 AA={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>,<2,4>, <3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4,4>}
A/R={[1]R, [2]R, [3]R}
={ {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }
A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = { {1},{2}, … ,{8}} A/EA = { {1, 2, … ,8} }
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集合的划分
定义3 设A为非空集合, 若A的子集族π(πP(A)) 满 足下面条件： α∊B (1) π (2) xy (x,y∈π∧x≠y→x∩y=) (3) ∪π=A 则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.
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等价关系
定义1 A是一个非空集, R是A上的一个二元关系， 若R有自反性、 对称性、 传递性， 则说R是A上的等价关系。
设 R 是一个等价关系, 若<x, y>∈R, 称 x 等价于 y, 记做 x～y.