离散数学等价关系
离散数学第三章第四节
R= R1R2R3 ={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<e,e>, <a,b>,<b,a>,<d,e>,<e,d>}
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5、等价关系、商集及划分之间的关系（4）
例3：给出A={1，2，3}上的所有等价关系。 解：因A的所有划分如下图所示:
A上的所有等价关系就是π1 、π2 、π3 、π4 、π5对应的等 价 关 系 ，它们依次为 EA ， R2 ， R3 ， R4 ， IA ，其中 EA=A A为全域关系， IA= {<1,1> ,<2,2> ,<3,3> }， R2={<2,3>,<3,2>} IA R3={<1,3>,<3,1>} IA R4={<2,1>,<1,2>} IA
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5、等价关系、商集及划分之间的关系（1）
定理4 集合A上的等价关系R确定A的一个划分，这个划分 就是商集A／R。 证：1、A/R={[a]R|aA},显然
aA
[a]
R
A
2、对aA，有a[a]R，所以A中的每个元素都属于 某个分块。 3、下面证明A中的任一个元素仅属于某一个分块。 设aA ，a[b]R且a[c]R，那么，bRa，cRa 。因 R对称，所以aRc。又因R是传递的,所以bRc。按定理3, [b]R=[c]R 。 综上所述，A/R是A关于R的一个划分。
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3、等价类（2）
定理3 设R为非空集合A上的等价关系，a,b A, aRb当且仅当[a]R=[b]R。
证明：若aRb，任取c[a]R , c[a]RaRccRacRbbRcc[b]R , 故[a]R[b]R。 同理可证[b]R[a]R。 故[a]R=[b]R 。 反之,若[a]R=[b]R ,则 a[a]R a[b]R bRa aRb
离散数学第四章等价关系和偏序关系
偏序集的特定元素
定义 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.
定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π P(A)) 满足下面条件：
2 覆盖 1, 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
4 和 6 覆盖 2. 设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、 最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下 界、上界、下确界、上确界.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 fห้องสมุดไป่ตู้ 最小上界为 d.
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哈斯图实例
例4 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
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哈斯图实例（续）
例5 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>, <c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
离散数学中等价关系的性质
离散数学中等价关系的性质【摘要】等价关系是离散数学中非常重要的内容之一，文[1]研究了等价关系的一些性质，本文在[1]的基础上对等价关系的性质做进一步的研究，得出了新的结论。
【关键词】离散数学；二元关系；等价关系1 预备知识“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程，等价关系是离散数学中非常重要的内容之一，本文介绍了等价关系的概念，给出了等价关系的一些性质。
定义 1 设R 为非空集合A 上的二元关系，如果对任意x∈A，都有∈R，则称R具有自反性。
定义 2 设R 为非空集合A 上的二元关系，如果对任意x，y∈A，若∈R，则∈R，称R具有对称性。
定义 3 设R 为非空集合A 上的二元关系，如果对任意x，y，z∈A，若∈R且∈R，都有∈R，称R具有传递性。
定义 4 设R 为非空集合A 上的二元关系，如果R具有自反性、对称性和传递性，则称R 为A 上的等价关系。
2 主要结果定理1 设R是集合A上的二元关系，令S={∣？埚z∈A使∈R且∈R}，若R是等价关系，则S也是等价关系。
证明：因为R是等价关系（1）由于R是自反的，所以对任意x∈A有∈R，由S的定义知∈R且∈R，所以∈S，所以S是自反的。
（2）若∈S，则？埚z∈A使∈R且∈R。
因为R是对称的，所以∈R且∈R，由S的定义知∈S，所以S是对称的。
（3）若∈S且∈S，则？埚u∈A使∈R且∈R？埚v∈A使∈R且∈R因为R是传递的，所以∈R且∈R，所以∈S所以S是传递的。
故S是A上的等价关系。
定理2 设A，B为非空集合，R1，R2分别为A，B上的等价关系，令R={，>∣∈R1且R2} ，则R是A×B上的等价关系。
证明：（1）任意∈A×B，因为R1，R2分别为A，B上的等价关系，所以对任意x∈A有∈R1，任意y∈B有∈R2，所以对任意∈A×B，由R的定义知，>∈R。
所以R是自反的。
（2）任意，∈A×B，如果，>∈R，则∈R1且∈R2。
离散数学(3.10等价关系和等价类)
又例如 一群人的集合中姓氏相同的关系也是
等价关系。
但父子关系不是等价关系，因为它不可传递。
例1 设A是任意集合，则A上的恒等关系和全
域关系UA均是A上的等价关系。
例2 设 A {a,b, c, d} ，A上的关系
{a, a,a,b,b, a,b,b,c,c,c, d,d,c,d, d}
显然有 [0] [3] [3] [6] [1] [4] [2] [2] [5] [1]
而 Z1, Z2 , Z3 恰好为 Z 的一个划分。
3.8.2等价类的性质(The Properties of
Equivalence class )
class )
பைடு நூலகம்
AB
3.8.3等价关系与划分(Equivalence Relations &
Partitions)
3.8.1等价关系的定义(The Definition of
Equivalence Relation )
1. 等价关系
定义3.8.1集合A上的关系ρ，如果它是自反的，对
称的，且可传递的，则称ρ是A上的等价关系。
例4 对于例2中的ρ来说
[a] {a,b}, [b] {a,b}
[c] {c, d}, [d ] {c, d}
例5 整数集Z关于模3同余关系ρ的等价类共有三个：
Z1 [0] { ,3n, ,6,3,0,3,6, ,3n, },
Z2 [1] { ,3n 1, ,5,2,1,4,7, ,3n 1, }, Z3 [2] { ,3n 2, ,4,1,2,5,8, ,3n 2, }
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
抖 ¨ ‰ 艹 渺 冖妒 ”
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工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
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I纟
:
轱
/廴
跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学等价关系
离散数学等价关系一、离散数学是一门什么样的学科？与数学的主流分支不同，离散数学看上去似乎没有一个确定的中心话题，内容很庞杂。
我曾做过一个粗略的统计，离散数学的内容涉及大约43个左右大大小小不同的话题，从集合、函数、关系、命题逻辑、谓词逻辑，到算法、计数、数据结构、递归、图论、概率、数论、形式语言与自动机，布尔代数、向量与矩阵，线性规划、抽象代数，编码理论、信息论，博弈论、运筹学、理论计算机科学等，真是那句俗话，XXXX是个筐，什么都可以往里装。
由于离散数学的内容包括面很广，一本通常意义上的教科书不可能全部涵盖，因此我们看到的教科书基本是上述内容集合的不同子集。
那么到底应当如何定义「离散数学」这门学科呢？如果我们使用集合的语言表达就是：（1）离散数学= {x∈数学| 离散结构(x)}其中，「离散数学」是「数学」的一个子集，「离散结构」是一个谓词，x代表任意数学学科。
现在来详细考察一下这个「离散数学」的定义式。
我们的考察，从为什么会出现这样一个学科开始。
首先，离散数学和其它数学分支不同，它并没有开辟数学的新领域，而是在既有的数学领域划出一个范围，以「离散结构」这个性质为标准，若某个数学内容具有「离散结构」的属性就划入。
那为什么会出现「离散数学」这门学科呢？回答是——是因为计算机的出现！！！因为计算机只能处理「离散」对象。
生活中「离散」对象和「连续」对象的例子是大米和水，前者是离散的，后者是连续的，因为米粒是可列举的、可数的，英语属于可数名词，中文可以用单位量词「粒」等表示，水是无法列举的、也是不可数的，因而在英语中属于不可数名词，中文则不可直接用单位量词表示。
形象地说，计算机可以处理像米粒这样的离散对象而无法直接处理像水这样的连续对象。
例如，我们在计算机屏幕上看到一条光滑的曲线。
按照微积分定义，一条光滑曲线在某个区间一定是连续的，因而一定可以找到区间内任意一点的极限。
换句话说，在这个区间内你是无法确定一个离散点的确切位置的，因为在这个区间内，所有的点都是无穷小，而这些无穷小的点的数量是无穷多。
离散数学作业6-集合与关系-等价关系
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作业6 ——等价关系
1. 设R 和S 均为A 上的等价关系，确定下列各式，哪些是A 上的等价关系？如果是，证明之；否则，举反例说明。
（1）R ∩S （2）R ∪S （3）r (R-S)
（4）R- S （5）R ◦S （6）R 2
2. R 是集合A 上的二元关系，∀ a,b,c ,若aRb,且bRc,有cRa ,则称R 是循环关系。
证明R 是自反和循环的，当且仅当R 是一等价关系。
3. 设|A|=n ，在A 上可以确定多少个不同的等价关系？
4. 给定集合S={ 1 , 2 , 3, 4, 5 }，找出S 上的等价关系R ，此关系R 能够产生划分{{1，2}，{3}，{4，5}}，并画出关系图。
5. 设A={1，2，3，4，5}。
R 是集合A 上的二元关系，其关系矩阵如下图所示。
求包含R 的最小等价关系和该等价关系所确定的划分。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010001000
000000101000001R
M
6. （选做题）设R 与S 是A 上的等价关系，证明：
（1）R S 是A 上的等价关系，iff R S=S R ；
（2）R ∪S 是A 上的等价关系，iff R S ⊆S 且 S R ⊆R.。
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设A为正整数集，在A上定义二元关系R：<，>属于R当且仅当xv=yu，证明R是一个等
价关系，要过程详细点…
(1)对于任意的x,y∈A，因为xy=yx
所以<
故R是自反的
（2）对于任意的<
所以xv=uy
所以uy=xv
所以<
故R是对称的
（3）对于任意的<
所以xv=uy且uz=wv
所以xz=xwv/u=uyw/u=yw
所以<
故R是传递的
综上，故R是等价关系