概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
11
二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（充分性）假设R诱导出π,π诱导出等价关系R′。 那么对任意a,b∈A aRb iff ［a］R =［b］R iff a,b∈［a］R iff 存在B，使(B∈π∧a∈B∧b∈B) iff aR′b 所以，R=R’。
回顾：
偏序关系 拟序、线序、良序
1
3.5
一、等价关系
等价关系和划分
定义1：如果集合A上的二元关系R是自反的,对称的和传递的, 那么称R是等价关系。设R是A上的等价关系,a,b是A 的任意元素，如果aRb(即〈a,b〉∈R),通常我们记作 a～b,读做“a等价于b”。 如: 实数集上的“=”关系； 任何集合上的相等关系和全域关系； 空集上的二元关系。 等价关系的有向图的每一分图是完全图。
若R1 = R 2，对任意a ∈ A， 则[a ]R1 = {x | x ∈ A ∧ xR1a} = {x | x ∈ A ∧ xR 2a} = [a ]R 2， 所以{[a ]R1 | a ∈ A} = {[a ]R 2 | a ∈ A}。
充分性：
反之，假设{[a ]R1 | a ∈ A} = {[a ]R 2 | a ∈ A}，对任意[a ]R1， 必存在[c ]R 2 ∈ {[a ]R 2 | a ∈ A}，使得[a ]R1 = [c ]R 2，故 < a , b >∈ R1 ⇔ a ∈ [a ]R1 ∧ b ∈ [a ]R1 ⇔ a ∈ [c ]R 2 ∧ b ∈ [c ]R 2 ⇒< a, b >∈ R 2，所以R1 ⊆ R 2，类似有R 2 ⊆ R1，所以R1 R 2。 ＝
x∈A
又 Q[a ] ⊆ A， c ∈ A， U [x ] ⊆ A ∴ ∴
x∈A
又 Q 对任意c ∈ A，必有c ∈ [c]，而[c] ⊆ U [x ]，
x∈A
∴ c ∈ U [x ]， A ⊆ U [x ] ∴
x∈A x∈A
综上，A = U [x ]
x∈A
7
一、等价关系
定理4：设R1和R2是集合A上的等价关系,那么R1=R2当且仅当 {［a］R1｜a∈A}={［
定义2:设R是集合A上等价关系,对每一a∈A，a关于R的等价类 是集合{x｜xRa},记为［a］R，简记为［a］;称a为等价 类［a］的表示元素。 如果等价类个数有限,则R的不同等价类的个数叫做 R的秩;否则秩是无限的。 对每一a∈A,等价类［a］R非空,因为a∈［a］R。 例2：R是I上的模3等价关系，确定由I的元素所产生的等价类。 ［0］3={…-6,-3,0,3,6,…}= ［-3］3=［3］3= ［6］3 =… ［1］3={…-5,-2, 1,4,7,…}= ［-2］3=［4］3= ［7］3 =… ［2］3={…-4,-1,2,5,8,…}= ［-1］3=［5］3= ［8］3 =… 该等价关系R的秩为3。 例3：集合A上相等关系的秩等于？ A的元素个数。
13
B∈π
二、划分
例5：设A={a,b,c,d,e}，划分S={{a,b},{c},{d,e}}, 由S确 定A上等价关系R。 解：R={a,b} ×{a,b} ∪{c} ×{c} ∪{d,e} ×{d,e} = {〈a,a〉, 〈a,b〉, 〈b,a〉, 〈b,b〉, 〈c,c〉, 〈d,d〉, 〈d,e〉, 〈e,d〉, 〈e,e〉} 若已知等价关系，求划分，则把有R关系的元素放到一 个划分块即可。
5
一、等价关系
定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 证：如果A= ∅ , 断言无义地真。 现设A≠ ∅ 。若［a］∩［b］≠ ∅ , 则存在某元素c c∈［a］和c∈［b］。 根据定理1得［a］=［c］=［b］。 又因［a］和［b］都非空, ［a］∩［b］= ∅和［a］=［b］不能兼得。故定理得证。
4
一、等价关系
定理1：设R是非空集合A上的等价关系,aRb当且仅当 ［a］=［b］ 证 ：1)充分性： 因为a∈［a］且［a］=［b］,即a∈［b］,所以aRb。 2)必要性： 对任意x∈［a］,有xRa， 又因为aRb,由传递性可知xRb，即x∈［b］ 所以［a］⊆［b］，同理可证［b ］⊆［a］ 故［a］=［b］。
9
二、划分
定义4：给定非空集合A和非空集合族π={A1,A2,…,Am},如果 (i)π是A的覆盖,即 A = U A i
i =1 m
(ii)Ai∩Aj= ∅ 或Ai=Aj(i,j=1,2,…,m) 那么集合族π叫做集合A的一个划分；划分的元素Ai 称为划分π的块,如果划分是有限集合,则不同块的 个数叫划分的秩。若划分是无限集合,则它的秩是无 限的。划分的秩就是划分的大小。
定理3：设R是集合A上的等价关系,则 A = U [x ] x∈A 定理7：设R1和R2是非空集合A上的等价关系,那么R1=R2当且仅 即R的等价类集合是A的覆盖。
当A/R1=A/R2。
定理6，7说明A上的等价关系可以诱导出A的划分，且是唯一 的。
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二、划分
定理8：设π是非空集合A的一个划分,则A上的二元关系: R = U B × B 或写成 aRb ⇔ ∃B[B ∈ π ∧ a ∈ B ∧ b ∈ B] 是A上的等价关系。 证：(a)对任意a∈A，因为a是在π的某块B中,所以aRa， 故R自反。 (b)如果aRb,那么有某块B∈π,使a∈B和b∈B， 所以bRa，故 R是对称的。 (c)如果aRb和bRc,那么存在B1∈π和B2∈π,使 a,b∈B1和b,c∈B2,即b∈B1∩B2,由划分的定义, 要么B1∩B2= ∅,要么B1=B2,所以B1=B2。 因此,c∈B1,有aRc，故 R是传递的。 通过该定理可知A的划分也可诱导出A上的等价关系。
6
一、等价关系
定义3：给定非空集合A和非空集合族π={A1,A2,…,Am},如 果 A = U A i ,那么称集合族π是A的覆盖。
i =1 m
U 定理3：设R是集合A上的等价关系,则 A = x∈A[x ] 即R的等价类集合是A的覆盖。 证： Q 对任意c ∈ U [x ]，必存在一a，使c ∈ [a ]，
等价关系和划分只是相同概念的不同描述，本质相同。
16
二、划分
例6：设A={a,b,c,d,e}，构造A上的一个等价关系 S，使得|S|=7。 例7：设A={a,b,c}，求A上所有的等价关系。
17
作业：P125 3、6、7、11(a)
18
2
一、等价关系
例1：设A为任意整数集合的子集， A上的关系R={〈x,y〉 |x≡y(mod k)} (称x,y模k (k是一个正整数)等价， 即存在整数m,使x-y=mk,k为模数)，证明R是等价关系。 证：(1)若A为空集，显然R为等价关系。 (2)若A非空，则 i) 因为对任意a∈A,有a-a=0·k，所以a≡a(mod k)， 故R自反； ii) 因为a≡b(modk)时,存在某m∈I,使a-b=m·k, 于是b-a= -m·k,因此b≡a(modk),故R对称； iii)设a≡b(modk)和b≡c(modk), 那么存在m1,m2∈I,使a-b=m1k和b-c=m2·k, 将两等式两边相加,得a-c=(m1+m2)·k, 所以a≡c(modk)，故R传递。 3
离散数学-同态和同构
离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形 和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是 拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓 扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$， 有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。
离散数学(3.10等价关系和等价类)
又例如 一群人的集合中姓氏相同的关系也是
等价关系。
但父子关系不是等价关系，因为它不可传递。
例1 设A是任意集合，则A上的恒等关系和全
域关系UA均是A上的等价关系。
例2 设 A {a,b, c, d} ，A上的关系
{a, a,a,b,b, a,b,b,c,c,c, d,d,c,d, d}
显然有 [0] [3] [3] [6] [1] [4] [2] [2] [5] [1]
而 Z1, Z2 , Z3 恰好为 Z 的一个划分。
3.8.2等价类的性质(The Properties of
Equivalence class )
class )
பைடு நூலகம்
AB
3.8.3等价关系与划分(Equivalence Relations &
Partitions)
3.8.1等价关系的定义(The Definition of
Equivalence Relation )
1. 等价关系
定义3.8.1集合A上的关系ρ，如果它是自反的，对
称的，且可传递的，则称ρ是A上的等价关系。
例4 对于例2中的ρ来说
[a] {a,b}, [b] {a,b}
[c] {c, d}, [d ] {c, d}
例5 整数集Z关于模3同余关系ρ的等价类共有三个：
Z1 [0] { ,3n, ,6,3,0,3,6, ,3n, },
Z2 [1] { ,3n 1, ,5,2,1,4,7, ,3n 1, }, Z3 [2] { ,3n 2, ,4,1,2,5,8, ,3n 2, }
最新概率论讲义(2014)
，则又称 U A = ∑ A ；若 A , A ,L, A ,L 互不相容（两两互不相容）
i i =1 i =1 i 1 2 n
⎧ 很小以致可以忽略 随机性的作用 ⎨ ⎩基本的，如布朗运动
【注 2】随机现象中的“不确定性”有两层含义，一则指客 观结果的不确定性；一则指主观猜测的不确定性，后者融入 了观察者个人的信念。 【统计规律性】大量随机现象所具有的规律性，概率论主要 研究此。 对于随机现象，即使条件完全相同，它们的出现所产生 的结果也不尽相同，此之谓“现象的随机性” ；那么随机性 产生的原因是什么呢？
i =1 n
若 A1 , A2 ,L, An ,L 为一列事件，则“ A1 , A2 ,L, An ,L 至少一个发 生”作为事件，称之为 A1 , A2 ,L, An ,L 的并事件，记作：
A1 U A2 ULU An UL ，简记为： U An ； （可列并）
n =1 ∞
2【事件的交运算】设 A, B 为两事件，则“ A, B 同时发生” 这 种情况可能出现也可能不出现，其作为一个随机事件，称之
第一章
随机事件及其概率
§1 概率论的发展简史
概率论是研究随机现象数量规律性的一门学科，它源于 对机会游戏（赌博问题）的研究。概率概念的要旨只是在 17 世纪中叶法国数学家帕斯卡 (Pascal) 与费马 (Fermat)的讨论 中才比较明确，他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问 题"；该问题可以简化为： 甲、乙两人同掷一枚硬币，各出相同的赌注；规定：掷 出正面者获胜；先胜满三局者赢取全部赌注。假定在甲胜二 局乙胜一局时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配 赌注才算公平合理。 帕斯卡：若再掷一次甲胜，甲获全部赌注， 两种情况可能 性相同，所以这两种情况平均一下；若乙胜，甲、乙平分赌 注；甲应得总赌注的 3 4 ，乙得总赌注的 1 4 。 费马：结束赌局至多还要 2 局，结果为四种等可能情况： 情况 １ ２ ３ ４ 赌局 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙 ；前 3 种情况，甲获全部赌注， 仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得总赌注的 3 4 ，乙
集合论第三课 等价关系与偏序关系
• 定理2.16 设R1和R2是A上的等价关系， 则 R1R2是A上的等价关系。
• 例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，A上的二元关系R 中，有多少个是等价关系？
• 因为等价类划分和等价关系是一一对应的， 所以A上的二元关系中等价关系的个数等于 A的划分个数。 • 西安交通大学1998考研
例： A是学生集合，是在A中按学院的划分， ’是在A中按专业的划分。和’确定A 上的等价关系R:同学院同学关系和R’:同专 业同学关系，显然R’R。
• 证明： • /*’细分 R’R ，基本法*/ • 对于任一<a, b>R’，存在'的某块S’，使a, bS’。因为’细分，所以必存在的块S， 使S’S。因此a, bS，从而<a, b>R。 • /* R’R ’细分 */ • 设S’是‘的一块，aS’则[a]R’ ={x|xR’a}=S’ （请展开证明）。由于R’R，若xR’a必有 xRa。因此{x|xR’a}{x|xRa}，即 [a]R’[a]R。 ’的一块包含在的一块中，所以’细分 。
• /*北京航空航天大学1996考研试题*/
2.7 次序关系
• 二 拟序关系 • 定义2.22（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称 R为A上的拟序关系。称(A, R)为拟序集，或记为 (A, <)。（不意味着小于）
• 定理2.24 A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称 的。 证明：反证法
– 位置关系：若a b，则结点a在b之下； –Байду номын сангаас连线规则：若a与b之间不存在其他元素c，使a c，c b则在a与b之间用一线相连。
2.7 次序关系
• 例题： Rosen《离散数学及其应用（本科教学 版）》p225例13、例14、P226例18
超实数_集合论_关系_概述及解释说明
超实数集合论关系概述及解释说明引言1.1 概述引言部分将介绍本篇长文的主题和主要内容，即超实数、集合论和关系的概述及解释说明。
我们首先会对超实数进行定义和特点的讨论，然后探究其基本运算法则以及在应用领域中的意义。
随后，我们会深入研究集合论的基本概念、运算法则以及应用，并解释其中与超实数相关的内容。
最后，我们将探讨关系的基本概念，并研究其性质和分类，并阐述关系在超实数和集合论中的应用。
1.2 文章结构本篇长文共分为五个部分。
在引言部分（第1节），我们将对文章整体进行概述。
在第2节中，我们将详细介绍超实数的定义、特点、基本运算法则以及其在应用领域中的意义。
接下来，在第3节中，我们将全面讲解集合论的基本概念、运算法则以及其应用，并与超实数进行联系。
然后，在第4节中，我们将探索关系的基本概念，包括定义解释、性质与分类，并研究关系在超实数和集合论中的重要性与应用。
最后，在第5节的结论部分，我们将对前文进行总结与归纳，并分析超实数、集合论和关系的重要性，展望未来的研究方向和发展趋势。
1.3 目的本篇长文的目的在于提供读者对超实数、集合论和关系一些基本知识，并探究它们在数学和其他领域中的应用。
通过深入了解超实数及其特点、集合论中的基本概念与运算法则、以及关系的性质与分类，读者可以增加对这些概念和理论的理解和认识。
此外，我们还将讨论它们在现实世界中的意义，并为读者提供未来研究方向和发展趋势的展望。
通过阅读本篇长文，读者可以对超实数、集合论和关系有一个全面而深入的认识。
2. 超实数2.1 定义与特点超实数是实数的扩展，它是由Burgers和Conway于推广超复数而引入的。
在传统的实数系统中，我们可以进行基本的加减乘除运算，并有序地排列。
然而，当需要处理无穷大、无穷小或者不存在的数值时，传统实数系统就显得不够灵活。
超实数通过引入无穷小和无穷大元素来扩展实数，从而补充了传统实数系统的不足之处。
在超实数中，存在着比任何实数还要小的非零元素，即无穷小元素；同时也存在着比任何实数还要大的元素，即无穷大元素。
集合论--第8讲等价关系与划分
离散数学等价关系与划分第8讲定义8.1设R是非空集合A上的关系，(1) 若R是自反的、对称的和传递的，则称R是A上的等价关系。
(2) 如果R是一个等价关系，若<x,y> ∈R,称x等价于y,记作x~y。
定义8.2设R是非空集合A上的等价关系， x∈A，令[x]R={y| y ∈ A ∧ xRy}。
称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x]。
定理8.1设R 是非空集合A 上的等价关系，则①∀x∈A，[x]R 是A 的非空子集。
②∀x ，y∈A，如果<x,y>∈R，则[x]R =[y]R 。
④∪{[x]R | x∈A }=A 。
③∀x ，y∈A，如果<x,y>∉R ，则[x]R 与[y]R 不交，即[x]R ∩[y]R = ∅。
证明①∀x∈A，[x]R是A的非空子集。
证明：由等价类的定义易知，∀x∈A⇒[x]R⊆A。
又由等价关系的自反性知，x∈[x]R，所以[x]非空。
证明②∀x，y∈A，如果<x,y>∈R，则[x]R=[y]R。
证明：∀z∈[x]R⇒xRz⇒zRx(∵R是对称的)∴zRx∧xRy⇒zRy(∵R是传递的)⇒yRz (∵R是对称的)⇒z∈[y]R⇒[x]R⊆[y]R同理可证[y]R⊆[x]R,所以[x]R=[y]R。
证明假设[x]R ∩[y]R ≠∅，则∃z∈[x]R ∩[y]R ⇒z∈[x]R ∧z∈[y]R ⇒xRz∧zRy⇒xRy ，矛盾。
证明：③∀x ，y∈A，如果<x,y>∉R ，则[x]R 与[y]R 不交，即[x]R ∩[y]R = ∅。
证明④∪{[x]R| x∈A}=A。
对于任意y，y∈∪{[x]R|x∈A}⇒∃x(x∈A∧y∈[x]R)⇒y∈A(∵[x]R⊆A)∴∪{[x]R|x∈A}⊆A对于任意y，y∈A⇒y∈[y]R∧y∈A⇒y∈∪{[x]R|x∈A}∴A⊆∪{[x]R|x∈A}定义8.3设R是非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集，记作A/R，即A/R={[x]R | x ∈ A}。
Lp空间的核心要素
Lp空间的核心要素Lp空间是数学中常用的函数空间，它在分析学、概率论、测度论等领域中有着广泛的应用。
Lp空间的核心要素包括范数、可测函数和等价关系。
本文将详细介绍Lp空间的定义、性质和应用。
一、Lp空间的定义Lp空间是由具有p次方可积性质的函数组成的函数空间。
对于给定的可测函数f(x)，其p次方可积性质定义如下：∫|f(x)|^p dx < ∞其中，p是一个大于等于1的实数。
根据这个定义，我们可以得到Lp 空间的范数。
二、Lp空间的范数Lp空间的范数是衡量函数f(x)在Lp空间中的大小的一种方式。
对于给定的可测函数f(x)，其Lp范数定义如下：||f||p = ( ∫|f(x)|^p dx )^(1/p)其中，||f||p表示函数f(x)在Lp空间中的范数。
Lp范数具有以下性质：1. 非负性：||f||p ≥ 0，且当且仅当f(x)为零函数时，等号成立。
2. 齐次性：对于任意实数α，||αf||p = |α| ||f||p。
3. 三角不等式：对于任意两个可测函数f(x)和g(x)，有||f+g||p ≤ ||f||p + ||g||p。
三、可测函数在Lp空间中，函数的可测性是一个重要的概念。
可测函数是指满足一定测度性质的函数。
具体来说，对于给定的可测函数f(x)，其满足以下条件：1. 对于任意实数a，集合{x | f(x) > a}是可测集。
2. 对于任意实数a，集合{x | f(x) ≥ a}是可测集。
可测函数在Lp空间中具有良好的性质，可以进行积分、求导等操作。
四、等价关系在Lp空间中，我们可以定义函数之间的等价关系。
对于两个可测函数f(x)和g(x)，如果它们在Lp范数下的值相等，即||f-g||p = 0，则称f(x)和g(x)在Lp空间中是等价的。
等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意可测函数f(x)，有f(x)与自身等价。
2. 对称性：对于任意可测函数f(x)和g(x)，如果f(x)与g(x)等价，则g(x)与f(x)等价。
概率论与数理统计公式整理[超全免费版]
（15）全概 公式
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B1 ， B2 ，…， Bn 与 A 满足
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P(A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
函数 F (x) 表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F ( ) lim F (x) 0 ， F ( ) lim F (x) 1；
正态分布
1 ex ,
F(x) 0,
记住积分公式：
x nex dx n!
0
x 0,
x<0。
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ， x ，
2
其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、
的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 X ~ N(, 2) 。
立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。
概率论
i 1 n 1 i j n j k
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A
i n 1
)
( 1)
P( A 1 A 2 A n ).
§4. 等可能概型(古典概型)
等可能概型的两个特点: (1) 样本空间中的元素只有有限个; (2) 每个基本事件发生的可能性相同.
在古典概型中，若P(A)>0
n AB P(AB) n P(B | A) nA nA P(A) n n AB
§5. 条件概率
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称 P(AB) P(B | A) P(A) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件,即
计算条件概率有两种方法:
设P(A) 0, 求P(B | A)
(1)根据A发生以后的情况直接计 算.
n AB P(B | A) nA
(2)先计算 P(A),P(AB),然后按公式计算 P(AB) P(B | A) . P(A)
我们一般采用(2)计算.
例1. 3只一等品 1只二等品
任取一只,不放回
10 对于每一个事件 B, 有 0 P(B | A) 1
2 P(S | A) 1
0
3 设B 1 , B 2 , 两两 互不相 容 ,则 P( B i | A) P(Bi | A)
i 1 i 1
0
特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件概率化为无 条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。
生日问题
假定每个人的生日在一年365天的任一天 都等可能,随机选取n(小于365)人,他们至少 有两个人生日相同的概率为:
离散数学：第7讲 等价关系
C11n2 ,.nn
1.
2020/12/29
等价关系
34
Stirling子集数
递推公式: n n 1 n 1
k
k
k
k
1.
剔除一个
其余分k类
加入一类
其余分k-1类
2020/12/29
自成一类
等价关系
35
Bell数表
n
Bn
1
1
2
2
3
5
4
15
5
52
6
203
7
877
2020/12/29
n 8 9 10 11 12 13 14
具有对称性
2020/12/29
等价关系
8
问题(续2)
自反 对称 传递
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R)
=rts( R )
=rst( R )
2020/12/29
等价关系
9
定理7.13
定理7.13: 设RAA且A,则 (1) R自反 s( R )和t( R )自反; (2) R对称 r( R )和t( R )对称; (3) R传递 r( R )传递。
xy
2020/12/29
等价关系
24
商集(quotient set)
商集: 设R是A上等价关系, A/R = { [x]R | xA }
称为A关于R的商集, 简称A的商集. 例11(续):
A/R ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.
2020/12/29
等价关系
25
例12
例: 考虑A={a,b,c}上的等价关系.
等价关系
Bn 4,140 21,147 115,975 678,570 4,213,597 27,644,437 190,899,322