概率论第19讲
例7.6.4 公共汽车站在单位时间内(如半小 时或1小时或一天等)到达的乘客数服从泊松分 布P(λ), 对不同的车站, 所不同的仅仅是参数 λ 的取值不同。现对一城市某一公共汽车站进 行了100个单位时间的调查。这里单位时间是 20分钟。计算得到每20分钟内来到该车站的 乘客数平均值为 15.2 人。求参数λ 的置信系数 为 95%的置信区间。
解 n=100, Yn=84, pˆ Yn / n 0.84,α=0.05,
zα/2=1.96, 将这些结果代入到(7.6.5)式，得 p 的置信系数约为0.95的置信区间为
pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n ，pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n
0.84-1.96
0.84(1 0.84) , 0.84-1.96 100
Y～N(2, 22)，样本均值与样本方差为
Y
1 n
n
i1
Yi
,
S
2 2
n
1
1
m
i1
(Yi
Y )2.
I. 当两样本相互独立时，有
X Y
~ N 1 2 ,
σ12 m
2 2
n
；
(7.5.1)
II.
当
2 1
2 2
2，
2未知时，
(X
Y ) (1 2 )
S m1 n1
~
tmn2 .
(7.5.2)
(7.6.4)式是(7.6.1)式的特殊情形。
记 pˆ X Yn / n， 对现在的情形，(7.6.3)式变为
pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n ，pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n . (7.6.5)
这就是二项分布参数 p的置信系数约为1-α 的置信区间。
例7.6.2 商品检验部门随机抽查了某公司 生产的产品100件，发现其中合格品为84件， 试求产品合格率的置信系数为0.95的置信区间。
X 501.1, S12 2.4；Y 499.7，S22 4.7 . 求1-2 的置信系数为0.95的区间估计。
解 由m =12, n =17, = 0.05及 (7.5.7)式，
可算出
S (12 1) 2.4 (17 1) 4.7 1.94. 12 17 2
查 t 分布表，得 tm+n-2(α /2) = t27(0.025)=2.05，
n
X i n
i1
X
~ N (0,1) ,
n / n
(7.6.1)
因而，近似地有
P
X
/
n
z / 2 1 .
于是，μ 的置信系数约为1-α 的置信区间为
X
n
z 2，X
Hale Waihona Puke nz2.
( 7.6.2)
若σ2未知，就用其某个估计(如S2) 来代替，得
X
S n
z
2，X
S n
z
2
.
(7.6.3)
概率论与数理统计 第十九讲
主讲教师：程维虎教授 北京工业大学应用数理学院
§7.5 正态总体的区间估计(二)
在实际问题中，经常会遇到两个正态总 体的区间估计问题。例如：考察新技术对提 高产品的某项质量指标的作用，将实施新技
术前的产品质量指标看成正态总体N(1, 12),
实施新技术后产品质量指标看成正态总体
其中 S 2 (m 1)S12 (n 1)S22 . mn2
证明 I.由基本定理(见定理6.3.1)，知
X
~
N (1,
2 1
/
m)，Y
~
N (2 ,
2 2
/ n) .
由两样本相互独立，知 X 与Y也相互独立。
故，(7.5.1) 式成立；
II.
当12
2 2
2
时，S12与S22
都是
2
的估计，由基本定理，得
(m 1)S12 σ2
~
χ
2，
m1
(n
1) S22 σ2
~
χ
2 n1
，
且二者相互独立。
根据 2分布的可加性，有
(m
1)S12
(n
1)S
2 2
σ2
~
χ
2 mn2
；
另一方面，由(7.5.1) 式，有
(7.5.3)
X Y (1 2 ) ~ N 0, 1， (7.5.4)
m1 n1
且(7.5.3)式与(7.5.4)式中的随机变量相互独立。 由 t 分布的定义，得
1 2 的置信区间为：
X Y tmn2 ( / 2)S m1 n1 ， (7.5.6)
其中
S
(m
1)S12
(n
1)
S
2 2
.
mn2
(7.5.7)
例7.5.1 比较棉花品种优劣。假设用甲、
乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为 X～N(1, 2.182)和Y ～N(2, 1.762)。试验者从这两种棉
纱中分别抽取样本 X1, …, X200和 Y1, …, Y100，
其均值分别为:X 5.32，Y 5.76， 求 1- 2
的置信系数为 0.95 的区间估计。
解 1 = 2.18, 2 = 1.76, m=200, n=100, = 0.05。由 (7.5.5) 式, 得 1-2 的置信系数为 1- 的置信区间为
解 n=100, α =0.05, X 15.2， zα/2=1.96, 将
这些结果代入到 (7.6.6) 式, 得λ 的置信系数约
为0.95的置信区间为 [14.44, 15.96]。
小结
本讲首先介绍两正态总体均值差的置信区 间；然后介绍大样本情形下非正态总体均值参 数的近似置信区间，给出了二项分布总体分布
只要 n 很大，(7.6.3)式所提供的置信区间在应 用上还是令人满意的。那么, n 究竟多大才算 很大呢？
很明显，对相同的 n, (7.6.3) 式所给出的 置信区间的近似程度随总体分布与正态分布的 接近程度而变化。因此，理论上很难给出 n 很 大的一个界限。
但许多应用实践表明：当 n≥30时，近似 程度是可以接受的；当 n≥50时，近似程度是 很好的。
这是求一般总体均值置信区间的一种简单 有效的方法，其理论依据是中心极限定理，它 要求样本大小 n 比较大。因此，该方法称为大 样本方法。
设总体均值为 μ , 方差为 σ2 , X1, X2, …, Xn为来自该总体的样本。因为这些 Xi 是独立 同分布的，据中心极限定理，对充分大的 n,
下式近似成立
N(2, 22)。
于是，评价新技术的效果问题，就归结
为考察1-2是否大于零(或小于零)的问题。
定理7.5.1 设X1, X2, ···, Xm是抽自正态
总体 X 的简单样本，X～N(1, 12)，样本均
值与样本方差为
X
1 m
m i1
X
，
i
S12
1m m 1 i1 ( X i
X )2；
Y1, Y2, ···, Yn 是抽自正态总体 Y 的简单样本，
再由(7.5.6)式，得1-2 的置信系数为1- 的
置信区间
X Y tmn2 ( / 2)S m1 n1
[0.101，2.901] .
在这两个例子中，1-2 的置信区间都 包含了零，也就是说：1可能大于2，也可 能小于 2。这时我们认为二者没有显著差异。
§7.6 非正态总体的区间估计
前面两节讨论了正态总体分布参数的区间
2.261
1.935 50
1.96，2.261
1.935 50
1.96
[1.730，2.802].
7.6.1 二项分布
设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p， 现在做 n 次试验，以Yn记事件 A 发生的次数, 则Yn ~ B(n, p)。依中心极限定理，对充分大 的 n，近似地有
Yn np X p ~ N (0,1). (7.6.4) np(1 p) p(1 p) / n
N(0,1) ( X Y ) (1 2 )
( X Y ) (1 2 )
S m1 n1
m1 n1
S2
换形式
( X Y ) (1 2 )
2
m1 n1
(m
1)S12 m
n
(n 1)S22 2
1
2
分母互换
( X Y ) (1 2 )
m1 n1
(m 1)S12 (n 1)S22
2
(m n 2)
~ tm+n -2 .
χ 2m+n-2
利用该定理，可得到 μ1-μ2 的置信系数为 1-α的置信区间。
I.
当
2 1
和
22均已知
时，由(7.5.1)式，得
1
2
的置信区间为：
X Y z /2
(
2 1
/
m)
(
2 2
/
n)
； (7.5.5)
II.
当
2 1
2 2
2但未知 时，由(7.5.2)式，得
参数 p 及泊松分布总体分布参数 λ 的近似置信
区间表达式。
作业：p151，7.11至7.13。
0.84(1 0.84)
100
0.77, 0.91.
例7.6.3 在环境保护问题中, 饮水质量研究 占有重要地位，其中一项工作是检查饮用水中 是否存在某类微生物。假设在随机抽取的100 份一定容积的水样中有20份含有这种类型的微 生物。试求同样容积的这种水含有这种微生物 的概率 p的置信系数约为0.90的置信区间。
第1章 第3讲 概率的公理化定义与运算性质
性质2
4
47
ሜ =
()
4
50
计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较
易时，可以利用性质2.
15
02
概率的运算性质
例2 （“分房模型”的应用）
恰有 k 个盒子中各有一球
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率.
P( A)
k
C 365
k!
365k
k
A365
18
02
概率的运算性质
例4 A,B是两个事件，已知 P ( B ) 0.3，P( A
B ) 0.6，
求 P ( AB ).
解 P ( AB ) P ( A AB ) P ( A) P( AB).
而 P( A
B ) P ( A) P ( B ) P ( AB) 0.6.
=
4
21
10
26
02
概率的运算性质
例10 已知() = 0.6，() = 0.2，() = 0.3，
求 ； ∪ .
解 = − = 0.3 − 0.2 = 0.1
∪ = 1 − ∪ = 1 −
= 1 − 0.1 = 0.9
件A发生的概率，并记 P ( A) p.
不足：不精确不严格不便使用.
公理化定义 通过规定概率应具备的基本性质来定义
概率.
4
01
概率论的公理化定义
概率的公式化定义
设随机试验E 的样本空间为S， 若对E 的每一事件
A 都有一个实数P(A)与之对应，并且满足下列三条公理，
则称P(A) 为事件A 的概率.
概率论-事件发生的可能性
A与B无公共元素
事件含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A发生导致B发生 事件A与B相等 A与B至少有一个发生
A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生
A与B互斥
§2 概率
概率是事件发生可能性的数量指标。
即在多次重复后，某结果出现的比率。
D与B,D与E互不相容
C与E为对应事件。
B与C，B与A，E与A相容
A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A Ω A B A=B A∪B
A∩B Ā A-B
A∩B=φ
集合含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A的元素在B中 集合A与B相等 A与B的所有元素
3) ABC D 4) ABC D 5) ABCD BACD CBAD DBC A ABCD
例子P55 --11:
P( A)
2 P42 P53
2/5
例子P55 --12:
例子P55 --13:
例子P55 --14:
例子P55 16--18
例子P56 19--22
例子P56 23--26
用图形表示，即
A
B
也可定义多个事件的交。 交与并运算还满足分配律： (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
5、事件的差 事件A发生而事件B不发生，是一个事件， 称为事件A与B的差。 它由属于A但不属于B的所有样本点组成。 记作A-B 如：A={1,2,3},B={1,3,5}
概率论讲义_带作业
例 已知某类产品的次品率为0. 2 ，现从一大批这类产品中随机抽查2 0 件. 问恰好 有 件次品的概率是多少？
3) 泊松分布
概率论的基本概念 样本空间
样本点
事件
事件的概率
练习 1. 抛一枚骰子，观察向上一面的点数；事件表示“出现偶数点”
2. 对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件表示“射击次数不超 过5 次”
事件之间的关系与运算
事件语言
集合语言
样本空间
事件
的对立事件
事件 或者
分布律：如果记离散型随机变量 所有可能的取值为
值的概率，即事件
的概率为
， 取各个可能
上式称为离散型随机变量 的分布律. 分布律也可以直观的表示成下列表格：
根据概率的性质，分布律中的 应该满足下列条件： 1． 2． 例 某系统有两台机器独立运转. 设第一台与第二台机器发生故障的概率分别是 0. 1 ，0. 2. 以 表示系统中发生故障的机器数，求 的分布律.
随机变量的例子
掷一枚色子，用 记点数；
掷三枚色子，用 记点数之和；
掷一枚硬币，记
为“出现正面”，
为“出现反面”；
变量的取值是随机的，依赖于随机试验的结果
用随机变量来表示事件
设 为一个实数集合，则用
表示一个事件 ，即
例如，某射手射击某个目标，击中计1 分，未中计0 分，则计分 表示一个随机
变量，且“击中”这个事件可以表示为
第二章 随机变量及其分布
Hale Waihona Puke 第六讲 随机变量 离散随机变量
概率论的另一个重要概念是随机变量. 随机变量的引入, 使概率论的研究由个别的 随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究.
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理1500字概率论作为考研数学中的一部分，是考生备考的重点之一。
下面将对概率论的各章节知识点进行梳理，帮助考生进行复习备考。
1. 随机事件与概率概率论的基本概念是随机事件和概率。
随机事件是随机现象的结果，概率是事件发生的可能性大小。
在这一章节中，主要涉及到随机事件的定义、事件的性质、事件间的关系等内容。
2. 随机变量及其分布随机变量是随机现象的数值描述，它分为离散随机变量和连续随机变量。
这一章节主要涉及随机变量的定义、分布函数、概率密度函数等内容。
同时还包括常见的离散随机变量和连续随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
3. 随机事件的数学描述随机事件可以用随机变量的取值区间来表示，也可以用事件的概率来描述。
这一章节主要包括随机事件的和、差、积等概念，以及离散随机变量和连续随机变量的概率函数之间的关系。
4. 多维随机变量及其分布多维随机变量是指由多个随机变量组成的向量。
这一章节主要包括多维随机变量的定义、联合分布、边缘分布等内容。
同时还包括多维随机变量的独立性、相关性等概念。
5. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、协方差等。
这一章节主要涉及到随机变量的数学期望、方差和协方差的定义、性质以及计算方法。
6. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数的增加，随机事件的频率趋向于事件的概率。
中心极限定理是指当随机事件的样本量足够大时，其均值的分布接近于正态分布。
这一章节主要涉及到大数定律和中心极限定理的数学表达和推导。
7. 参数估计与假设检验参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，假设检验是根据样本数据对总体参数是否符合某个假设进行检验。
这一章节主要包括点估计、区间估计和假设检验的概念、方法和步骤。
8. 有序与无序排列的计数问题有序排列是指考虑元素的排列顺序，无序排列是指不考虑元素的排列顺序。
这一章节主要涉及到有序与无序排列的计数问题，如排列、组合、多重集合等。
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第5讲全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0.设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量Ὅ例1分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产完备事件组全概率公式两两互斥B 表示产品为次品01 全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容O F (x )x1)O f (xx称满足上述条件的A1,A2,…,A n为完备事件组.全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,A n是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有证明两两互不相容，得也两两互不相容；乘法公式B加法公式某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是：每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=Ὅ 全概率公式的关键数学模型完备事件组P (A i )P (B |A i ).设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮Ὅ例2件进入账户1，另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.解分别表示邮件来自账户1、2、3B表示邮件为垃圾邮件全概率公式完备事件组甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%, 35%, 40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？Ὅ例3解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的Ὅ例4占 20%，二厂生产的占 70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 3%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解对于这个问题，大家都有一个直观的认识，容易求出这一概率为若记A表示“产品为次品”，B1，B2，B3表示“产品分别来自一、二、三厂”，则上式可以表示为：其中B1，B2，B3正是样本空间的一个划分.01全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.设A 1,A 2,…,A n 是完备事件组，则对任一事件B ，有贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B 已经发生的前提下，再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正.P ( A i ) ——先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B 的原因.（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋Ὅ例5白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查. 已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%. 设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.解记A={肝病患者}，{经"AFP" 检测呈阳性} ,B=由贝叶斯公式经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.Ὅ例6解A1=B=显然A1∪A2=“机器未调整良好”，“机器调整良好”，A2=“产品是合格品”，S，由题意，A1A2=∅由贝叶斯公式，有即机器调整良好的概率为97%.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分Ὅ例7别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2. 现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式由贝叶斯公式同理故应从C元件开始检查.第5讲 全概率公式与贝叶斯公式这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式.家需要牢记，并会熟练运用.在概率的计算中，经常用到这两个公式，大 知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率
《概率论与数理统计教程》教案第一章随机事件与概率教材：《概率论与数理统计教程》总安排学时：90本章学时：14第一讲：随机事件及其运算教学内容：引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的：（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。
教学的过程和要求：（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用；(i)概率论的研究对象：确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落；例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定；例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务：概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
概率论与数理统计课件(最新完整版)
“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B(或 AB
)
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B. 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 一事件 , 称 为 事 件A 与 事 件 B的和事件.记 作A B， 显 然 A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
(2) ABC or AB C;
( 3) ABC ;
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计(完整版)
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(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
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例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
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(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定义 : 若B1,B2,,Bn一组事件 : 满足
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基本事n件总数 15
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P(Bi |A)P(Bi |A.)
i1
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
概率论讲座讲义
2018级数学辅导讲义（十一）：概率论与数理统计2019.5一、随机事件的概率：1.概率的五大公式（1）加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+- ；（2）减法公式：()()()()P A B P A B P A P AB -==-；（3）乘法公式：()(|)()P AB P B A P A =；（4）全概率公式：1122()(|)()(|)()(|)()n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =+++ ；（5）贝叶斯公式：1122(|)()(|)(|)()(|)()(|)()i i i n n P A B P B P B A P A B P B P A B P B P A B P B =+++ .2.随机事件的独立性若()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立.【例1】()0.8P B A = ，()0.4P B =，则(|)P A B =.【解】【例2】（1）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则两人中至少一人射中的概率为；（2）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被甲射中的概率为；（3）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为；（4）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为.【解】二、一维随机变量及其分布：1.一维离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布、概率和分布：分布离散型随机变量连续型随机变量概率分布概率和分布2.一维连续型随机变量的概率与分布函数、概率密度的关系：3.分布函数的性质：4.分布律的性质：5.概率密度的性质：【例3】（1）设随机变量X 的概率密度为1,02,()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他，则{11}P X -≤<=.（2）设随机变量X 的分布函数为2,0,(1)(),0,b a x x F x c x ⎧+>⎪+=⎨⎪≤⎩则X 的概率密度()f x =.【解】【例4】已知,04~()80,X xx X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求21Y X =+的概率密度.【解】三、二维随机变量及其分布：1.二维随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布：分布分布律概率密度分布函数联合分布边缘分布条件分布2.二维随机变量的概率与联合概率密度的关系：3.两个随机变量的独立性：定义充要条件1（连续型随机变量）充要条件2（离散型随机变量）【例5】设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为,0,01,(,)0x ce y x y f x y -⎧><<=⎨⎩，其他.（1）求常数c 的值；（2）求,X Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ；（3）判断X 和Y 是否相互独立，并说明理由；（4）求{max(,)1}P X Y .【解】四、随机变量的数字特征：1.离散型随机变量与连续型随机变量的数学期望：随机变量离散型随机变量连续型随机变量一个随机变量一个随机变量的函数两个随机变量的函数2.方差的计算公式：3.协方差的计算公式：4.相关系数的计算公式：【例6】设随机变量,X Y 的概率分布分别为且22{}1P X Y ==.Y-101kp 131313X01kp 1323（1）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求Z XY =的概率分布；（3）求X 与Y 的相关系数XY ρ.【解】【例7】（1）设随机变量123,,X X X 相互独立，且1X 服从均匀分布[1,3]U ，2X 服从二项分布12,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3X 服从参数为2的指数分布，则12332Y X X X =-+的数学期望和方差分别为.（2）设随机变量,X Y 相互独立,且X 服从正态分布(2,1)N ,Y 服从正态分布2(1,2)N ,则{23}P X Y ->=.【解】五、中心极限定理：用于计算的“中心极限定理”：【例8】设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。