等可能事件与抛掷硬币试验
至此，对于本讲之初给出的那道选择题，我们可以确定无误地填上答案——A。
我们还知道，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果，仅仅是对抛掷硬币时硬币正、反面朝上等可能性的佐证。因为这种等可能性事实上无法证明，所以这个佐证就弥足珍贵，以至于几乎所有概率论教科书都无一例外地列出这些著名试验者的姓名和他们试验的结果。但无论多么重要，佐证只是佐证，不能把它与证明混淆，更不能把它与等可能事件定义混淆。
抛掷6次硬币，3正3反的概率是： ；
抛掷8次硬币，4正4反的概率是： ；
抛掷10次硬币，5正5反的概率是： ；
……；
抛掷20次硬币，10正10反的概率是： 。
计算结果显示，试验20次时，硬币正、反次数相等的概率已小于 ！
我们还发现，试验次数越多，正反次数相等的概率越小。一般地有
。
不过，抛掷20次硬币，11正9反以及9正11反的概率都是： ；12正8反以及8正12反的概率都是： 。因此，抛掷20次硬币，10正10反或者11正9反或者9正11反或者12正8反或者8正12反的概率是
偶数行中间若干项之和与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数接近”的概率（对接近程度的要求决定项数）例如，在我们所呈现的最后一行，中间3项之和
2524与全部13项之和4112之比 就是抛掷12次硬币，6正6反或者7正5反或者5正7反的概率。
可以证明，“硬币正、反面朝上次数接近”的概率随 的增大而增大。
5．最终的结论：
当然，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果充分体现了大数思想。大数思想是概率论的重要思想，后来又被伯努利、切比雪夫、辛钦等人定量地表达为各种形式的大数定律，据此，我们得以研究更多非等可能的事件的概率。
有 种可能；
因此所求的概率为 。
（2）问题的难度逐渐增加，抛掷4次硬币，2正2反的概率是多大呢？
运用树图。现在的树图已显庞大：
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
第一次正
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
4．数学事实——抛掷硬币试验的意义何在？
既然如此，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的意义又何在呢？
事实上，抛掷硬币试验的结果是对人们的“想当然”，即“抛掷一枚硬币时，硬币正、反面朝上可能性相等”的一个佐证：如果“想当然”不错，那么只要抛掷硬币次数足够多，硬币正、反面朝上的次数应十分接近。结果果然如此。既然试验结果不能否定“想当然”，我们也增强了对“想当然”的信任。
又可以借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0。
则所有可能出现的情形可记作2进制数00、01、10、11（即10进制数的0—3），因此所有可能的情形有 种；
又观察发现，满足要求的情形为01和10，共2种；
因此所求的概率为 。
还可以运用排列组合方法求解，这就需要一点组合数学知识：
抛掷2次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；又1正1反的情形相当于2次抛掷硬币恰有1次正面朝上，可以是2次中的任意1次，
为什么抛掷硬币次数足够多时，硬币正、反面朝上次数十分接近？
（1）抛掷2次硬币，出现1正1反的概率是多大呢？
第一种方法是运用树图求解，这是教科书中给出的方法：
第二次正
第一次正
第二次反
第二次正
第一次反
第二次反
观察发现：
共有4种可能的情形；
在所有4种可能的情形中，1正1反的情形出现2次；
因此1正1反的概率是 。
而概率论的产生，始于1654年法国数学家帕斯卡（1623—1662）和费尔马（1601—1665）
在来往书信中讨论的关于抛掷骰子游戏的数学问题。此后经许多数学家的大量工作，概率论的内容逐渐充实，到1812年法国数学家拉普拉斯的著作《概率分析理论》问世，所谓古典概率的理论结构已经完成。
至于抛掷硬币试验，重要的抛掷硬币试验的年代无法考证，但著名的抛掷硬币试验者的
。这个概率就相当大了。
（4）用杨辉三角形来解释：
事实上， ，而 是 的中间项，由牛顿二项式展开公式或杨辉三角形得到：
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
下面我们就来仔细讨论这个问题。
现在假定“想当然”不错，即假定抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能的，我们运用初等代数知识，一起来考察几个事件的概率。
在此过程中，我们希望能解决以下几个问题：
计算古典概型（等可能基本事件的复合）事件概率的几种方法；
为什么抛掷硬币试验难以获得硬币正、反面朝上次数相等的结果？
第一次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
观察发现，一共有16种可能的情形，其中2正2反的情形出现了6次，因此2正2反的概率是 。
借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0，则可能出现的情形可记作2进制数0000，0001，0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111（即10进制数0—15），因此所有可能的情形有 种；又观察发现，满足要求的情形为0011，0101，0110，1001，1010，1100，共6种，因此所求概率为 。
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 256 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 466 466 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 796 932 796 495 220 6间项与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数相等”的概率，这个概率随 的增大而减小；
现在有三个选择项：
A．是由硬币（骰子也一样）几何形状的对称性和物理质地的均匀性想当然地得到的；
B．是布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果（虽然没有他们抛掷骰子的记载）；
C．是利用概率论公式，通过计算得到的。
你将作何选择？
2．考古的与历史的证据——答案初现
人类很早以前就已经发现抛掷骰子时各面朝上的等可能性，并利用这种等可能性做各种游戏：我国山东青州出土的战国时代（公元前475年至前221年）齐墓中就发现陪葬的骰子。又据文献记载，古罗马（公元前27年至公元446年）人已利用骰子进行占卜和赌博。
第八讲等可能事件与抛掷硬币试验
1．知道，但何以知道？
我们知道，如果随意抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等。因此我们说，抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件。我们又知道，如果随意抛掷一枚骰子，则骰子六个面朝上的可能性相等，因此我们说，抛掷骰子时，骰子的六个面朝上是等可能事件。但我们想过没有，人们是何以知道这些结论的呢？
生卒年代可以考证：布丰（1707—1788），德．摩根（1803—1871），皮尔逊（1857—1936），费勒（1906—1970）。
从时间先后不难发现：人类先有对等可能性的认识，在此基础上建立了古典概率理论，然后才有抛掷硬币的试验。
3．逻辑——至少应有一个“先验的”概率
不妨从逻辑角度再作一次推演。大数思想表明：“当随机试验次数达到大数次时，事件的频率逐渐稳定于它的概率。”因此，至少有一个随机事件的概率是未经试验而预先知道的，这个概率必定不是试验的结果（即用频率估计）。而这正是抛掷硬币时，硬币正、反面朝上的概率 ，以及抛掷骰子时，骰子各面朝上的概率 。
运用排列组合知识求解：
抛掷4次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；而2正2反的情形相当于4次抛掷硬币恰有2次正面朝上，可以是4次中的任意2次，
有 种可能；因此所求的概率为 。
试验次数增加了，正反相等的概率反而减小了！
（3）抛掷硬币的次数继续增加，情况将如何？
从此前的工作看，运用树图或借助2进制数求解其实费力又费时，特别是主要依靠观察才能确定硬币正反相等的次数。所以此后我们将只用排列组合方法来求解。
我们还知道，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果，仅仅是对抛掷硬币时硬币正、反面朝上等可能性的佐证。因为这种等可能性事实上无法证明，所以这个佐证就弥足珍贵，以至于几乎所有概率论教科书都无一例外地列出这些著名试验者的姓名和他们试验的结果。但无论多么重要，佐证只是佐证，不能把它与证明混淆，更不能把它与等可能事件定义混淆。
抛掷6次硬币，3正3反的概率是： ；
抛掷8次硬币，4正4反的概率是： ；
抛掷10次硬币，5正5反的概率是： ；
……；
抛掷20次硬币，10正10反的概率是： 。
计算结果显示，试验20次时，硬币正、反次数相等的概率已小于 ！
我们还发现，试验次数越多，正反次数相等的概率越小。一般地有
。
不过，抛掷20次硬币，11正9反以及9正11反的概率都是： ；12正8反以及8正12反的概率都是： 。因此，抛掷20次硬币，10正10反或者11正9反或者9正11反或者12正8反或者8正12反的概率是
偶数行中间若干项之和与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数接近”的概率（对接近程度的要求决定项数）例如，在我们所呈现的最后一行，中间3项之和
2524与全部13项之和4112之比 就是抛掷12次硬币，6正6反或者7正5反或者5正7反的概率。
可以证明，“硬币正、反面朝上次数接近”的概率随 的增大而增大。
5．最终的结论：
当然，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果充分体现了大数思想。大数思想是概率论的重要思想，后来又被伯努利、切比雪夫、辛钦等人定量地表达为各种形式的大数定律，据此，我们得以研究更多非等可能的事件的概率。
有 种可能；
因此所求的概率为 。
（2）问题的难度逐渐增加，抛掷4次硬币，2正2反的概率是多大呢？
运用树图。现在的树图已显庞大：
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
第一次正
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次正
第四次正
第三次反
第四次反
4．数学事实——抛掷硬币试验的意义何在？
既然如此，布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的意义又何在呢？
事实上，抛掷硬币试验的结果是对人们的“想当然”，即“抛掷一枚硬币时，硬币正、反面朝上可能性相等”的一个佐证：如果“想当然”不错，那么只要抛掷硬币次数足够多，硬币正、反面朝上的次数应十分接近。结果果然如此。既然试验结果不能否定“想当然”，我们也增强了对“想当然”的信任。
又可以借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0。
则所有可能出现的情形可记作2进制数00、01、10、11（即10进制数的0—3），因此所有可能的情形有 种；
又观察发现，满足要求的情形为01和10，共2种；
因此所求的概率为 。
还可以运用排列组合方法求解，这就需要一点组合数学知识：
抛掷2次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；又1正1反的情形相当于2次抛掷硬币恰有1次正面朝上，可以是2次中的任意1次，
为什么抛掷硬币次数足够多时，硬币正、反面朝上次数十分接近？
（1）抛掷2次硬币，出现1正1反的概率是多大呢？
第一种方法是运用树图求解，这是教科书中给出的方法：
第二次正
第一次正
第二次反
第二次正
第一次反
第二次反
观察发现：
共有4种可能的情形；
在所有4种可能的情形中，1正1反的情形出现2次；
因此1正1反的概率是 。
而概率论的产生，始于1654年法国数学家帕斯卡（1623—1662）和费尔马（1601—1665）
在来往书信中讨论的关于抛掷骰子游戏的数学问题。此后经许多数学家的大量工作，概率论的内容逐渐充实，到1812年法国数学家拉普拉斯的著作《概率分析理论》问世，所谓古典概率的理论结构已经完成。
至于抛掷硬币试验，重要的抛掷硬币试验的年代无法考证，但著名的抛掷硬币试验者的
。这个概率就相当大了。
（4）用杨辉三角形来解释：
事实上， ，而 是 的中间项，由牛顿二项式展开公式或杨辉三角形得到：
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
下面我们就来仔细讨论这个问题。
现在假定“想当然”不错，即假定抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能的，我们运用初等代数知识，一起来考察几个事件的概率。
在此过程中，我们希望能解决以下几个问题：
计算古典概型（等可能基本事件的复合）事件概率的几种方法；
为什么抛掷硬币试验难以获得硬币正、反面朝上次数相等的结果？
第一次反
第四次正
第三次正
第四次反
第二次反
第四次正
第三次反
第四次反
观察发现，一共有16种可能的情形，其中2正2反的情形出现了6次，因此2正2反的概率是 。
借助2进制数求解：
记硬币正面朝上为1，反面朝上为0，则可能出现的情形可记作2进制数0000，0001，0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111（即10进制数0—15），因此所有可能的情形有 种；又观察发现，满足要求的情形为0011，0101，0110，1001，1010，1100，共6种，因此所求概率为 。
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 256 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 466 466 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 796 932 796 495 220 6间项与各项和的比即“硬币正、反面朝上次数相等”的概率，这个概率随 的增大而减小；
现在有三个选择项：
A．是由硬币（骰子也一样）几何形状的对称性和物理质地的均匀性想当然地得到的；
B．是布丰、德．摩根等人抛掷硬币试验的结果（虽然没有他们抛掷骰子的记载）；
C．是利用概率论公式，通过计算得到的。
你将作何选择？
2．考古的与历史的证据——答案初现
人类很早以前就已经发现抛掷骰子时各面朝上的等可能性，并利用这种等可能性做各种游戏：我国山东青州出土的战国时代（公元前475年至前221年）齐墓中就发现陪葬的骰子。又据文献记载，古罗马（公元前27年至公元446年）人已利用骰子进行占卜和赌博。
第八讲等可能事件与抛掷硬币试验
1．知道，但何以知道？
我们知道，如果随意抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等。因此我们说，抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件。我们又知道，如果随意抛掷一枚骰子，则骰子六个面朝上的可能性相等，因此我们说，抛掷骰子时，骰子的六个面朝上是等可能事件。但我们想过没有，人们是何以知道这些结论的呢？
生卒年代可以考证：布丰（1707—1788），德．摩根（1803—1871），皮尔逊（1857—1936），费勒（1906—1970）。
从时间先后不难发现：人类先有对等可能性的认识，在此基础上建立了古典概率理论，然后才有抛掷硬币的试验。
3．逻辑——至少应有一个“先验的”概率
不妨从逻辑角度再作一次推演。大数思想表明：“当随机试验次数达到大数次时，事件的频率逐渐稳定于它的概率。”因此，至少有一个随机事件的概率是未经试验而预先知道的，这个概率必定不是试验的结果（即用频率估计）。而这正是抛掷硬币时，硬币正、反面朝上的概率 ，以及抛掷骰子时，骰子各面朝上的概率 。
运用排列组合知识求解：
抛掷4次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有 种；而2正2反的情形相当于4次抛掷硬币恰有2次正面朝上，可以是4次中的任意2次，
有 种可能；因此所求的概率为 。
试验次数增加了，正反相等的概率反而减小了！
（3）抛掷硬币的次数继续增加，情况将如何？
从此前的工作看，运用树图或借助2进制数求解其实费力又费时，特别是主要依靠观察才能确定硬币正反相等的次数。所以此后我们将只用排列组合方法来求解。
合集下载
等可能事件
2、有其他的理解方式吗？（结合 前面分数的知识）
4
1
5
6
游戏四：圆盘游戏二
例2：如图，转盘等分成7块，其中3块红色区域，3 块蓝色区域，1块白色区域。 指针绕着中心旋转，请问： 3、落在蓝色区域内的可能性大小是（ ） 4、落在白色区域内的可能性大小是（ ） 5、落在红色或蓝色区域内的可能性 大小是多少？
游戏二：掷骰子
1、投掷一枚骰子，可能会出现 的点数结果有（6）种，分别是 2、在一次投掷骰子的过程中， 出现点数为1的结果只是（ 6） 种结果中的一种，所以出现点数为1的可能 性大小是（ ）。 3、那么，在一次投掷骰子的过程中出现点数分别 为1，2，3，4，5，6的可能性大小是相等的。
等可能事件
（3）求抽到红桃K的可能性大小； （4）求抽到K的可能性大小； （5）求抽到红桃的可能性大小.
总结
等可能事件:在一次试验中，发生可能性大小相等 的事件。 概率P
＝
发生的结果数 所有等可能的结果数
课后练习P100： 1 ，2 ，3
4
1
5
6
游戏五：扑克牌游戏
例3：一副52张的扑克牌（无大王、小王）， 从中任意抽取一张。
（1）有多少种等可能的结果？ （2）列出抽到K的所有可能的情况； 解： （1）52种 （2）红桃K、黑桃K、梅花K和方块K共4种
游戏五：扑克牌游戏
例3：一副52张的扑克牌（无大王、小王）， 从中任意抽取一张。
3.6等可能事件
游戏一：掷硬币
1、掷一枚硬币，会出现的结果有（ 2）种，分别 是： （ 正面朝上 ）和（反面朝上） 2、出现正面朝上的结果是可能出现结果中的 （1）种，所以出现正面朝上的可能性为( ) ,反 面朝上的可能性为( )。 正面朝上的可能性 等于 反面朝上的可能性 所以，这两个事件出现的可能性大小是相等的。
等可能事件
c
c
P( A)
2 C95 2 C100
893 990
(2)事件B“2件都是次品” 2 即从5件次品任取2个的组合数C 5
P( B)
2 C5 2 C100
1 495
(3)事件C“1件是合格品，1件是 次品” 即取1件合格品，1件的次品的 结果C 1 C 1。
95 5
19 P(C ) 198 • 求等可能事件概率的步骤： • （1）判断是否为等可能性事件； • （2）计算所有基本事件的总结果数 n． • （3）计算事件A所包含的结果数 m． • （4）计算
例3： 在100件产品中，有95件合格
品，5件次品，从中任取2件， 计算： （1）2件都是合格品的概率； （2）2件都是次品的概率； （3）l件是合格品，1件是次 品的概率．
解析：基本事件总数：从100件产 2 品中任取两个的组合数 100 由于任意抽取结果出现的可 能性相等。 (1)事件A“2件是合格品” 即从95件中任取2个的组合 2 数 95
⑴按1号、2号、3号培养皿的顺序， 玉米种子发芽的情况可能出现的结果 有：(发芽，发芽，发芽)， (发芽，发芽，不发芽)， (发芽，不发芽，发芽)， (不发芽，发芽，发芽)， (发芽，不发芽，不发芽)， (不发芽，发芽，不发芽)， (不发芽，不发芽，发芽)， (不发芽，不发芽，不发芽). 共有8个基本事件.
1 1 C95 C5 2 C100
小结
• 1、掌握如何判断等可能性事件 • 2、利用公式准确的计算出概率 • 3、注意与前章知识点的联系
解析： (1)硬币是均匀的，任意投掷 时出现“正面朝上”，“反面 朝上”两种结果的可能性是相 等的，所以可用等可能性事件 来求。 (2)不同的射手水平也不同， 对于同一射手，射击一次“中 靶”与“不中靶”的可能性不 一定相等，所以不能。
苏科版数学九年级上册第4章等可能条件下的概率等可能性(共22张)
问题3：每次结果出现的机会均等吗 ？为什么？
小结：
在上面的实验中，所有可能产生的 结果有________个，它们都是随机事件， 每次实验有且只有其中______个结果出 现。根据随机实验结果的______ 性，每个结果出现的机会是均等的，那么， 这十个事件的产生是等可能的。
情境3：我们随机看一下走着的手表 的分针的位置。 问题1：这时所有可能的结果有多少 个？为什么？ 问题2：每看一次有几个结果出现？ 有无第二个结果？ 问题3：每个结果出现的机会是均等 的吗？
实验者 实验次数 正面次数 正面占比
德摩ห้องสมุดไป่ตู้ 4092
2048
50.05%
蒲丰
4040
2048
50.69%
费勒
10000 4979
49.79%
皮尔逊 24000 12012 50.05%
罗曼洛夫 80640 斯基
39699
49.23%
探索活动
一只不透明的袋子中装有10个小球 ，分别标有0、1、2、3……9这个 10个号码，这些球除号码外都相同 ，搅匀后从袋中任意取出一个球。 问题1：每次取出有多少种可能的结 果？它们都是随机事件吗？ 问题2：每次实验有几个结果出现？ 有无第二个结果出现？
名人寄语
在数学中，我们发现真 理的主要工具是归纳和模拟。
—— 拉普拉斯
•辨 •析
抛掷一枚图钉，图钉落地后出
•1 现“钉尖着地”和“钉尖不着
地”是等可能的吗？
•辨 桌上倒扣着背面完全相同的4张不同
•析 •2
花色的扑克牌(每种花色各一张) ，从 中任取一张，抽到每种花色的扑克牌
是等可能的吗？
判断下列说法是否正确，若正确，说明根据.
小结：
在上面的实验中，所有可能产生的 结果有________个，它们都是随机事件， 每次实验有且只有其中______个结果出 现。根据随机实验结果的______ 性，每个结果出现的机会是均等的，那么， 这十个事件的产生是等可能的。
情境3：我们随机看一下走着的手表 的分针的位置。 问题1：这时所有可能的结果有多少 个？为什么？ 问题2：每看一次有几个结果出现？ 有无第二个结果？ 问题3：每个结果出现的机会是均等 的吗？
实验者 实验次数 正面次数 正面占比
德摩ห้องสมุดไป่ตู้ 4092
2048
50.05%
蒲丰
4040
2048
50.69%
费勒
10000 4979
49.79%
皮尔逊 24000 12012 50.05%
罗曼洛夫 80640 斯基
39699
49.23%
探索活动
一只不透明的袋子中装有10个小球 ，分别标有0、1、2、3……9这个 10个号码，这些球除号码外都相同 ，搅匀后从袋中任意取出一个球。 问题1：每次取出有多少种可能的结 果？它们都是随机事件吗？ 问题2：每次实验有几个结果出现？ 有无第二个结果出现？
名人寄语
在数学中，我们发现真 理的主要工具是归纳和模拟。
—— 拉普拉斯
•辨 •析
抛掷一枚图钉，图钉落地后出
•1 现“钉尖着地”和“钉尖不着
地”是等可能的吗？
•辨 桌上倒扣着背面完全相同的4张不同
•析 •2
花色的扑克牌(每种花色各一张) ，从 中任取一张，抽到每种花色的扑克牌
是等可能的吗？
判断下列说法是否正确，若正确，说明根据.
等可能事件
等可能试验
抛掷一个均匀的正方体骰子（它的每个面上分别标以1、 2、3、4、5、6），它落地时向上的数可能的情况是1、2、 3、4、5、6之一，即可能出现的结果有6种，由于正方体骰 子是均匀的，可以认为这6种结果出现的可能性都相等，出 现每种结果的概率都是1/6。
等可能试验介绍： 如果一项可以反复进行的试验具有以下特点： (1) 试验的结果是有限个,各种结果可能出现的机会是均等的; (2) 任何两个结果不可能同时出现. 那么这样的试验叫做“等可能试验”．
反思小结
１．这节课你学会了什么？ 事件的概率 不可能事件：概率为0； 必然事件：概率为1； 随机事件： 0 < P (A) < 1 2. 等可能事件的概率计算：
事件A包括的可能结果数 k P( A) 所有的可能结果总数 n
3．你认为有哪些要注意的地方？ 等可能试验的每一次试验都是独立的，不会 受前几次的试验结果影响其下一次的概率.
1．有人说如果随机事件A的概率P(A) = 0.5，那么由 P(A)×2 = 0.5 ×2 = 1，可知在相同的条件下重复2次， 事件A肯定发生，你认为他的说法对吗？ 2．布袋里有2个红球、3个黄球、4个白球，它们除颜色外其 他都相同，从布袋里摸出一个球恰好为红球的概率是多少？
3．圆盘分成6个相等的扇形，有红、黄、 紫、绿4种颜色，任意转动转盘，计算 指针落在不同颜色区域内的概率(当指 针落在扇形边界时，统计在逆时针方向 相邻的扇形内)．
2 1 6 3
如果“拿出3张红桃、2张黑桃；洗匀后，从中任取2张牌 恰好同花色的概率是多少”？
练习
先后抛掷2枚均匀的硬币. （1）一共可能出现多少种不同的结果？ （2）出现“1枚正面，1枚反面”的结果有多少种？ （3）出现“1枚正面，1枚反面”的概率是多少？ （4）有人说，“一共可能出现‘2枚正面’‘2枚 反面’‘一枚正面，1枚反面’这3种结果，因此 出现‘1枚正面，1枚反面’的概率是.”这种说法 对不对？
概率论与数理统计实验2：抛硬币实验的随机模拟实验报告
19
10000000
5000153
4999847
0.5000153
2.数据处理
实验编号
频率
3.数据分析
（1）对于每次实验，实验之前，实验的结果是不确定的；
（2）对于每次实验，正面向上的频率有时大于0.5，有时小于0.5，正面向上的频率并不是确定值；
（3）随着实验次数的增加，正面出现的频率逐渐趋近于0.5
scanf("%d,&m"); //无用输入函数，只是为了让此程序直接可以在win7系统上以dos窗口运行
}
三、实验结果及分析
1.实验数据
投硬币实验
实验编号
实验次数
正面向上的次数
反面向上的次数
正面向上的频率
1
10
3
7
0.3
2
30
15
15
0.5
3
50
28
22
0.56
4
100
48
52
0.48
5
1000
507
30000
15088
14912
0.502933333
14
50000
24124
25876
0.48248
15
100000
50145
49855
0.50145
16
200000
1002Байду номын сангаас8
99792
0.50104
17
500000
249955
250045
0.49991
18
1000000
500198
499802
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2.数据处理
实验编号
频率
3.数据分析
（1）对于每次实验，实验之前，实验的结果是不确定的；
（2）对于每次实验，正面向上的频率有时大于0.5，有时小于0.5，正面向上的频率并不是确定值；
（3）随着实验次数的增加，正面出现的频率逐渐趋近于0.5
scanf("%d,&m"); //无用输入函数，只是为了让此程序直接可以在win7系统上以dos窗口运行
}
三、实验结果及分析
1.实验数据
投硬币实验
实验编号
实验次数
正面向上的次数
反面向上的次数
正面向上的频率
1
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“等可能”与“等可能事件”
“等可能”与“等可能事件”作者：陆兆清来源：《初中生世界·八年级》2016年第04期我们学习“古典概型”，有利于计算事件的概率，这种计算能比较好地解决大量重复试验带来的费时耗力的矛盾，也避免了破坏性试验造成的损失，通过分析基本事件的个数就可以计算出随机事件的概率，有效地解决生活中的一些问题，譬如抽签问题、中奖率问题、抛掷骰子问题等等.需要注意的是：在应用古典概型时必须注意等可能的条件是否满足.譬如：抛掷一枚硬币2次（或抛掷2枚硬币1次），有人认为一共有3种可能性：{正，正}、{反，反}、{一正一反}.由此得出的结论是：{正，正}出现的概率是P（二个正面朝上）=1/3，{反，反}出现的概率是P（二个反面朝上）=1/3，{一正一反}出现的概率是P（一正一反）=1/3.这个想法其实是错误的！问题出在给出的三种情形不是等可能的.从课本第160页的树状图可以看出：若第一次抛掷硬币是正面朝上则第二次抛掷硬币可能正面朝上也可能反面朝上，结果是{正，正}和{正，反}；若第一次抛掷硬币是反面朝上则第二次抛掷硬币可能正面朝上也可能反面朝上，结果是{反，正}和{反，反}.所以实验的结果有四个等可能的情形：{正，正}、{正，反}、{反，正}和{反，反}；所以抛掷一枚硬币2次（或抛掷2枚硬币1次），二次都是正面朝上的概率是：P（二次正面朝上）=1/4，二次都是反面朝上的概率是：P（二次反面朝上）=1/4，一次正面朝上一次反面朝上的概率是：P（一次正面朝上一次反面朝上）=2/4=1/4.在应用古典概型时必须对实验中发生的事件有准确的判断.譬如：班级选出小伟、小强两名男生和小佳、小慧两名女生分成两组参加学校的首届汉字听写对抗赛，求小强和小伟两名男生分在同一组的概率.从这四人分组的树状图可以看出所有的等可能事件：（1）小伟可能与小强或小佳或小慧组成一组；（2）小强可能与小伟或小佳或小慧组成一组；（3）小佳可能与小强或小伟或小慧组成一组；（4）小慧可能与小伟或小强或小佳组成一组.一共有12个等可能结果，其中男生小伟与小强分在同一组的结果有2个.若按照这个判断来计算二名男生分在同一组的概率是：P（二名男生分在同一组）=2/12=1/6，这样的计算是错误的.因为是对抗赛，并且是四个人分成两组，我们没有考虑到当两名女生在同一组时两名男生自然也在同一组.男生小伟与小强分在同一组的实际结果有4个，所以两名男生分同一组的概率是：P（两名男生分在同一组）=4/12=1/3.综上所述：克服概率计算中的难点，一要正确完整地找出等可能事件，二要根据题意统计出事件的准确数.（作者单位：江苏省常州外国语学校）。
等可能性
甲、乙两人去某风景区游玩, 每天某一时段开往 该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这 些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人 采用了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第 一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当第一辆车开来时, 他不上车, 而是仔细观察车的状况, 如果第二辆车的 舒适程度比第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆 车不比第一辆好, 他就上第三辆车.
教学反思
你是如何理解随机事件的等可能性的?
预习指南
等可能条件下的概率
拓展设计
甲、乙两人去某风景区游玩, 每天某 一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相 同),但是他们不知道这些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人采用了 不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来 的第一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当 第一辆车开来时, 他不上车, 而是仔细观 察车的状况, 如果第二辆车的舒适程度比 第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆 车不比第一辆好, 他就上第三辆车.
■小明、小华用4张扑克牌（方块2、 黑桃4、红桃5、梅花6）玩游戏，他 俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在 桌面上，依次抽牌，每次小明先抽， 小华后抽，抽出的牌不放回，抽完为 止，会出现几种可能的结果？它们是 等可能的吗？
4．某七年级有6个班,要从中选出2个班 学校参加某项活动,七⑴班必须参加,另 外再从七⑵至七⑹班选出1个班．用如 下的方法：从装有编号为1、2、3的三 个白球A袋中摸出1个球,再从装有编号 为1、2、3的三个红球B袋中摸出1个球 (两袋中球的大小、形状与质量完全一 样),摸出的两个球上的数字和是几,就选 几班,你认为七⑵到七⑹被选中的可能 性一样吗？请说明理由．
议一议
设一个试验的所有可能发生的 结果有n个,它们都是随机事件,每 次试验有且只有其中的一个结果出 现,如果每个结果出现的机会均等, 那么我们就说这n个事件的发生是 等可能的,也称这个试验的结果具 有等可能性.
等可能事件的概率计算
45这2个数p点数大于3小于6分层训练自助餐1从12345678910这十个数中随机取出一个数取出的数是3的倍数的概率是2某商场开展购物抽奖活动抽奖箱中有200张抽奖卡其中一等奖5张二等奖10张三等奖25张其余抽奖卡无奖则参加抽奖的某顾客从箱中随机抽取一张他中奖的概率是3有8只型号相同的杯子其中一等品5只二等品2只三等品1只随机从中抽取一只恰好抽到一等品的概率4某比赛共有110号十个测试题供选手随机抽取作答前两位选手分别抽走了2号7号题第3位选手抽走8号题的概率是5一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编号码为123的3个黑球从中摸出2个球1共有多少种不同结果
出 正面朝上，反面朝上
，由于硬币的构造、
质地均匀，又是随机掷出的，所以我们断言：每种结果的
可能性 相同 ，都是 1
。
2
共同点： ①所有可能的结果是可数的
②每种结果出现的可能性相同
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，
事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的
概率为： P（A）= —m
n
P(A)= 事件A发生的结果数m
是
5。
8
4、某比赛共有1-10号十个测试题供选手随机抽取作答，
前两位选手分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽走8号
题的概率是 1
。
8
5、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编号码为1,2,3
的3个黑球，从中摸出2个球
(1)共有多少种不同结果？ (2)摸出2个黑球有多少种不同结果？ 白黑1 白黑2 白黑3
P(吃到红豆粽子)=
1 5
6、将A,B,C,D,E这五个字母分别写在5张 同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒 子中。搅匀后从中任意摸出一张，会出现 哪些可能的结果？它们是等可能的吗？
出 正面朝上，反面朝上
，由于硬币的构造、
质地均匀，又是随机掷出的，所以我们断言：每种结果的
可能性 相同 ，都是 1
。
2
共同点： ①所有可能的结果是可数的
②每种结果出现的可能性相同
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，
事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的
概率为： P（A）= —m
n
P(A)= 事件A发生的结果数m
是
5。
8
4、某比赛共有1-10号十个测试题供选手随机抽取作答，
前两位选手分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽走8号
题的概率是 1
。
8
5、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编号码为1,2,3
的3个黑球，从中摸出2个球
(1)共有多少种不同结果？ (2)摸出2个黑球有多少种不同结果？ 白黑1 白黑2 白黑3
P(吃到红豆粽子)=
1 5
6、将A,B,C,D,E这五个字母分别写在5张 同样的纸条上，并将这些纸条放在一个盒 子中。搅匀后从中任意摸出一张，会出现 哪些可能的结果？它们是等可能的吗？
计算机模拟抛硬币实验
Scratch编程模拟抛硬币实验
任务一：模拟随机事件
Scratch编程模拟抛硬币实验
任务二：根据随机数的结果，让硬币切换造型，并记录正面 向上和反面向上的次数
分支结构
Scratch编程模拟抛硬币实验
循任环结务构 三：多次重复实验
Scratch编程模拟抛硬币实验
任务：设计程序，模拟抛硬币实验
现实中的抛硬币游戏过程
Scratch趣味编程
THANK YOU
人大附中朝阳分校
王慧敏
Scratch编程模拟抛硬币实验
scratch中的随机函数
Scratch编程模拟抛硬币实验
活动：探索随机函数的作用
设计一个简单的程序，分别使用下面的命令语句，观察程序的输出结果
0，1 0.00，0.01，0.23，0.78，…1.00 0，1，3，4，5，… 10 -2，-1，0，1，2
Scratch编程模拟抛硬币实验
计算机模拟抛硬币实验
Scratch趣味编程
从抛硬币说起
从抛硬币说起
随机事件
当你把硬币抛上去的时候，你能知道它落下来是正面向上 还是反面向上吗？
这种可能发生也可能不发生的事件，我们称为随机事件。
从抛硬币说起
等可能事件
在抛硬币试验中，只可能出现两个不同的结果，而且这两种结果 出现的可能性是相等的，这一类的随机事件，我们称之为等可能 事件。
计算机模拟抛硬币游戏过程
分支结构
解决问题的关键 用计算机模拟能够产生两种结果的随机事件。
Scratch编程模拟抛硬币实验
现实中的抛硬币游戏过程
抛硬币
重
产生两种结果之一 复
多
次
正
反
实 验
25.1.2 概率
必 然 事 件: 在一定条件下必然发生的事件.
不可能事件: 在一定条件下不可能发生的事件. 随 机 事 件: 在一定条件下可能发生也可能
不发生的事件.
在同样条件下，随机事件可能发生,也可能不发生，那么它发生的可 能性有多大呢？能否用数值进行刻画呢?
请看以下两个试验:
实验1:掷一枚硬币，落地后
(1)会出现几种可能？ 两种
解：一共有7种等可能的结果.
3 （1）指向红色有3种结果， P(指向红色)=__7___;
（2）指向红色或黄色一共有5种等可能的结果，
5
P(指向红色或黄色）=___7____;
4
（ 3）不指向红色有4种等可能结果，P(不指向红色）= _7___.
如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．
在一个有 9×9 个方格的正方形雷区中，随机埋藏
不可能事件 事件发生的可能性越来越小
必然事件
掷1枚质地均匀的正方体骰子，观察向上 一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为2或4或6的概率； （2）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得 点数2，求他第六次掷得点数2的概率.
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能
为1，2，3，4，5，6，共6种.这些点数出现的可能性相等.
1.说明下列事件的概率，并标在图上.
0
0.5
1
（1）北京市举办2008年奥运会；
（2）一个三角形内角和为181°； （3）现将10名同学随机分成两组进行劳动，同学
甲被分到第一组.
2. 任意掷一枚均匀的硬币，前9次都是正面朝上，当
他掷第10次时，你认为正面朝上的概率是 0.5 .
3.袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色 外都相同，从袋子中随机地摸出一个球，它是红球 与绿球的可能性相等吗？两球的概率分别是多少？
不可能事件: 在一定条件下不可能发生的事件. 随 机 事 件: 在一定条件下可能发生也可能
不发生的事件.
在同样条件下，随机事件可能发生,也可能不发生，那么它发生的可 能性有多大呢？能否用数值进行刻画呢?
请看以下两个试验:
实验1:掷一枚硬币，落地后
(1)会出现几种可能？ 两种
解：一共有7种等可能的结果.
3 （1）指向红色有3种结果， P(指向红色)=__7___;
（2）指向红色或黄色一共有5种等可能的结果，
5
P(指向红色或黄色）=___7____;
4
（ 3）不指向红色有4种等可能结果，P(不指向红色）= _7___.
如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．
在一个有 9×9 个方格的正方形雷区中，随机埋藏
不可能事件 事件发生的可能性越来越小
必然事件
掷1枚质地均匀的正方体骰子，观察向上 一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为2或4或6的概率； （2）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得 点数2，求他第六次掷得点数2的概率.
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能
为1，2，3，4，5，6，共6种.这些点数出现的可能性相等.
1.说明下列事件的概率，并标在图上.
0
0.5
1
（1）北京市举办2008年奥运会；
（2）一个三角形内角和为181°； （3）现将10名同学随机分成两组进行劳动，同学
甲被分到第一组.
2. 任意掷一枚均匀的硬币，前9次都是正面朝上，当
他掷第10次时，你认为正面朝上的概率是 0.5 .
3.袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色 外都相同，从袋子中随机地摸出一个球，它是红球 与绿球的可能性相等吗？两球的概率分别是多少？