抛硬币实验报告单
《抛硬币》教案
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抛硬币（合集五篇）
抛硬币（合集五篇）第一篇：抛硬币《抛硬币》教学反思执教者：黄梅英时间：2012、12、7《抛硬币》一课是义务教育课程标准实验教材北师大版第三册第九单元《统计与猜测》的第二课时，内容是体验事件发生的可能性。
“可能性”是新课程标准中新增加的内容。
本节课，我先认真制定教学目标（知识目标、能力目标和情感目标）。
其次，为学生提供了“抛硬币”、“摸球”和到卡通人物家园做客等不同的情境，让学生自己猜想，独立思考，动手操作，探索可能性，体验事情发生的不确定性，并能从统计的结果中发现规律，让学生把自己的发现用语言表达出来。
其实，这种在操作、思考的基础上得出的全新发现，就是学生的创造。
让学生在经历猜测---验证---探索---体验---感悟之后，感受数学的趣味本质，享受成功的喜悦。
同时，我设计小组活动，让学生讨论交流，这样学生不仅可以学会知识，还培养了主动探索和团结协作的精神。
新课程所倡导的数学，其实是数学活动的教学，本节课主要通过游戏活动的设计让孩子得到数学上的一种体验。
对于低年级的孩子来说，课堂不仅仅是学习算术，而是在孩子内心、在他们的大脑深处建立对数学概念的认识，培养他们独立思考、自主探索和合作能力，给孩子更多的时间和空间。
在开展活动之前我都要让学生认真倾听游戏的规则,再引导学生边实践边思考：看看你能发现什么？并让他们根据活动情况及时进行统计，再向全班汇报。
这些活动既为学生提供了广阔的操作实践的空间，也留给了他们足够的思考与交流的时间，让他们都能动手、动口、动脑参与学习的全过程，当每个学生的参与愿望都得以满足，每个学生的思维潜能都行以释放之时，他们的学习能力也随之得到发展，学习效率也自然得到提高。
本节课，还注意引导学生联系生活实际，发现问题，感受数学知识在实际生活中的应用，更主要的是通过教师的建议，让学生更多地感悟到生活中各种事情随时都有可能发生，只要通过我们的努力，有些本来不可能的事情也会变成现实，激发学生的学习热情，从小树立远大的目标。
（3）抛硬币试验与游戏公平（我的五年级教学札记）
（3）抛硬币试验与游戏公平（我的五年级教学札记）抛硬币试验与游戏公平——我的五年级教学札记“游戏公平”的一个重要目标是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明在比赛前用抛硬币的方法来决定谁先开球对比赛双方都是公平的。
问题的关键是：怎样才能让学生明白“出现正面和出现反面的可能性是相同的”即“它们的可能性都是1/2”呢?课前访谈了几个同学，大家都说“一看就知道，硬币只有两面，抛一次不是正面就是反面，出现正面和反面的可能性相同”。
抛一枚硬币时，既可能出现正面，也可以出现反面，结果是无法预料的，但直观上会感到出现正面与出现反面的机会应该相等。
“一看就知道”的东西，为什么在概率论的发展历史上，曾有那么多著名的数学家还要通过做成千上万次的试验来证明呢？这里面究竟隐藏着着什么？事实上，通过试验来确定概率是有风险的。
课堂上，我们让孩子只能做有限的数十、上百次试验，试验结果很可能还会推翻最初的“直观”感觉。
当然，增加试验次数，可以降低这种风险，试验次数越多，结果越逼近理论值。
当大量重复抛掷一枚硬币时，二者出现的频率在0.5附近摆动，我们就认为正面朝上和反面朝上的概率是1/2。
问题是，课堂时间毕竟是有限的。
考虑再三，我决定不让学生在课堂上做抛硬币试验，而是进行数学阅读。
附：数学阅读——抛硬币试验与游戏公平大家知道，玩游戏最重要的是公平。
足球比赛也是一种游戏，比赛开始前，裁判员用抛硬币的方法决定哪个队先开球，这是为什么呢？用这种方法决定哪个队先开球是否公平呢？下面我们就来一起探究一下吧。
人们在长期的生活中，发现世界上有一些事情的结果是无法预料的，例如抛硬币得到正面还是背面，但是，后来有些人发现，虽然单次的结果不可预料，但是如果我不断抛，抛很多次，正面结果占全部抛硬币次数的比率是趋于稳定的，而且次数越多越接近某个固定的数值。
换句话说，抛硬币这件事，单次结果不可预料，但是多次试验的结果却在总体上是有规律可循的。
抛硬币教学反思_1
抛硬币教学反思抛硬币教学反思1《抛硬币》这节课的教学目的主要是让学生感受生活中的不确定现象，会用“一定”、“可能”或“不可能”等词汇来描述生活中一些事件发生的可能性。
确定性和不确定性是一个比较抽象的数学现象，为了让学生对这一现象有初步感知和体验，教师以新课程理论为指导，在教学时充分考虑到二年级学生爱玩、好玩、好奇心强的特点，以活动为主线组织教学，设计了抛硬币、摸球两个活动。
在“抛硬币”这一活动时，教师让学生先猜后抛，使学生真正体验到“猜想——实践——探索——验证”这一过程，接着引出新课，出示课题“抛硬币”，板书“可能性”，让学生用可能性说一句话，及时纠正说的不正确的话语。
在“摸球”这一活动中，采用6人小组合作学习的方法，让学生在活动中猜测、摸、记录、交流，统计得出结果，根据小组不同的结果进行讨论。
虽然整节课我们好像看到学生一直在玩，玩得很开心，但他们也在玩中通过自己动手操作，积极动脑，不断发现，体验着。
数学源于生活，回归生活。
学生学习的数学应是生活中的数学，是学生“自己的数学”，同时数学又必须回归于生活。
在练习过程中，让学生说说生活中可能、不可能、一定发生的事件，开启了学生思维的“闸门”。
这样学生能主动、扎实、有效地巩固应用本课知识，调动学生的思维，学习用数学知识观察身边的事情，培养学生的表达能力、逻辑推理能力和解决实际问题的能力，同时激发学生学习的兴趣和良好的学习情感。
抛硬币教学反思2新课标指出，课堂教学在关注知识和技能的同时，又要关注过程与方法，情感态度和价值观，尤其强调要在学生经历猜想，实践，验证，分析，判断，推理等教学活动的过程中掌握知识，发展技能，体验数学的价值，形成积极主动的学习态度，增强学习数学的信心，所以在教学设计中考虑到学生学习数学时对教学活动本身的兴趣更加明显，在教学中充分的利用学生的生活经验，创设了具体的生活情景，让学生在生动具体的情境中经历数学学习的过程，就是要让学生参与体验，感悟，在玩中学．在教学过程的设计中，能按以下几个方面来反映和体验新课标的理念：１，创设情境，感悟数学问题由生活中来，并注重应用．教学时，创设抛硬币的游戏情境，让学生很快的进入＂可能性＂这一情境，既贴近学生的生活，又能够激发学生探究的欲望，从学生的生活经验出发，又设计了直观的＂摸球＂游戏，使学生对事件发生的可能性有了进一步的感受，让学生在这些实践性强的活动中，亲身体会直观的感受事件的确定性和可能性，最后把所学知识与自己的生活联系起来，举例说明可能性，并开展＂小调查＂活动，综合运用本课知识解决生活中的问题，使学生理解了数学知识________于生活，并最终要应用于生活．２，＂玩中学＂，引导学生在主动参与中经历猜测，实验，验证的学习过程玩是孩子的天性，结合本节课的教学内容，设计了学生动手操作的游戏活动，调动学生参与学习的过程，以＂动＂促＂思＂，在玩中享受到学习的快乐．领悟到知识的情趣，让学生边玩边思考，让学生大胆猜测，自己动手进行实验，验证，使学生真切的感受到事件发生的可能性．这样，通过亲身的参与，直接的获得个人经验．抛硬币教学反思3《抛硬币》是北师大版小学二年级的内容，这是“统计与概率”这一单元中的有关“概率”的知识，是学生第一次接触这方面的内容，对学生来说是一个全新的概念，学生在学习过程中会遇到教多的困难。
《抛硬币》教案（通用3篇）
《抛硬币》教案（通用3篇）《抛硬币》教案（通用3篇）作为一位不辞辛劳的人民教师，可能需要进行教案编写工作，教案是备课向课堂教学转化的关节点。
那么优秀的教案是什么样的呢？以下是小编帮大家整理的《抛硬币》教案（通用3篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
《抛硬币》教案1教学目标1、通过游戏活使学生初步体会和了解有些事的发生是不确定的，有些又是必然的。
2、通过小组活动实践使学生初步感受事物发生的可性有大有小，尝试用“可能”、“不可能”、“一定”、“不一定”等表达事物发生的情况。
教学重点体会事件的确定性的不确定性。
教学难点体会事件的确定性的不确定性。
教学准备课件、硬币、白、黄颜色的乒乓球，盒子、实物投影。
教学板块教与学预设一、情景创设1、同学们，你们喜欢做游戏吗？今天上课之前我们要做一个摸球游戏。
请听清要求：老师请一组小朋友上来摸球，摸之前将盒子摇一摇，摸时眼睛不要看。
摸到黄球的同学可以得到一颗糖，其余同学仔细观察，猜一猜他们摸到什么颜色？2、临时小组的摸球活动。
3、提出问题：刚才同学们摸球时，你每次都能猜准吗？这种不一定发生的事，我们用“可能性”来表示。
（揭示课题）你们想不想也来玩一玩这个游戏？好，接下来请同学小组内玩一玩。
二、问题探究活动一：1、每个小组一个盒子，第1～5组3个黄球，3个白球。
第6组全部是黄球，第7组全部是白球。
让组内成员轮流摸球，每人摸2次，组长把每人摸的球的颜色记录在统计表里。
2、让统计完的小组上来汇报自己组的结果。
3、听完这些小组的统计结果，你们有些什么想法？（把1～5组的盒子打开，看看球的颜色）我们通常把这种不能确定发生的事情叫“可能”，也就是说我们1～5小组的同学既有可能摸到黄球也有可能摸到白球。
（揭示“可能”）三、体验感悟1、为什么第6组摸到的都是黄色；第7组摸到的都是白色？2、让学生推测，再打开盒子看看。
第6组可能摸到白色吗？不可能。
在生活中遇到确定不发生的事我们就用“不可能”来表示。
北师大版数学第三册《抛硬币》表格教案
抛硬币
教学目标
1.通过游戏，猜测培养初步的统计意识。
2.培养学生善于提出问题以及分析比较和推理的能力。
3.能够正确进行统计。
教学过程：
一、游戏引入
一位学生上台抛硬币，硬币落地后，问哪面朝上？其他学生猜。然后再反复几次，再猜并观察验征结果。
二、分组实践活动
小组游戏分工（抛硬币、观察、纪录结果）。
小组交流。
小组汇报结果（正面和反面都有可能）。
三、猜一猜
小组分工合作（摸球、猜测、记录结果）。
小组交流，明确每一次摸到的球可能是黄球，也可能是白球。
小组汇报摸球过程及结果。
讨论：可能摸到黑球吗？
说一说：你是怎么想的？
四、连一连
让学生判断哪些Biblioteka 件的发生是一定的，哪些事件的发生是不定的。
五、总结：
你学会了什么知识，懂得了什么数学方法？
六、实践活动
结合自己周围发生的事情，说说什么事情的发生是确定的，什么事情的发生是不确定的。
《抛硬币》教学案例、反思与的点评
《抛硬币》教学案例、反思与的点评Teaching cases, reflections and comments on tossing coins《抛硬币》教学案例、反思与的点评前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。
一、教学目标1在简单的猜测活动中感受不确定现象，初步体验有些事情的发生是不确定的，有些是确定的。
2会用“一定”“可能”或“不可能”等词汇描述生活中一些事件发生的可能性。
二、教材分析本节课是学生第一次在课堂学习中接触不确定现象，这对学生来说是一种全新的认识，必须让学生参与到活动中亲身感受，获得直观的体验。
教学时，应重视创设问题情境，让学生从有趣的猜测活动中感受不确定现象。
教师应充分地给学生提供猜测、实验、探索、验证的时间，使学生在大量试验的基础上自己体会事件发生的确定与不确定性。
三、学生分析我校是一所全州闻名的学校，环境优美，师资力量雄厚。
教室里配备了电脑，为使用多媒体课件提供了条件，非常有利于低年级的教师创设生动的情境，开展丰富活泼的课堂教学活动。
学生大部分来自于市区，经过一年的学习，学生的语言表达能力有了一定的提高。
教学中我一直培养学生写数学日记，学生能把所学的数学知识与生活实际联系起来，用数学的眼光来观察、了解周围的事物，从数学角度去发现、分析生活。
我班学生比较喜欢体育运动，特别是足球，因此，我设计了一个有关足球的活动。
四、教学过程（一）创设生活化的问题情境师：同学们，我的手里有一枚硬币，猜猜这枚硬币在我的左手还是右手?（学生进行猜测）师：有的同学认为在左手，有的同学认为在右手，在这种不能肯定的情况下，我们可以怎么说?生：可能在左手，也可能在右手。
抛硬币试验误差模型及分布规律
㊀㊀㊀㊀㊀㊀抛硬币试验误差模型及分布规律抛硬币试验误差模型及分布规律Һ高㊀宏㊀（清华大学精密仪器系，北京㊀１０００８４）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文针对抛硬币试验结果离散性较大的问题，引入了绝对误差㊁相对误差和频率误差等概念，用随机过程分析方法建立了抛硬币试验误差的数学模型，从空间和时间两个维度给出了抛硬币试验误差的统计规律，证明了多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数的平方根成正比，多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数的平方根成反比，以及单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数成正比等结论，可从理论上对抛硬币试验中出现的各种误差现象及问题进行解释．ʌ关键词ɔ抛硬币试验；误差模型；频率稳定性；概率统计定义一㊁引㊀言抛硬币试验是概率论课程引出频率稳定性和概率统计定义的重要教学内容．抛硬币试验由于操作简便㊁容易理解，成为概率论课程中介绍随机现象具有统计规律的经典案例，也还能通过观察分析引出频率和概率的统计定义，形象说明频率与概率之间的联系与区别，以便让学生在生动有趣的随机试验过程中建立良好的概率直觉．但是实际的抛硬币试验结果却表明，在试验次数相同的情况下，不同小组的试验结果离散性很大，而且无论抛多少次，硬币正反两面出现的次数总是有较大的差距，抛硬币试验的次数越多，正反两面出现的次数并不是越来越接近，而是相差越来越大，反而让学生对随机现象的统计规律感到困惑．本文建立了抛硬币试验的误差模型，并给出了误差分布的规律．二㊁抛硬币试验误差定义抛硬币试验的目的，是让学生通过抛硬币的试验过程，一方面体验随机事件的不确定性，另一方面体验大量重复试验中的统计规律，即硬币出现正面和反面的次数大致相等，各占总试验次数的比例（频率）会稳定于０．５．理想的抛硬币试验结果是：当试验次数较大时，硬币出现正面和反面的次数完全相等，即正面出现次数与反面出现次数之差等于零．但是在实际的抛硬币试验中，很少会出现这种情况．因此，我们将抛硬币试验结果中硬币正面出现次数与反面出现次数之差定义为绝对误差．绝对误差＝正面出现次数－反面出现次数．（１）绝对误差可能是正值，也可能是负值．正值表明硬币正面出现的次数多于反面出现的次数，负值表明硬币正面出现的次数少于反面出现的次数．定义相对误差为绝对误差与总试验次数之比，有相对误差＝绝对误差总试验次数．（２）在抛硬币试验中，频率是指硬币正面出现的次数与总试验次数之比．随着试验次数的增加，频率将越来越接近概率０．５，因此，定义频率误差为实际频率与０．５之差．频率误差＝实际频率－０．５．（３）由式（１）可推导出硬币正面出现的次数为正面出现次数＝１２（总试验次数＋绝对误差）．（４）因此，有频率误差＝１２相对误差．（５）三㊁抛硬币试验误差模型设有Ｎ组同学做抛硬币试验，每组的试验次数均为ｎ，规定所有人在同一时刻抛出硬币，而且抛硬币的时间间隔相等，则抛硬币试验可看作一个随时间演变的随机过程．观察其中第ｊ组的抛硬币试验过程，设ｘｊ（ｉ）为第ｊ组第ｉ次的抛硬币结果，如果出现正面，令ｘｊ（ｉ）＝１，如果出现反面，令ｘｊ（ｉ）＝－１，则ｘｊ（ｉ）为第ｊ组抛硬币试验的一个时间序列．虽然事先无法准确预知每次抛掷硬币将出现正面还是反面，但是每次抛出只会出现一个结果，即ｘｊ（ｉ）与ｉ一一对应，因此，ｘｊ（ｉ）是ｉ的函数，亦即随机过程的一个样本函数．设Ｘ（ｉ）为第ｉ次抛硬币试验的随机变量，则所有Ｎ组第ｉ次抛硬币的结果ｘ１（ｉ），ｘ２（ｉ）， ，ｘｊ（ｉ）， ，ｘＮ（ｉ）就是随机变量Ｘ（ｉ）在ｉ时刻的状态．图１为Ｎ组抛硬币试验记录曲线．所有Ｎ组试验记录曲线在ｉ时刻的取值就是随机变量Ｘ（ｉ）在ｉ时刻的状态．随机过程即可看成所有样本函数ｘｊ（ｉ）的集合，也可看成所有随机变量Ｘ（ｉ）的集合．图１㊀抛硬币试验随机过程由于每次抛硬币的结果互不相关，因此，随机变量Ｘ（ｉ）独立同分布，设Ｐ［Ｘ（ｉ）＝１］＝Ｐ［Ｘ（ｉ）＝－１］＝１２，Ｙ（０）＝０，则抛硬币试验绝对误差的随机变量模型为Ｙ（ｎ）＝Ｘ（１）＋Ｘ（２）＋ ＋Ｘ（ｎ），（６）因此，Ｎ组抛硬币试验的绝对误差Ｙ（ｎ）是大量独立同㊀㊀㊀㊀㊀分布随机变量之和．根据中心极限定理，当ｎ很大时，Ｙ（ｎ）服从或近似服从正态分布．由于Ｅ［Ｘ（ｉ）］＝０，Ｄ［Ｘ（ｉ）］＝１，因此，Ｙ（ｎ）的数学期望和方差为Ｅ［Ｙ（ｎ）］＝０，（７）Ｄ［Ｙ（ｎ）］＝ｎ，（８）这表明Ｎ组抛硬币试验的绝对误差Ｙ（ｎ）服从参数为（０，ｎ）的正态分布．设ｙ（０）＝０，则单组抛硬币试验绝对误差的样本函数模型为ｙ（ｎ）＝ｘ（１）＋ｘ（２）＋ ＋ｘ（ｎ）．（９）注意：ｙ（ｎ）是单组的第ｎ次抛硬币试验结果（绝对误差），是一个确定的数，Ｙ（ｎ）是所有Ｎ组的ｎ次抛硬币试验结果，是一组试验数据，即［ｙ（１），ｙ（２）， ，ｙ（ｎ）］．式（９）的样本函数模型ｙ（ｎ）也可看作一个质点的随机游走模型．假设质点只能在数轴ｙ的整数点上移动（图２），从原点开始抛硬币，如果硬币正面向上，ｘ（１）＝１，质点向右移动１个单位，如果硬币反面向上，ｘ（１）＝－１，则质点向左移动１个单位．式（９）的ｙ（ｎ）即可看成第ｎ次抛硬币后正面出现次数与反面出现次数之差，也可看成随机游走的质点在第ｎ步时的位置．图２㊀质点随机游走位移从式（９）可以看出，抛硬币试验的绝对误差或随机游走位移ｙ（ｎ）不仅与当前时刻的ｘ（ｎ）有关，而且与之前所有时刻的ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ－１）都有关，这表明ｙ（ｎ）具有很强的记忆性．将式（９）改写为ｙ（ｎ）＝１ｎðｎｉ＝１ｘ（ｉ）[]㊃ｎ＝ｘ（ｎ）㊃ｎ，（１０）式中ｘ（ｎ）为时间序列ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）的算数平均值，其物理意义表示随机游走的质点在区间［０，ｎ］上的平均速度．根据大数定律，算数平均值ｘ（ｎ）反映了时间序列ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）中的确定性部分，当ｎ充分大时，ｘ（ｎ）趋于一个常数，因此，单组抛硬币试验的绝对误差ｙ（ｎ）与试验次数ｎ成正比，或一个质点的随机游走位移ｙ（ｎ）与步数ｎ成正比．四㊁抛硬币试验误差分析１．绝对误差绝对误差是指抛硬币试验结果中正面出现次数与反面出现次数之差．由式（８）抛硬币试验绝对误差Ｙ（ｎ）的方差等于ｎ，可得Ｎ组抛硬币试验绝对误差Ｙ（ｎ）的标准差为σｎ＝ｎ．（１１）由正态分布的性质，Ｙ（ｎ）落在区间［－３σｎ，＋３σｎ］内的概率为９９．７３％．式（１１）表明，Ｎ组抛硬币试验数据绝对误差的标准差与总试验次数ｎ的平方根成正比，因此，抛硬币试验次数ｎ越大，正面出现次数与反面出现次数之差也越大．２．相对误差相对误差是绝对误差与总试验次数之比，因此，相对误差落在区间－３σｎｎ，＋３σｎｎéëêùûú内的概率为９９．７３％，由于σｎｎ＝ｎｎ＝１ｎ，（１２）因此，Ｎ组抛硬币试验的相对误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着抛硬币试验次数ｎ的增大，相对误差趋于零．３．频率误差频率误差是指抛硬币试验实际频率与概率０．５之差，式（５）表明频率误差等于相对误差的１２，因此，频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着抛硬币试验次数ｎ的增大，频率误差也趋于零．表１给出了多组抛硬币试验不同试验次数时的绝对误差（ʃ３σｎ）㊁相对误差和频率误差的值．表１㊀抛硬币试验误差（ʃ３σｎ）次数（ｎ）绝对误差相对误差频率误差１０９．５９４．９％０．４７４２０１３．４６７．１％０．３３５３０１６．４５４．８％０．２７４４０１９．０４７．４％０．２３７５０２１．２４２．４％０．２１２６０２３．２３８．７％０．１９４７０２５．１３５．９％０．１７９８０２６．８３３．５％０．１６８９０２８．５３１．６％０．１５８１００３０．０３０．０％０．１５０５００６７．１１３．４％０．０６７１０００９４．９９．５％０．０４７１００００３００．０３．０％０．０１５１０００００９４８．７０．９％０．００５图３为８组不同抛硬币试验（次数ｎ＝１００）的绝对误差模拟试验曲线．图３㊀抛硬币试验绝对误差模拟实验曲线㊀㊀㊀㊀㊀㊀从抛硬币试验的误差分析可以得出以下结论：（１）多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数ｎ的平方根成正比，随着试验次数ｎ的增加，硬币正反两面出现的次数之差逐渐增大；（２）多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，随着试验次数ｎ的增加，相对误差和频率误差越来越小，当试验次数ｎ充分大时，相对误差和频率误差趋于零，即频率趋于概率０．５；（３）单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数ｎ成正比，随着试验次数ｎ的增加，正反两面出现的次数之差越来越大．五㊁错误应用案例分析抛硬币试验结果说明，随着抛硬币试验次数的增大，硬币正反面出现的频率逐渐稳定于概率０．５．数值０．５是指在试验次数ｎ充分大的条件下，刻画硬币正反面出现事件可能性大小的一个数量指标．对于ｎ＝１时的单次抛硬币试验结果，不是频率为１，就是频率为０，不存在频率稳定性．因此，我们不能用概率０．５来描述单次抛出硬币后的结果，这就如同物理学不能用温度来度量一个分子的动能一样．随机过程理论用抛硬币试验来定义图２所示的一维简单随机游走．设一个质点从原点出发，抛掷一枚质量均匀的硬币，用ｘ（ｉ）表示第ｉ次的抛硬币结果，如果第ｉ次硬币出现正面向上，则ｘ（ｉ）＝１，质点往右移动１个单位，如果第ｉ次硬币反面向上，则ｘ（ｉ）＝－１，质点向左移动１个单位，因此，第ｎ次抛硬币后质点的位置为ｙ（ｎ）＝ｘ（１）＋ｘ（２）＋ ＋ｘ（ｎ）．（１３）随机过程理论假设每次抛硬币正面向上的概率为ｐ，反面向上的概率为ｑ＝１－ｐ，则质点向右移动１个单位的概率为ｐ，向左移动１个单位的概率为ｑ．可以证明，当ｐ＝ｑ＝０．５时，一维简单随机游走ｙ（ｎ）是常返的，表明一维简单随机游走的质点一定能回到起点．式（１３）中的ｘ（１），ｘ（２）， ，ｘ（ｎ）均为一次抛硬币试验结果，是确定性的试验数据．用刻画大量随机试验统计规律的概率ｐ＝ｑ＝０．５来描述单次抛硬币试验结果在概念上是错误的，必然会得出与事实不符的结论．对比式（９）和式（１３），一维简单随机游走的质点位移与单组抛硬币试验的绝对误差模型完全相同，一维简单随机游走的质点位移在数量上等于单组抛硬币试验的绝对误差．由于单组抛硬币试验结果的绝对误差ｙ（ｎ）与试验次数ｎ成正比，因此，一维简单随机游走的质点位移ｙ（ｎ）与步数ｎ成正比，即随着步数ｎ的增加，随机游走的质点会逐渐远离原点．六㊁高尔顿板实验验证高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿（Ｇａｌｔｏｎ）专门设计用来演示随机游走过程并验证中心极限定理的实验装置（图４）．图４㊀高尔顿板高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈等边三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子正中间的上方．当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后，有可能从钉子左边落下，也有可能从钉子右边落下，经过ｎ层钉子后，小球最后落入底部的一个格子内．显然，一个小球从入口处经过ｎ层钉子后落入底部格子的过程就相当于一个ｎ次抛硬币试验过程，或一个质点的ｎ步随机游走过程．小球所在底部格子偏离中心的距离，就是抛硬币试验数据中的绝对误差，或随机游走质点相对原点的位移．把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大㊁钉子数量足够多，落在底部格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高㊁两边低的钟形曲线．如果高尔顿板的面积足够大，小球在下落过程中将逐渐向左右两个方向扩散，表明抛硬币试验中的绝对误差随试验次数逐渐变大，或随机游走的小球随时间远离原点．七㊁结㊀论本文针对抛硬币试验结果离散性较大的问题引入了绝对误差㊁相对误差和频率误差的概念，建立了抛硬币试验误差数学模型，得出了多组抛硬币试验绝对误差的标准差与试验次数ｎ的平方根成正比，多组抛硬币试验的相对误差和频率误差与试验次数ｎ的平方根成反比，以及单组抛硬币试验的绝对误差与试验次数ｎ成正比等结论，同时纠正了随机过程理论中将抛硬币试验概率０．５用于度量单次抛硬币结果的概念错误，并证明了一维简单随机游走的质点位移与步数ｎ成正比，表明一维简单随机游走的质点随步数ｎ的增加逐渐远离原点．ʌ参考文献ɔ［１］王丽霞．概率论与随机过程：理论㊁历史及应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１２．［２］吴赣昌．概率论与数理统计（理工类㊃第五版）［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２０１７．［３］王立君． 抛硬币试验 教学中的误区［Ｊ］．小学教学参考：数学版，２００９（５）：１５－１６．［４］芦静．从二项式分布理解抛硬币试验［Ｊ］．数学通报，２０１５（４）：３２－３４．［５］钱敏平，龚光鲁，陈大岳，等．应用随机过程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［６］何书元．随机过程［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００８．。
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反面朝上
总次数
出现次数
抛硬币实验报告单
出现的情况
正面朝上
反面朝上
总次数
出现次数
抛硬币实验报告单
出现的情况
正面朝上
反面朝上
总次数
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出现的情况
正面朝上
反面朝上
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出现的情况
正面朝上
反面朝上Biblioteka 总次数出现次数抛硬币实验报告单
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正面朝上
反面朝上
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正面朝上
反面朝上
总次数
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出现的情况
正面朝上
反面朝上
总次数
出现次数
抛硬币实验结果汇总表
小组
正面朝上
反面朝上
总次数
1
2
3
4
5
6
7
8
合计
抛硬币实验报告单
出现的情况
正面朝上
反面朝上
总次数
出现次数
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出现的情况
正面朝上
反面朝上
总次数
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正面朝上
反面朝上
总次数
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正面朝上
反面朝上
总次数
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正面朝上
反面朝上
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