(完整版)概率论第八讲二维离散随机变量的概率分布
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32二维离散型随机变量的分布律及性质
P { X x , Y y }p i j ij P { X x Y y } ,i 1 , 2 , (2.4) i j P { Y y } p j j
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P { X x y } 0 , i 1 , 2 , iY j
(2)
p 1 j p 1 i j p p i 1 p 1 j j i j
p i j
P { X x } 0 同理，设 p ，则可得到在 X xi i i 时随机变量 Y的条件概率分布为：
P { X x , Y y } p i j i j P { Y y X x } ,j 1 , 2 ,( 2 . 5 ) j i P { X x } p i i
{ X x , Y y } P { X x } P { Y y } 即P (2.7) i j i j
例4
X ,Y
相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么， 次数， 二维随机变量 ( X ,Y ) 概率分布如表3-9所示.问随机 变量 X与Y 是不是相互独立？
且
(1) P { Y y x } 0 ,j 1 , 2 , jX i
(2)
p 1 i p 1 ij p p i i i i j 1p 1 p ij
i 1 , 2 , ,
例3 设二维离散形随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布如表3-7, 1时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 求 Y 条件概率分布。
解：
四、 独立性
易知，上述条件概率满足概率分布的性质
(1) P { X x y } 0 , i 1 , 2 , iY j
(2)
p 1 j p 1 i j p p i 1 p 1 j j i j
p i j
P { X x } 0 同理，设 p ，则可得到在 X xi i i 时随机变量 Y的条件概率分布为：
P { X x , Y y } p i j i j P { Y y X x } ,j 1 , 2 ,( 2 . 5 ) j i P { X x } p i i
{ X x , Y y } P { X x } P { Y y } 即P (2.7) i j i j
例4
X ,Y
相互独立，填如下表3-8空白处的值
解：
例5 设 X 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的 Y 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么， 次数， 二维随机变量 ( X ,Y ) 概率分布如表3-9所示.问随机 变量 X与Y 是不是相互独立？
且
(1) P { Y y x } 0 ,j 1 , 2 , jX i
(2)
p 1 i p 1 ij p p i i i i j 1p 1 p ij
i 1 , 2 , ,
例3 设二维离散形随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布如表3-7, 1时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 求 Y 条件概率分布。
解：
四、 独立性
§2 二维离散型随机变量及其分布
P{X xi , Y y j } pij ， i 1, 2,, j 1, 2, ，
就称上式为二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律或 X 和 Y 的 联合分布律，
1
二维离散型随机变量的分布律也记列表为
X
Y
x1
p11 p12 p1 j
x2
xi
y1 y2 yj
§2
二维离散型随机变量及其分布
一、二维离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 如果二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值为有限对 或可列对，就称 ( X , Y ) 为 二维离散型随机变量．
定义 2.2 设 ( X , Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可能的取 值为 ( xi , y j ) ，其中 i 1, 2,, j 1, 2, ，且
p21
pi1
p22 pi 2 p2 j pi j
2
例 2.1
设同一品种的五个产品中，有两个次品，每次从中取一
个检验，连续两次．设 X 表示第一次取到的次品个数； Y 表示 第二次取到的次品个数．试分别就⑴不放回；⑵有放回两种情 况，求出 ( X , Y ) 的概率分布．
pij ，其中 D 为任一平面区域．
( X , Y ) 的分布函数为
F ( x, y ) P X x, Y y
xi x y j y
p
ij
，
x , y ．
6
例 2.2
已知二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
X Y 0 1
i j
ij
所以 b 0.2 ． 1知，0.7 a b 1 ，
2.2 概率论——二维离散型随机变量及其分布
1,
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
x 0或y 0, 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 x 1, y 1
P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
列表为：
X1 X2 0 1
0
0.0455 0
1
0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布：
Y X
0
1
0
q
0
1
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, F ( x, y) q,
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 (向量或点 ) 为有限多个或至多可列个，则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量
X与Y均为离散型随机变量
记( X ,Y )的取值集合为 E {( xi , y j ), i, j 1,2, } P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.
对任意的A E
P{( X ,Y ) A} pij
ij
( xi , y j ) A
( X ,Y )的联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
pij
xi x y j y
解 (1) X 可能的取值为 1，2，3，Y 可能的取值为2，3，4,
但 ( X ,Y )的取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)，(2,4),(3,4)。
由古典概型公式
P{ X
1,Y
2}
概率论和数理统计-二维离散随机变量及分布27页PPT
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
概率论和数理统计-二维离散随机变量 及分布
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁Байду номын сангаас
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
二维随机变量函数的概率分布.ppt
0 x 1, 其 它.
fY
y
e y 0,
,
y 0, y 0.
设随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z),则有
fZ z f X x fY z xdx 0 x 1, z x 0
随机变量函数的分布
f Z z f X x fY z xdx, z
不可能事件的0概率x等于10,. z x 0 1
随机变量函数的分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的
分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命
分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们 想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
Z min(X ,Y )
2）
Z max(X ,Y )
3）
Z X Y
这就是求随机变量函数的分布问题。
离散型随机变量、
x
FZ z PZ z PX Y z
O
f x， ydxdy
x yzz ຫໍສະໝຸດ zxdddxxu fffx，xx，，uuyxdxdyudx
作变换：y u x,
随机变量函数的分布
z
F (z) du f x， u xdx
利用分布函数与密度函数的关系,对FZ(z)求导, 得Z=X+Y的密度函数:
1 4
0
82
1 8
5 8
由此得 Z=X+Y的分布律
Z123 P 1/4 1/8 5/8
随机变量函数的分布
2.连续型随机变量和的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合概率密度
函数为f (x , y), 令：Z=X+Y.试求随机变量Z的密度函
数fZ(z).
y
1.计算随机变量Z=X+Y的分布函数FZ(z).
概率论 第八讲 二维离散随机变量的概率分布
第八讲 二维离散随机变量的概率 分布
教学目的： 教学目的 1.讲解二维离散随机变量的概率分布 （联合、边缘）； 2. 讲解二维随机变量的分布函数 (联合、边缘；离散→连续） ; 3. 讲解随机变量的独立性. 教学内容：§ 2.9 ～ 2.11(与书上不 教学内容 同)
多 维 分 布
在实际问题中, 在实际问题中 试验结果有时需要同 来描述. 时用两个或两个以上的 r.v.来描述 来描述 用温度和风力来描述天气情况. 例如 用温度和风力来描述天气情况 通过对含碳、含硫、 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 之间的联系, 钢的成分 要研究这些 r.v.之间的联系 就 之间的联系 及其取值规律—多维分布 需考虑多维 r.v.及其取值规律 多维分布 及其取值规律 多维分布.
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2)
B + π C + π = 1 解 (1) F (+∞,+∞) = A 2 2 B − π C + π = 0 F (−∞,+∞) = A 2 2 B + π C − π = 0 F (+∞,−∞) = A 2 2
联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称
( xi , y j ),
i, j = 1,2,⋯
i, j = 1,2,⋯
P( X = xi , Y = y j ) = pij ,
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布 也简称 概率分布 或 分布律 解析表示法 性质: pij ≥ 0, i, j = 1,2,⋯
教学目的： 教学目的 1.讲解二维离散随机变量的概率分布 （联合、边缘）； 2. 讲解二维随机变量的分布函数 (联合、边缘；离散→连续） ; 3. 讲解随机变量的独立性. 教学内容：§ 2.9 ～ 2.11(与书上不 教学内容 同)
多 维 分 布
在实际问题中, 在实际问题中 试验结果有时需要同 来描述. 时用两个或两个以上的 r.v.来描述 来描述 用温度和风力来描述天气情况. 例如 用温度和风力来描述天气情况 通过对含碳、含硫、 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 之间的联系, 钢的成分 要研究这些 r.v.之间的联系 就 之间的联系 及其取值规律—多维分布 需考虑多维 r.v.及其取值规律 多维分布 及其取值规律 多维分布.
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2)
B + π C + π = 1 解 (1) F (+∞,+∞) = A 2 2 B − π C + π = 0 F (−∞,+∞) = A 2 2 B + π C − π = 0 F (+∞,−∞) = A 2 2
联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为 则称
( xi , y j ),
i, j = 1,2,⋯
i, j = 1,2,⋯
P( X = xi , Y = y j ) = pij ,
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布 也简称 概率分布 或 分布律 解析表示法 性质: pij ≥ 0, i, j = 1,2,⋯
2 二维离散型随机变量的分布律及性质
解：
6
二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布
二维随机变量 ( X , Y ) 作为一个整体，具有分 布函数 F ( x, y ) ,而 X和 Y 都是随机变量，也分别具 FY ( y) ．依次称为二维 有分布函数，记之为 F ( x) ， 随机变量 ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数．边 缘分布函数可以由 ( X , Y )的分布函数 F ( x, y ) 所确定， FX ( x) P{X x} P{X x, Y } F ( x, ) 事实上 FX ( x) F ( x, ) 即 （2.2） FY ( y) F (, y) 同理 （2.3） 对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2） 可得： F ( x) F ( x,) p
pij
pi
,
j 1, 2,
(2.5)
且
(1) P{Y y j X xi } 0,
j 1,2,
(2)
j 1
pij
1 pi p i
i 1
pij
pi 1 pi
i 1,2,,
14
例3 设二维离散形随机变量 ( X , Y ) 的概率分布如表3-7, 求 Y 1 时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 条件概率分布。
F ( x, y )
xi x y j y
P{ X x , Y y } p
i j xi x y j y
ij
(2.1)
5
例 1 一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这 袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球. X 设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以 、 Y 分别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求 ( X , Y )的概率分布．
6
二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布
二维随机变量 ( X , Y ) 作为一个整体，具有分 布函数 F ( x, y ) ,而 X和 Y 都是随机变量，也分别具 FY ( y) ．依次称为二维 有分布函数，记之为 F ( x) ， 随机变量 ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数．边 缘分布函数可以由 ( X , Y )的分布函数 F ( x, y ) 所确定， FX ( x) P{X x} P{X x, Y } F ( x, ) 事实上 FX ( x) F ( x, ) 即 （2.2） FY ( y) F (, y) 同理 （2.3） 对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2） 可得： F ( x) F ( x,) p
pij
pi
,
j 1, 2,
(2.5)
且
(1) P{Y y j X xi } 0,
j 1,2,
(2)
j 1
pij
1 pi p i
i 1
pij
pi 1 pi
i 1,2,,
14
例3 设二维离散形随机变量 ( X , Y ) 的概率分布如表3-7, 求 Y 1 时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 条件概率分布。
F ( x, y )
xi x y j y
P{ X x , Y y } p
i j xi x y j y
ij
(2.1)
5
例 1 一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这 袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球. X 设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以 、 Y 分别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求 ( X , Y )的概率分布．
2.2 二维离散型随机变量及其分布
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1,2,
上式称为X与Y的联合概率分布，或( X , Y )的概率分布。
联合概率分布可用下面 的概率分布表表示：
X Y
x1 x2 xi
y1
y2
yjቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p11 p12 p1 j p21 p22 p2 j .......... .......... .......... .......... ..
2， 3， 4 例2 从分别标有号码 1， 2， 3，的 6 个球中任取三球， X , Y分别表示其中的最小号 码与最大号码， 求： (1)( X , Y )的联合概率分布； ( 2) P { X Y 5}及联合分布函数值F (1,3)。
解 (1) X 可能的取值为 1， 3，Y 可能的取值为 2， 4, 2， 3，
(1)不放回抽取
( 2)有放回抽取
1
X1
0
1
X2
0
X1
0
1
X2
0
1
1 3 4 15
4 15 2 15
9 25 6 25
6 25 4 25
( 2)有放回抽取 事件“X 1 i”与“X 2 j”相互独立, 则有 P{ X1 0, X 2 0} P{ X1 0} P{ X 2 0} 6 6 9 10 10 25 类似可得其余三个联合 概率(见上表)。
P{ X 1, Y 2} P{ X 1, Y 3}
0 .3
2 例3 设随机变量 U在区间 [2，]上服从均匀分布， 随机
变量
1 , U 1 X 1 , U 1
1 Y 1
上式称为X与Y的联合概率分布，或( X , Y )的概率分布。
联合概率分布可用下面 的概率分布表表示：
X Y
x1 x2 xi
y1
y2
yjቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p11 p12 p1 j p21 p22 p2 j .......... .......... .......... .......... ..
2， 3， 4 例2 从分别标有号码 1， 2， 3，的 6 个球中任取三球， X , Y分别表示其中的最小号 码与最大号码， 求： (1)( X , Y )的联合概率分布； ( 2) P { X Y 5}及联合分布函数值F (1,3)。
解 (1) X 可能的取值为 1， 3，Y 可能的取值为 2， 4, 2， 3，
(1)不放回抽取
( 2)有放回抽取
1
X1
0
1
X2
0
X1
0
1
X2
0
1
1 3 4 15
4 15 2 15
9 25 6 25
6 25 4 25
( 2)有放回抽取 事件“X 1 i”与“X 2 j”相互独立, 则有 P{ X1 0, X 2 0} P{ X1 0} P{ X 2 0} 6 6 9 10 10 25 类似可得其余三个联合 概率(见上表)。
P{ X 1, Y 2} P{ X 1, Y 3}
0 .3
2 例3 设随机变量 U在区间 [2，]上服从均匀分布， 随机
变量
1 , U 1 X 1 , U 1
1 Y 1
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数.
求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律.
解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 由乘法公式
P(X 0,Y 0) P(x 0)P(Y 0 X 0)
C
2 5
C
2 6
C C
2 3
2 5
3/15,
或由古典概型
P( X
0,Y
0)
C
2 3
/
C
2 6
3/15,
相仿有
P(X
0,Y
1)
C12C13
/
C
2 6
6 /15,
P(X
0,Y
2)
C
2 2
/
C
2 6
1/ 15;
P(X
1,Y
0)
C11C13
/
C
2 6
3/15,
P(X 1,Y 1) C11C12 / C62 2 /15,
联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
则称 (xi , y j ), i, j 1,2,
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布
也简称 概率分布 或 分布律 解析表示法
性质: pij 0, i, j 1,2,
F(x, y)
pij , x , y .
第八讲 二维离散随机变量的概率
分布
教学目的： 1.讲解二维离散随机变量的概率分布 （联合、边缘）； 2. 讲解二维随机变量的分布函数 (联合、边缘；离散→连续） ; 3. 讲解随机变量的独立性.
教学内容：§ 2.9 ～ 2.11(与书上不 同)
多 维 分 布
在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述.
讨论： 二维r.v.作为一个整体的概率特性 其中每一个r.v.的概率特性与整体 的概率特性之间的关系
二维离散型 r.v.及其概率特性
定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值
为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及 其与每个 r.v.之间的关系常用其联合 概率分布和边缘概率分布
y (x, y)
x
(, )
联合分布函数的性质
y
① 0 F(x, y) 1
F(, ) 1
y
F(, ) 0
(,)
(,)
x
(x, y)
x
F(x, ) 0
F(, y) 0
y
x
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y)
3 P(X 0,Y 1) 0
(X, Y) 的联合分布律及边缘分布为pij X Y0 Nhomakorabea1
p• j
-1
0
1
1
3
0
0
pi•
1 3
1
1
3
3
1
0
3
1
1
3
3
2
3
二维随机变量的联合分布函数
定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对 实数( x , y ), 事件
(X x) (Y y) (记为X x,Y y )
的概率 PX x,Y y 定义了一个二元
实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即
F(x, y) PX x,Y y
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.
联合分布律 及边缘分布律
Y X x1 xi
p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1• pi
1
•
pij P(X xi , Y y j ) 的求法
⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式
pij P(X xi)P(Y yj X xi) .
③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
④ 对于任意 a < b , c < d
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
事实上
d
F (b,d) – F (b,c)
P(X 1,Y 2) 0.
故联合分布律与边缘分布律为
XY 0 1
p•
j
01
2
pi
•
3/15 6/15 1/15 2/3
3/15 2/15 0 1/3
6/15 8/15 1/15 1
例2 二元两点分布
pij X
1
Y
1
p
0
p• j
0p
0
0
pi•
p
q1
p + q = 1 ，0 < p < 1
例3 设 X的分布为
c
– F (a,d) + F (a,c)
Pa
X
b, c
Y
d
a
0
b
注意 对于二维 r.v.
PX a,Y c 1 F(a,c)
PX a,Y c
(a,+) (+,+)
P(a X ,c Y ) y
1 F(,c)
c (a,c) (+,c)
F(a,) F(a,c)
a
x
二维离散 r.v.的联合分布函数
pij 1
i1 j1
( X ,Y ) 的联合分布律表
X Y
y1
x1
p11
xi
pi1
yj
p1 j
pij
二维离散 r.v.的边缘分布律
记作
P(X xi ) pij pi•, i 1,2,
j1
记作
P(Y y j ) pij p•j , j 1,2,
i1
由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.
P(X 1) P(X 0) P(X 1) 1 3
Y X 2, 求(X, Y) 的联合分布律及边缘分布.
P(X 1,Y 0) P(X 1)P(Y 0 X 1) 0 P(X 1,Y 1) P(X 1)P(Y 1 X 1) 1 P(X 0,Y 0) P(X 0)P(Y 0 X 0) 1 3
例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就 需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布.
二维随机变量及其分布
定义 设为随机试验的样本空间，
一定法则 X (),Y () R2
则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量