概率论与数理统计第八讲
概率论与数理统计
第八讲
本文件可从网址 /cgibin/mydocument/share_list.cgi?uid=math 下载，此外，网址 / 上还有大量的习题解
独立试验序列概型
关于上一次作业的问题 请注意全概率公式和贝叶斯公式的题型, 将试 验可看成分为两步做, 如果要求第二步某事 件的概率, 就用全概率公式, 如果是在第步 二某事件发生条件下第一步某事件的概率, 就用贝叶斯公式. 但是有的同学根本就没有仔细看全概率公式, 因此写成: P(B)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)+…
解 设B为事件至少有两件一级品. 此为n=10重 贝努里试验, 事件A(抽到一级品)的概率p=0.6
P( B) 1 P( B ) 1 p10 (0) p10 (1) 1 0.4 10 0.6 0.4 0.998
10 9
1999年MBA试题 设A1,A2,A3为3个独立事件, 且P(Ak)=p (k=1,2,3, p>0). 则3个事件不全发 生的概率是 (A) (1p)3 (B) 3(1p) (C) (1p)3+3p(1p) (D) 3p(1p)2+3p(1p) (E) 3p(1p)3 解 此题为3重贝努里试验, 设事件B为3个事件 不全发生, 则B的逆为3个事件全发生的概率 为p3, 因此P(B)=1p3, 而上面的选项(C)为 (1p)3+3p(1p)=1p3 满足要求, 因此应选(C)
2
2
P( B3 ) P( A B C ) 0.2
3
总结写成P( Bk ) C3k 0.2 k 0.83 k , (k 0,1,2,3)
例4 一批产品的废品率为0.1, 每次取一个, 观 察后放回去, 下次再取一个, 共重复3次, 求这3 次中恰有0,1,2,3次取到废品的概率. 解 用事件A,B,C分别表示第1,2,3次取到废品 的事件, 则A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1. 将A,B,C的所有最小 项列出来为
解 此为多选题, 正确的答案为(b),(c),(d). 这是 因为(a)为恰有两个班超额完成的最小项之和, 而(b)为至少两个班的典型表示式, (c)为最小 项表示, 而(d)表示至少两个班不超额的逆
独立试验概型 在概率论中, 把在同样条件下重复进行试验的 数学模型称为独立试验序列概型. 进行n次试验, 若任何一次试验中各结果发生 的可能性都不受其它各次试验结果发生情 况的影响, 则称这n次试验是相互独立的. 而多个独立试验可以在多个场景同时进行, 也 可以按时间顺序进行.
书上补充习题1(226页) 某工厂每天分3个班生 产, 事件Ai表示第i个班超额完成生产任务 (i=1,2,3)). 则至少有两个班超额完成任务可以 表示为 (a) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (b) A1 A2 A1 A3 A2 A3
(c) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (d ) A1 A2 A1 A3 A2 A3
n
假设C为至多发生一次的事件, 则 P(C ) pn (0) pn (1) (1 p) np (1 p)
n n 1
1988年理工科考研题 设三次独立试验中, 事 件A出现的概率相等, 若已知A至少出现一次 的概率等于19/27, 则事件A在一次试验中出 现的概率为_________ 这是贝努里概型试验, 试验次数n 3为已知, 但每次试验A出现的概率p未知, 假设事件B 为3次试验A至少出现一次, 则 19 3 P( B) 1 P( B ) 1 (1 p) 27 8 2 1 3 (1 p) , 开立方得 (1 p), 解得p 27 3 3
事件运算的最小项 任给n个事件A1,A2,…,An, 取这n个事件中的每 一个,然后将其中的一些取逆, 再将这n个事 件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事 件, 称为这n个事件的一个最小项. 给定n个 事件可产生多个不同的最小项, 各个最小项 之间是互不相容的. 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事件, 可 以由若干个最小项的并构成.因此要计算这 样的事件的概率, 只需要按加法法则将所包 含的各个最小项的概率相加即可.
A B C , A B C , A BC , A BC AB C , AB C , ABC , ABC
假设B0,B1,B2,B3为有0,1,2,3台机床需要照料 的事件,则根据所列出的最小项可得
A B C , A B C , A BC , A BC , AB C , AB C , ABC , ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
A B C , A B C , A BC , A BC AB C , AB C , ABC , ABC
假设B0,B1,B2,B3为恰抽到0,1,2,3个废品的事 件, 则根据所列出的最小项可得
A B C , A B C , A BC , A BC , AB C , AB C , ABC , ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
例, 二事件A与B可组成四个最小项为
A B , A B, AB , AB 由A, B产生的任何逻辑式式都可以 由这四个最小项中的几个的并产生 如A AB AB A B AB AB A B A B A B A B A B AB AB
A B A B AB AB
3
P( B0 ) P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) 0.8 P( B1 ) P ( A BC AB C ABC )
P( A BC ) P( AB C ) P( ABC ) 3 0.2 0.8 P( B2 ) P( A B C A BC AB C ) 3 0.2 0.8
1987年理工科考研题 设在一次试验中A发 生的概率为p, 现进行n次独立试验, 则事件A 至少发生一次的概率为___; 而事件A至多发 生一次的概率为_____. 解 假设B为至少发生一次的事件,由贝努里
概型的概率计算公式, P( B ) (1 p) ,
n
P( B) 1 P( B ) 1 (1 p )
1999年MBA试题 进行一系列独立试验, 每 次试验成功的概率为p, 则在成功2次之前已 经失败了3次的概率为( ) (A) 4p2(1p)3 (B) 4p(1p)3 (C)10p2(1p)3 (D) p2(1p)3 (E) (1p)3
解 成功2次之前已经失败了3次的事件一定已 经进行了5次试验, 第5次是成功的, 且前4次 一定还有一次成功. 前4次有一次成功的概 率是p4(1)=4p(1p)3, 则再考虑第5次的成功, 成功2次前失败3次的概率为4p2(1p)3 因此, 应填选项(A)
3
P( B0 ) P( A B C ) P( A ) P( B ) P( C ) 0.9 P( B1 ) P( AB C A BC A B C )
P ( AB C ) P( A BC ) P( A B C ) 3 0.1 0.9 P( B2 ) P( ABC AB C A BC ) 3 0.1 0.9
Bk由C 个最小项构成, 相当于所有n位二进制数中
k n
有k个1的数的个数.而且每个最小项的概率都一 样, 均为p k (1 p) n k p k q n k , 其中q 1 p.因此 P( Bk ) C p q
k n k nk
(k 0,1,2,..., n)
上面例子的共同特点是 在每次试验中某事件A或者发生或者不发生, 假设每次试验的结果与其它各次试验结果 无关, 即在每次试验中A出现的概率都是 p(0<p<1), 这样的一系列重复试验(比如n次), 称为n重贝努里试验. 因此, n重贝努里试验共有两个关键参数, 一个 是每次试验A发生的概率, 一个是试验次数n. 注意A并非n重试验的样本空间的事件, 它只 是一次试验中的事件, 而在n重试验中, 它转 化为A1,A2,…,An
请提问
作业 习题一第29页开始
第37,38,40题
例1 甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照 管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率均 为0.8. 求恰有0部,1部,2部,3部机床需要工人照 管的概率. 解 用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床 甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.8. 将ABC的所有最小 项列出来为
而正确的全概率公式是这样 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+… 因此, 在假设事件中, 除了划分的假设A1,A2,… 外, 只假设一个最终的事件. 当然, 因为全概率公式是来自 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+… 因此也有人这样假设事件, 即假设D1=A1B1, D2=A2B2,… P(B)=P(D1)+P(D2)+… 但这种作法习惯不好.
这8个最小项可以和所有的3位二进制数一 一对应 A B C 000
A B C 001 A BC 010 A BC AB C AB C ABC ABC 011 100 101 110 111
一般地 n个事件A1,A2,…,An共可组成2n个最小项, 每个 最小项可以和一个n位二进制数对应, 如果 此二进制数的第i位为0, 对应在此最小项中 的Ai取逆, 而第j位为1对应在此最小项中的 Aj不取逆.
n k 0 k n k n nk
用贝努里定理中的p和q 1 p代入上式 可得 ( p q) C p q
n k 0 k n k n nk
1
n
可见事件A发生k次的概率为( p q ) 展开后的p的k次项.
第八讲
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独立试验序列概型
关于上一次作业的问题 请注意全概率公式和贝叶斯公式的题型, 将试 验可看成分为两步做, 如果要求第二步某事 件的概率, 就用全概率公式, 如果是在第步 二某事件发生条件下第一步某事件的概率, 就用贝叶斯公式. 但是有的同学根本就没有仔细看全概率公式, 因此写成: P(B)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)+…
解 设B为事件至少有两件一级品. 此为n=10重 贝努里试验, 事件A(抽到一级品)的概率p=0.6
P( B) 1 P( B ) 1 p10 (0) p10 (1) 1 0.4 10 0.6 0.4 0.998
10 9
1999年MBA试题 设A1,A2,A3为3个独立事件, 且P(Ak)=p (k=1,2,3, p>0). 则3个事件不全发 生的概率是 (A) (1p)3 (B) 3(1p) (C) (1p)3+3p(1p) (D) 3p(1p)2+3p(1p) (E) 3p(1p)3 解 此题为3重贝努里试验, 设事件B为3个事件 不全发生, 则B的逆为3个事件全发生的概率 为p3, 因此P(B)=1p3, 而上面的选项(C)为 (1p)3+3p(1p)=1p3 满足要求, 因此应选(C)
2
2
P( B3 ) P( A B C ) 0.2
3
总结写成P( Bk ) C3k 0.2 k 0.83 k , (k 0,1,2,3)
例4 一批产品的废品率为0.1, 每次取一个, 观 察后放回去, 下次再取一个, 共重复3次, 求这3 次中恰有0,1,2,3次取到废品的概率. 解 用事件A,B,C分别表示第1,2,3次取到废品 的事件, 则A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1. 将A,B,C的所有最小 项列出来为
解 此为多选题, 正确的答案为(b),(c),(d). 这是 因为(a)为恰有两个班超额完成的最小项之和, 而(b)为至少两个班的典型表示式, (c)为最小 项表示, 而(d)表示至少两个班不超额的逆
独立试验概型 在概率论中, 把在同样条件下重复进行试验的 数学模型称为独立试验序列概型. 进行n次试验, 若任何一次试验中各结果发生 的可能性都不受其它各次试验结果发生情 况的影响, 则称这n次试验是相互独立的. 而多个独立试验可以在多个场景同时进行, 也 可以按时间顺序进行.
书上补充习题1(226页) 某工厂每天分3个班生 产, 事件Ai表示第i个班超额完成生产任务 (i=1,2,3)). 则至少有两个班超额完成任务可以 表示为 (a) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (b) A1 A2 A1 A3 A2 A3
(c) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (d ) A1 A2 A1 A3 A2 A3
n
假设C为至多发生一次的事件, 则 P(C ) pn (0) pn (1) (1 p) np (1 p)
n n 1
1988年理工科考研题 设三次独立试验中, 事 件A出现的概率相等, 若已知A至少出现一次 的概率等于19/27, 则事件A在一次试验中出 现的概率为_________ 这是贝努里概型试验, 试验次数n 3为已知, 但每次试验A出现的概率p未知, 假设事件B 为3次试验A至少出现一次, 则 19 3 P( B) 1 P( B ) 1 (1 p) 27 8 2 1 3 (1 p) , 开立方得 (1 p), 解得p 27 3 3
事件运算的最小项 任给n个事件A1,A2,…,An, 取这n个事件中的每 一个,然后将其中的一些取逆, 再将这n个事 件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事 件, 称为这n个事件的一个最小项. 给定n个 事件可产生多个不同的最小项, 各个最小项 之间是互不相容的. 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事件, 可 以由若干个最小项的并构成.因此要计算这 样的事件的概率, 只需要按加法法则将所包 含的各个最小项的概率相加即可.
A B C , A B C , A BC , A BC AB C , AB C , ABC , ABC
假设B0,B1,B2,B3为有0,1,2,3台机床需要照料 的事件,则根据所列出的最小项可得
A B C , A B C , A BC , A BC , AB C , AB C , ABC , ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
A B C , A B C , A BC , A BC AB C , AB C , ABC , ABC
假设B0,B1,B2,B3为恰抽到0,1,2,3个废品的事 件, 则根据所列出的最小项可得
A B C , A B C , A BC , A BC , AB C , AB C , ABC , ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
例, 二事件A与B可组成四个最小项为
A B , A B, AB , AB 由A, B产生的任何逻辑式式都可以 由这四个最小项中的几个的并产生 如A AB AB A B AB AB A B A B A B A B A B AB AB
A B A B AB AB
3
P( B0 ) P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) 0.8 P( B1 ) P ( A BC AB C ABC )
P( A BC ) P( AB C ) P( ABC ) 3 0.2 0.8 P( B2 ) P( A B C A BC AB C ) 3 0.2 0.8
1987年理工科考研题 设在一次试验中A发 生的概率为p, 现进行n次独立试验, 则事件A 至少发生一次的概率为___; 而事件A至多发 生一次的概率为_____. 解 假设B为至少发生一次的事件,由贝努里
概型的概率计算公式, P( B ) (1 p) ,
n
P( B) 1 P( B ) 1 (1 p )
1999年MBA试题 进行一系列独立试验, 每 次试验成功的概率为p, 则在成功2次之前已 经失败了3次的概率为( ) (A) 4p2(1p)3 (B) 4p(1p)3 (C)10p2(1p)3 (D) p2(1p)3 (E) (1p)3
解 成功2次之前已经失败了3次的事件一定已 经进行了5次试验, 第5次是成功的, 且前4次 一定还有一次成功. 前4次有一次成功的概 率是p4(1)=4p(1p)3, 则再考虑第5次的成功, 成功2次前失败3次的概率为4p2(1p)3 因此, 应填选项(A)
3
P( B0 ) P( A B C ) P( A ) P( B ) P( C ) 0.9 P( B1 ) P( AB C A BC A B C )
P ( AB C ) P( A BC ) P( A B C ) 3 0.1 0.9 P( B2 ) P( ABC AB C A BC ) 3 0.1 0.9
Bk由C 个最小项构成, 相当于所有n位二进制数中
k n
有k个1的数的个数.而且每个最小项的概率都一 样, 均为p k (1 p) n k p k q n k , 其中q 1 p.因此 P( Bk ) C p q
k n k nk
(k 0,1,2,..., n)
上面例子的共同特点是 在每次试验中某事件A或者发生或者不发生, 假设每次试验的结果与其它各次试验结果 无关, 即在每次试验中A出现的概率都是 p(0<p<1), 这样的一系列重复试验(比如n次), 称为n重贝努里试验. 因此, n重贝努里试验共有两个关键参数, 一个 是每次试验A发生的概率, 一个是试验次数n. 注意A并非n重试验的样本空间的事件, 它只 是一次试验中的事件, 而在n重试验中, 它转 化为A1,A2,…,An
请提问
作业 习题一第29页开始
第37,38,40题
例1 甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照 管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率均 为0.8. 求恰有0部,1部,2部,3部机床需要工人照 管的概率. 解 用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床 甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.8. 将ABC的所有最小 项列出来为
而正确的全概率公式是这样 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+… 因此, 在假设事件中, 除了划分的假设A1,A2,… 外, 只假设一个最终的事件. 当然, 因为全概率公式是来自 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+… 因此也有人这样假设事件, 即假设D1=A1B1, D2=A2B2,… P(B)=P(D1)+P(D2)+… 但这种作法习惯不好.
这8个最小项可以和所有的3位二进制数一 一对应 A B C 000
A B C 001 A BC 010 A BC AB C AB C ABC ABC 011 100 101 110 111
一般地 n个事件A1,A2,…,An共可组成2n个最小项, 每个 最小项可以和一个n位二进制数对应, 如果 此二进制数的第i位为0, 对应在此最小项中 的Ai取逆, 而第j位为1对应在此最小项中的 Aj不取逆.
n k 0 k n k n nk
用贝努里定理中的p和q 1 p代入上式 可得 ( p q) C p q
n k 0 k n k n nk
1
n
可见事件A发生k次的概率为( p q ) 展开后的p的k次项.
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北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第8章
数学期望和方差是两个重要的数字特征，分别表示单个随机变量的平均值和离散程度；而对于多维随机变量，不仅能够确定边缘分布，还包含各分量之间关系的信息.刻划两个r.v.间相互关系的一个重要数字特征：协方差和相关系数若DX 、DY 存在，则有D (X ±Y )=DX +DY ±2E [(X−EX )(Y−EY )]这说明E [(X −EX )(Y −EY )]表达了X 与Y 之间的某种关系.且当X 和Y 独立时，有D (X ±Y )=DX +DY即：若X 和Y 独立，从而有结论：若E [(X −EX )(Y −EY )]≠0，则X 和Y 不独立.则有E [(X−EX )(Y−EY )]=0协方差1.定义设：二维随机变量(X ,Y )，它的分量的数学期望为E (X )和E (Y )，若E [(X −E (X ))(Y −E (Y ))]存在，则称它为X ,Y 的协方差，记为Cov (X ,Y )，即一、协方差（Covariance ）()(,)(())(())Cov X Y E X E X Y E Y =--协方差为正说明同向变化程度更高;协方差为负说明反向变化程度更高2.计算（1）若二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布律为P (X =x i ,Y =y j )=p ij i,j =1,2,…（2）若二维连续型随机变量(X ,Y )的密度函数为f (x ,y )且Cov (X,Y )存在，则E [g (X ,Y )] E [g (X ,Y )] (,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--11(())(())i j iji j x E X y E Y p ∞∞===--∑∑(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--(())(())(,)x E X y E Y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰可见，若X 与Y 独立，Cov (X ,Y )=0.Cov (X ,Y )=E {[X -E (X )][Y -E (Y )]}=E (XY )-E (X )E (Y )-E (Y )E (X )+E (X )E (Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=E {XY -XE (Y )-YE (X )+E (X )E (Y )}（3）Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )证明：（5）Cov (X 1+X 2,Y )=Cov (X 1,Y )+Cov (X 2,Y )（2）Cov (X ,Y )=Cov (Y ,X )3.简单性质（4）Cov (aX ,bY )=abCov (X ,Y )a ,b 是常数（6）若X ,Y 的协方差Cov (X ,Y )存在，则E (XY )=E (X )E (Y )+Cov (X ,Y )（3）Cov (X ,X )=D (X )（1）Cov (X ,a )=0若X 1,X 2,…,X n 两两独立，则有D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov (X ,Y )4.随机变量和的方差与协方差的关系11()()n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2(,)n ni i i j i j i i D X D X Cov X X <===+∑∑∑∑例1.设：随机变量X 和Y 的联合概率分布为求X 和Y 的协方差.解：,()[()](,)i j iji j E Z E g X,Y g x y p ==∑YX−1 0 1 010.06 0.18 0.160.080.32 0.20Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )E (XY )=0×(−1)×0.06+0×0×0.18+0×1×0.16+1×(−1)×0.08+1×0×0.32+1×1×0.20=0.12另外，X 和Y 的边缘分布律分别为所以YX−1 0 1 010.06 0.18 0.160.080.32 0.20X 0 1P 0.4 0.6Y−1 0 1 P 0.14 0.5 0.36EY =−1×0.14+0×0.5+1×0.36=0.22EX =0×0.4+1×0.6=0.6E (XY )=0.12Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=0.12-0.6×0.22=-0.012例2.设：(X,Y)在圆域D={(x,y):x2+y2≤r2(r>0)}上服从均匀分布，求Cov(X,Y).解：易知(X,Y)的联合概率密度为所以22222221,(,)0,x y r f x y rx y rπ⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩22221x y ry dxdyrπ+≤=⋅⎰⎰=22221x y rx dxdyrπ+≤=⋅⎰⎰=(,)EX xf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)EY yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰所以E (X )=E (Y )=0Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=0此题表明，Cov (X ,Y )等于0,但X 与Y 不独立，.22222221, (,)0,x y r f x y r x y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩(,)EXY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22221x y r xy dxdy r π+≤=⋅⎰⎰0=协方差衡量了X和Y之间同向或反向的变化趋势。
概率论与数理统计第8章(公共数学版)
则犯弃真错误的概率为
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
P (弃真)
P(拒 绝H0
|
H
为
0
真)
P(
A
|
H
为
0
真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著. 故在检验中,也称为显著性水平
20
2.第二类错误:纳伪错误
如
果
原
假
设H
是
0
不
正
确
的, 但
却
错
误
地
接
受
了Hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误
统计量观测值 u 57.9 53.6 2.27 6 10
该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则 P12(1) C112 p1(1 p)11 0.306 0.01
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记 为H0 称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H1 一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生. 如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面”
（三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计
量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域.
概率论与数理统计第8章
实验目的
通过实际数据验证概率论与数理统计中的理论 和方法，提高对理论知识的理解和应用能力。
01
1. 数据收集
从相关领域获取实际数据，确保数据 质量和代表性。
03
3. 理论应用
根据实验目的选择合适的理论和方法，进行 数据分析和解读。
05
02
实验方法
收集相关领域的实际数据，运用概率论与数 理统计中的理论和方法进行分析，如概率分 布、参数估计、假设检验等。
无偏性、有效性和一致性。
有效性
在所有无偏估计量中，有效性 是指方差最小的估计量。
点估计
用样本统计量来估计未知参数 的过程。
无偏性
估计量的期望值等于被估计的 参数值。
一致性
随着样本容量的增加，估计量 的值应趋近于被估计的参数值。
区间估计
区间估计
根据样本数据推断未知参数的可能取值范围。
置信区间和置信水平
本章内容主要包括贝叶斯推断的基本概念、贝叶斯推断的数学基础、贝叶斯推断 在参数估计和假设检验中的应用，以及贝叶斯推断的优缺点和与其他统计方法的 比较。
学习目标
01
掌握贝叶斯推断的基本原理和方法，理解贝叶斯推 断的数学基础。
02
学会使用贝叶斯方法进行参数估计和假设检验，了 解贝叶斯推断在实践中的应用。
案例总结
总结案例分析的成果，提炼出具有指导意义的结论和建议，为实际工 作提供参考和借鉴。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
置信区间是参数可能取值的范围，置信水平是该区间包含参数真 值的概率。
区间估计的步骤
确定置信水平、构造合适的统计量、计算置信区间。
假设检验的基本概念与步骤
假设检验
《概率论与数理统计》第八章 讲义
k i 1 i
在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方 和的自由度，常记为f，如Q的自由度为fQ=k1。 自由度是偏差平方和的一个重要参数。
Page 19
Chapter 8 方差分析与回归分析
四、总平方和分解公式
各yij间总的差异大小可用总偏差平方和 r m
ST ( yij y )2
Page 11
Chapter 8 方差分析与回归分析
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , i 1, 2,..., r , j 1, 2,..., m （8.1.3） 2 诸 相互独立，且都服从 N (0, ) ij
总均值与效应:
称诸
1 1 r i i 的平均 r (1 ... r ) r i 1
（8.1.19）
一般可将计算过程列表进行。
Page 27
Chapter 8 方差分析与回归分析
例8.1.2 采用例8.1.1的数据，将原始数据减去1000， 列表给出计算过程： 表8.1.4 例8.1.2的计算表
水 平 A1 A2 A3 73 107 93 数据（原始数据-1000） 9 92 29 60 1 2 90 22 12 74 32 9 122 29 28 1 48 Ti 194 585 354 1133 Ti
Page 6
Chapter 8 方差分析与回归分析
8.1.2 单因子方差分析的统计模型
在例8.1.1中我们只考察了一个因子，称其为 单因子试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其 有r个水平，记为A1, A2,…, Ar，在每一水平下 考察的指标可以看成一个总体 ，现有 r 个水 平，故有 r 个总体， 假定：
在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方 和的自由度，常记为f，如Q的自由度为fQ=k1。 自由度是偏差平方和的一个重要参数。
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Chapter 8 方差分析与回归分析
四、总平方和分解公式
各yij间总的差异大小可用总偏差平方和 r m
ST ( yij y )2
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Chapter 8 方差分析与回归分析
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , i 1, 2,..., r , j 1, 2,..., m （8.1.3） 2 诸 相互独立，且都服从 N (0, ) ij
总均值与效应:
称诸
1 1 r i i 的平均 r (1 ... r ) r i 1
（8.1.19）
一般可将计算过程列表进行。
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Chapter 8 方差分析与回归分析
例8.1.2 采用例8.1.1的数据，将原始数据减去1000， 列表给出计算过程： 表8.1.4 例8.1.2的计算表
水 平 A1 A2 A3 73 107 93 数据（原始数据-1000） 9 92 29 60 1 2 90 22 12 74 32 9 122 29 28 1 48 Ti 194 585 354 1133 Ti
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Chapter 8 方差分析与回归分析
8.1.2 单因子方差分析的统计模型
在例8.1.1中我们只考察了一个因子，称其为 单因子试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其 有r个水平，记为A1, A2,…, Ar，在每一水平下 考察的指标可以看成一个总体 ，现有 r 个水 平，故有 r 个总体， 假定：
概率论与数理统计第八讲
[(2
z)x
1
z 1
x2]
1
( z 2
4z
3)
20 2
2 z 3时 ，z 2 x 1;即 ：
1
1
fz (z)
z2 f X ( x) fY (z x)dx
(2 z x)dx
z2
1 z2 3z 9
2
2
第八讲 二维变量函数的分布与期望
因 为1 z 2的 区 域 有2块 ， 根 据fZ (z)
z
1 2
z2
z2
3z
3 2
综合以上几步，得：
f
Z
(z)
1 2
z2 z2
,
3z
3 2
,
0 z 1 1 z2
1 2
z
2 0,
3z
9 2
,
2 z 3 其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
例8-1-2（07数学一，11分）
已 知(
X ,Y
)的 概 率 密 度 为f
( x,
y)
2
x 0,
z 1
z1
2z z2
即：fZ (z) (2 z)2
0,
0 z 1 1 z2
其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
2. 平方和的分布
设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求
Z X 2 Y 2 的分布。
考虑 Z 的分布函数：
FZ z PZ z PX 2 Y 2 z
第八讲 二维变量函数的分布与期望
FY1 ( y) P(Y1 y) P[min(X11, X12 , X13 ) y] 由 最 小 大 于 号 ：FY1 ( y) 1 P[min(X11, X12 , X13 ) y]
8讲独立试验序列概型
2010-7-6 16
伯努利定理) 定理 (伯努利定理 伯努利定理 设一次试验中事件A发生的概率 设一次试验中事件 发生的概率 重伯努利试验中, 为p(0<p<1), 则n重伯努利试验中 事 重伯努利试验中 恰好发生k次的概率用 表示, 件A恰好发生 次的概率用 n(k)表示 恰好发生 次的概率用p 表示 则
概率论与数理统计
第8讲 讲
2010-7-6
1
独立试验序列概型
2010-7-6
2
事件运算的最小项 任给n个事件 个事件A 取这n个事件 任给 个事件 1,A2,…,An, 取这 个事件 中的每一个,然后将其中的一些取逆 然后将其中的一些取逆, 中的每一个 然后将其中的一些取逆 则由 A1,A2,…,An产生的任何逻辑式都可由这 个 产生的任何逻辑式都可由这n个 事件中取逆的和不取逆的事件相交再相并 得到, 且称它们为这n个事件的一个最小项. 个事件的一个最小项 得到 且称它们为这 个事件的一个最小项 给定n个事件可产生多个不同的最小项 个事件可产生多个不同的最小项, 给定 个事件可产生多个不同的最小项 各 个最小项之间是互不相容的. 个最小项之间是互不相容的 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事 而这 个事件能够逻辑上构成的任何事 可以由若干个最小项的并构成. 件, 可以由若干个最小项的并构成
P(B0 ) = P( ABC) = P( A)P(B)P(C) = 0.83 P(B ) = P( ABC + ABC + ABC ) 1 = P( ABC) + P( ABC) + P( ABC ) = 3×0.2×0.82 P(B2 ) = P( A BC + ABC + AB C ) = 3×0.2 ×0.8
伯努利定理) 定理 (伯努利定理 伯努利定理 设一次试验中事件A发生的概率 设一次试验中事件 发生的概率 重伯努利试验中, 为p(0<p<1), 则n重伯努利试验中 事 重伯努利试验中 恰好发生k次的概率用 表示, 件A恰好发生 次的概率用 n(k)表示 恰好发生 次的概率用p 表示 则
概率论与数理统计
第8讲 讲
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1
独立试验序列概型
2010-7-6
2
事件运算的最小项 任给n个事件 个事件A 取这n个事件 任给 个事件 1,A2,…,An, 取这 个事件 中的每一个,然后将其中的一些取逆 然后将其中的一些取逆, 中的每一个 然后将其中的一些取逆 则由 A1,A2,…,An产生的任何逻辑式都可由这 个 产生的任何逻辑式都可由这n个 事件中取逆的和不取逆的事件相交再相并 得到, 且称它们为这n个事件的一个最小项. 个事件的一个最小项 得到 且称它们为这 个事件的一个最小项 给定n个事件可产生多个不同的最小项 个事件可产生多个不同的最小项, 给定 个事件可产生多个不同的最小项 各 个最小项之间是互不相容的. 个最小项之间是互不相容的 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事 而这 个事件能够逻辑上构成的任何事 可以由若干个最小项的并构成. 件, 可以由若干个最小项的并构成
P(B0 ) = P( ABC) = P( A)P(B)P(C) = 0.83 P(B ) = P( ABC + ABC + ABC ) 1 = P( ABC) + P( ABC) + P( ABC ) = 3×0.2×0.82 P(B2 ) = P( A BC + ABC + AB C ) = 3×0.2 ×0.8
概率论与数理统计 (姚孟臣) 课件 第八章
中国人民大学出版社
设在一项试验中,所考察的因素只有一个,即只有一 个因素在改变,而其他因素保持不变,则称其为单因 素试验;而多于一个因素在改变的试验称为多因素 试验. 因素可分为两类: 可控因素,如反应温度、原料配量、溶液浓度等; 不可控因素,如测量误差、气象条件等. 以下我们所说的因素都是指可控因素,称因素所处 的各种状态为该因素的各个水平. 试验中变化的因素用A,B,C,…表示, 因素A的p个不同水平分别用A1,A2,…,Ap表示.
2
ST
( Xij X ) ,(4)
j1 i1
1 s m
X n j1 i1 X ij , (5)
X 是数据的总平均.ST 能反映全部试验数据之间的差异,故又
称总变差.再记水平 Aj 下的样本平均值为 X j ,即
H0 : 1 2 H1 : 1, 2 ,
S
不全S相, 等，(2)
（2）作出未知参数1, 2, , s及 2的估计.
中国人民大学出版社
（一）
数学模型
为讨论方便,我们记均值的总平均为 ,且有
1 n
s
m j
j 1
m n
s
j
j 1
1 s
s
j (3)
j 1
s
s
再令a j j , j 1, 2, , s,易见 aj j s 0,a j 表示
中国人民大学出版社
例1 设有三台机器,用来生产厚度为1/4厘米的铝 合金板. 今要了解各机器产品的平均厚度是否相同, 取样测量精确至千分之一厘米,得结果如表8—1所 示.
表8—1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
中国人民大学出版社
机器Ⅱ 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
设在一项试验中,所考察的因素只有一个,即只有一 个因素在改变,而其他因素保持不变,则称其为单因 素试验;而多于一个因素在改变的试验称为多因素 试验. 因素可分为两类: 可控因素,如反应温度、原料配量、溶液浓度等; 不可控因素,如测量误差、气象条件等. 以下我们所说的因素都是指可控因素,称因素所处 的各种状态为该因素的各个水平. 试验中变化的因素用A,B,C,…表示, 因素A的p个不同水平分别用A1,A2,…,Ap表示.
2
ST
( Xij X ) ,(4)
j1 i1
1 s m
X n j1 i1 X ij , (5)
X 是数据的总平均.ST 能反映全部试验数据之间的差异,故又
称总变差.再记水平 Aj 下的样本平均值为 X j ,即
H0 : 1 2 H1 : 1, 2 ,
S
不全S相, 等，(2)
（2）作出未知参数1, 2, , s及 2的估计.
中国人民大学出版社
（一）
数学模型
为讨论方便,我们记均值的总平均为 ,且有
1 n
s
m j
j 1
m n
s
j
j 1
1 s
s
j (3)
j 1
s
s
再令a j j , j 1, 2, , s,易见 aj j s 0,a j 表示
中国人民大学出版社
例1 设有三台机器,用来生产厚度为1/4厘米的铝 合金板. 今要了解各机器产品的平均厚度是否相同, 取样测量精确至千分之一厘米,得结果如表8—1所 示.
表8—1 铝合金板的厚度
机器Ⅰ 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
中国人民大学出版社
机器Ⅱ 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
概率论与数理统计第8章
Fn (x1, x2,...,xn;t1,t2,...,tn ) = Fn (xt j1 , xt j2 ,...,xt jn ;t j1 , t j2 ,...,t jn )
(2)相容性 对m<n，有
Fm(x1, x2,...,xm;t1,t2,...,tm ) = Fn (x1, x2,...,xm,,...;t1,t2,...,tn )
X (t) =
t
当 = T ,t = 1,2,3,...
2. 例8.1.1的随机相位正弦波
X (t) = a cos(bt + )
3.某路公交车的客流情况{(X(t), Y(t));t0<t< t1}, (X(t), Y(t))表示t时刻起点与终点站的候车人数.
§8.2 随机过程的分布函数和数字特征
+
)]
2
= a2 cos2 (bt + x)
1
dx
0
2
= a2 2 2 cos(2bt + 2x) +1dx = a2
2 0
2
2
DX (t) =
X2
(t )
=
a2 2
设X(t1)和X(t2)是随机过程在任意二个时刻t1和t2 时的状态. 定义8.2.7 称X(t1)和X(t2)的二阶混合原点矩
RX (t1,t2 ) = E[X (t1)X (t2 )]
X
(1)
=
1
2
=H
,
=T
于是,X(0.5),X(1)的概率分布分别为
X (0.5) 0
1
Pk
1
1
22
X (1) -1
2
Pk
1
1
(2)相容性 对m<n，有
Fm(x1, x2,...,xm;t1,t2,...,tm ) = Fn (x1, x2,...,xm,,...;t1,t2,...,tn )
X (t) =
t
当 = T ,t = 1,2,3,...
2. 例8.1.1的随机相位正弦波
X (t) = a cos(bt + )
3.某路公交车的客流情况{(X(t), Y(t));t0<t< t1}, (X(t), Y(t))表示t时刻起点与终点站的候车人数.
§8.2 随机过程的分布函数和数字特征
+
)]
2
= a2 cos2 (bt + x)
1
dx
0
2
= a2 2 2 cos(2bt + 2x) +1dx = a2
2 0
2
2
DX (t) =
X2
(t )
=
a2 2
设X(t1)和X(t2)是随机过程在任意二个时刻t1和t2 时的状态. 定义8.2.7 称X(t1)和X(t2)的二阶混合原点矩
RX (t1,t2 ) = E[X (t1)X (t2 )]
X
(1)
=
1
2
=H
,
=T
于是,X(0.5),X(1)的概率分布分别为
X (0.5) 0
1
Pk
1
1
22
X (1) -1
2
Pk
1
1
概率论与数理统计第八章
上式也可记为 PH0 {拒绝H 0}
本例中,上式应为
(x)
PH 0
X
/
0
n
u
2
/2
1
/2
u / 2 O
u / 2
x
b)第二类错误(取伪)
原假设H0事实上是假的,但是由于检验统计量的 观察值没有落在拒绝域中,从而导致接受H0.这时犯了 “取伪”的错误,即接受了错误的假设,这一类错误我
(2) 当H0不真时，作出接受H0的决策——称为第二 类错误(或称“存伪”错误)。
a)第一类错误(弃真)
原假设H0事实上是真的,但是由于检验统计量的观 察值落入拒绝域中,从而导致拒绝H0.这时犯了“弃真” 的错误,即将正确的假设摒弃了,将这一类错误称之为第
一类错误.记犯第一类错误的概率为 ,则有
PH0 {拒绝H0 H0为真}
们称之为第二类错误.记犯第二类错误的概率为 ，则
P｛接受H0 | H0为假}
或者 PH1 {接受H 0} P{接受H 0 | H1为真}
在本例中,
PH1
X
/
0
n
u
2
(x)
/2
1
/2
u / 2 O
u / 2
x
可以看出假设检验中包含的两个重要的思想：
1)反证法思想
为了确定是否要拒绝原假设H0,首先是假定H0真,看
当然也不能总认为正常，有了问题不能及时 发现，这也要造成损失.
如何处理这两者的关系，假设检验面对的就 是这种矛盾.
一般可以认为X1,…,X5是取自正态总体 N (, 2 ) 的样本，当生产比较稳定时， 2 是一个常数.
现在要检验的假设是：
H0： 0（ 0 = 355）
第8讲连续型随机变量-概率统计
通常我们都是给出连续型随机变量的概率密度函数 p(x)，我 们可以用积分的方法求出概率。 ⑴ 落入集合G的概率公式为：
（2）落入区间内的概率：
知道密度函数求 分布函数，一定 要画图。
（3）分布函数为：
例1 设连续型随机变量X具有概率密度
kx 1 p x 0 0 x 2, 其他.
(1)确定常数a, b
(2)求X的密度函数.
(3)求P(1 X 1), P( X 1).
2
解
(1)根据分布函数的性质有
π F lim (a b arctan x) a b 1, x 2 π F lim (a b arctan x) a b 0. x 2 1 1 此分布称为柯西分布 故 a ,b . 2 π (2) 由(1)知 1 1 F ( x) arctan x ( x ), 2 π 1 故 p( x) F ( x) π (1 x 2 ) ( x ).
(1)确定常数k
(2)求X的分布函数F x
(3)求P 3 X 5 2 2
解：(1) 由 p( x)dx 1, 得 (kx 1)dx 1 0
解得k 1/ 2
2
(2) X的分布函数为
x x0 0dt 0, 0 x x 1 1 2 F x p t dt 0dt ( t 1)dt x x, 0 x 2 0 2 4 2 x 1 0 0dt ( t 1)dt 0dt 1, x2 0 2 2 5/2 5 3 3 5 (3) P X = p( x)dx F F 2 2 3/2 2 2 1 0.9375 0.0625
（2）落入区间内的概率：
知道密度函数求 分布函数，一定 要画图。
（3）分布函数为：
例1 设连续型随机变量X具有概率密度
kx 1 p x 0 0 x 2, 其他.
(1)确定常数a, b
(2)求X的密度函数.
(3)求P(1 X 1), P( X 1).
2
解
(1)根据分布函数的性质有
π F lim (a b arctan x) a b 1, x 2 π F lim (a b arctan x) a b 0. x 2 1 1 此分布称为柯西分布 故 a ,b . 2 π (2) 由(1)知 1 1 F ( x) arctan x ( x ), 2 π 1 故 p( x) F ( x) π (1 x 2 ) ( x ).
(1)确定常数k
(2)求X的分布函数F x
(3)求P 3 X 5 2 2
解：(1) 由 p( x)dx 1, 得 (kx 1)dx 1 0
解得k 1/ 2
2
(2) X的分布函数为
x x0 0dt 0, 0 x x 1 1 2 F x p t dt 0dt ( t 1)dt x x, 0 x 2 0 2 4 2 x 1 0 0dt ( t 1)dt 0dt 1, x2 0 2 2 5/2 5 3 3 5 (3) P X = p( x)dx F F 2 2 3/2 2 2 1 0.9375 0.0625