矩阵的等价关系与分类
矩阵等价条件
矩阵等价条件1. 行等价：如果两个矩阵A和B从一个经过有限次的行变换可以相互转换，则它们是行等价的，记作A≌B。
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 &2 &3 \\0 & -3 & -6 \\-7 & -14 & -21\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{R}_{2}=-4 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2} \\\boldsymbol{R}_{3}=-6 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{3}\end{array}\right)$矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的秩和相同的行列式。
即，如果两个矩阵A和B满足A≌B，则它们具有相同的秩和相同的行列式。
反之亦然。
对于任意矩阵A，它可以使用一定的行变换或列变换，化为行最简形式或列最简形式。
行最简形式指的是一个矩阵在经过有限次行变换后，化为一个以0为分界线，上半部分全部为0的矩阵，下半部分为任意元素的矩阵。
列最简形式类似。
行最简形式和列最简形式都是唯一的，并且它们具有相同的秩和行列式。
由此可知，任意两个矩阵都可以通过一定的行变换和列变换得到它们的行最简形式或列最简形式。
在研究两个矩阵是否等价时，可以将它们化为最简形式进行比较。
矩阵等价是一种很重要的矩阵性质，它在矩阵运算和矩阵应用中有着广泛的应用。
矩阵等价在线性代数中有着重要的应用。
在解线性方程组时，通常会考虑对矩阵进行某种变换，使得它变为某种特殊的形式，从而更容易求解。
这种变换包括行变换、列变换和相似变换等。
各种矩阵
等价矩阵线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。
假设有两个的矩阵，记作A和B。
它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：的矩阵P以及的矩阵Q，使得相似关系有所不同。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。
但是，等价的矩阵不一定是相似的。
首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。
其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。
性质等价关系。
两个矩阵等价当且仅当：其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
它们有相同的秩。
参见相似矩阵合同矩阵这是与数学相关的小作品。
你可以通过编辑或修订扩充其内容。
相似矩阵线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。
两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：或矩阵A与B之间的相似变换矩阵。
相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。
严格定义域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L 的n×n的可逆矩阵P，使得：矩阵A与B“相似”。
B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。
术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。
性质等价关系，也就是说满足：1反身性：任意矩阵都与其自身相似。
2对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。
子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L 上相似。
这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。
置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。
矩阵的等价关系与分类
矩阵的等价关系与分类作者：谢晓华来源：《科技视界》2014年第21期【摘要】本文对矩阵的相抵、相似、合同三种等价关系及它们之间的联系和区别做了总结，并利用等价关系和分类的知识对矩阵进行等价分类，最后通过一个简单的例子说明了这种分类的意义。
可以加深非数学专业学生对矩阵知识的了解。
【关键词】相抵；相似；合同；等价类1 预备知识2 矩阵的等价关系2.1 矩阵的相抵关系定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。
定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。
2.2 矩阵的相似关系定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。
由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。
定理2.2（1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。
也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。
相似矩阵的性质：矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。
注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。
2.3 矩阵的合同关系定义2.3：对于n阶方阵A、B，若存在可逆阵P，使得PTAP=B，则称 A与B合同。
两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。
如果 A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
等价标准形矩阵的定义
等价标准形矩阵的定义
等价标准形矩阵是一种用于描述和比较不同维度或特征的对象的工具。
它是一个n×n 的矩阵，其中n是对象的数量。
等价标准形矩阵的元素表示两个对象之间的等价关系或相对价值。
具体地说，在等价标准形矩阵中，每个元素(aij)表示对象i与对象j之间的等价关系或相对价值，其中aij的取值范围通常为[0,1]。
矩阵的对角线元素(aii)通常是1，表示每个对象与自身的等价关系或相对价值为最高。
等价标准形矩阵的构建通常需要依靠专家判断、主观评价或经验数据。
专家根据对被比较对象的理解和评估，根据事先设定的等价标准，将对象之间的等价关系或相对价值转化为矩阵元素的取值。
这些取值可以是可度量的具体数值，如比例值或评分，也可以是由专家主观判断的相对大小关系。
等价标准形矩阵可以在多个领域和应用中使用。
在多属性决策分析中，等价标准形矩阵可以用于确定不同属性之间的相对重要程度，从而帮助决策者进行权衡和选择。
在定性研究中，等价标准形矩阵可以用于对不同概念、变量或主题进行关联和分类。
在市场调研中，等价标准形矩阵可以用于对产品特征或服务质量进行评估和比较。
等价标准形矩阵是一种用于描述和比较对象的工具，它通过矩阵元素的设定，反映了对象之间的等价关系或相对价值。
这种矩阵在多个领域和应用中都具有实用的价值，可以帮助人们进行决策、分类和评估。
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
线性代数第五讲 矩阵的初等变换及其性质
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质一、初等矩阵及其性质在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的秩等基本知识点。
本章我们将学习一些矩阵的“变换”的概念，主要介绍矩阵的初等变换及其性质。
矩阵的初等变换指的是将一个矩阵通过某种方式变化成另外一个矩阵的运算。
初等变换可以分为三种：交换矩阵的某两行或某两列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，再加到另一行或另一列上。
这三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
对于任意一个矩阵A，我们可以进行一系列的初等变换，从而将A变换成标准形。
标准形主要有三种：行简化阶梯形矩阵、列简化阶梯形矩阵和对角矩阵。
从定义可以看出，行简化阶梯形矩阵和列简化阶梯形矩阵都是初等矩阵形式，是矩阵的标准形。
初等矩阵的定义：如果矩阵B是A通过一次初等变换得到的，则称矩阵B为矩阵A的初等矩阵。
我们前面已经学习过，矩阵的逆是一个重要的概念。
下面我们就来发现一个有趣的性质：一个矩阵是可逆矩阵，当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
定理1：矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
以上两个定理的证明可以参考矩阵论相关的课程。
二、矩阵的等价关系在学习矩阵的初等变换时，我们介绍了三类变换，也就是矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
我们可以使用这三类变换将一个矩阵变换成另一个矩阵。
如果对于任意的矩阵A、B，B可以通过一系列的初等变换变成A，那么我们就称A和B是等价的。
性质1：等价关系具有反身性、对称性和传递性。
性质2：如果一个矩阵可以通过初等变换化为一个标准形，则标准形是唯一的。
性质3：如果一个矩阵可逆，则它和单位矩阵等价。
性质4：如果A、B等价，则r(A)=r(B)。
三、矩阵的秩和特殊矩阵在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的秩的定义和性质。
矩阵的秩是矩阵实际所包含的信息量，因此秩是矩阵的一个重要特征。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
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矩阵的等价关系与分类
作者：谢晓华
来源：《科技视界》2014年第21期
【摘要】本文对矩阵的相抵、相似、合同三种等价关系及它们之间的联系和区别做了总结，并利用等价关系和分类的知识对矩阵进行等价分类，最后通过一个简单的例子说明了这种分类的意义。
可以加深非数学专业学生对矩阵知识的了解。
【关键词】相抵；相似；合同；等价类
1 预备知识
2 矩阵的等价关系
2.1 矩阵的相抵关系
定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。
定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。
2.2 矩阵的相似关系
定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。
由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。
定理2.2
（1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B
？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组
即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。
也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。
相似矩阵的性质：矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。
注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。
2.3 矩阵的合同关系
定义2.3：对于n阶方阵A、B，若存在可逆阵P，使得PTAP=B，则称 A与B合同。
两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。
如果 A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。
但合同一般是对于对称矩阵来说的，n阶对称矩阵必然有n个实特征根。
如果两对称矩阵的不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同，那么两矩阵是合同的。
反之，如果两矩阵合同的话，那么这两个矩阵不为零的特征根数相同，并且正特征根数也相同。
定理2.3：在复数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r。
定理2.4：在实数域上，n阶对称阵在合同关系下的全系不变量是矩阵的秩r、正惯性指数p、负惯性指数q和符号差s中的任意两个。
注意：合同与二次型有关，同一数域上的二次型与对称矩阵之间一一对应，因此矩阵合同一般针对的是对称矩阵。
2.4 矩阵相抵，相似与合同之间的关系
（1）相抵关系最弱。
合同与相似是特殊的相抵关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定相抵，反之不成立。
相似与合同不能互相推导，但如果相似矩阵为正交相似，合同阵为正交合同，则相似与合同一致。
（2）对于实对称矩阵，特征值是相似的不变量，秩和正惯性指数是合同关系下的全系不变量，因此实对称矩阵相似则一定合同。
（3）相抵，相似与合同具有：反身性，对称性，传递性，因此都是等价关系。
所以可以基于这三种等价关系对矩阵进行分类。
3 等价关系下的分类
4 根据等价关系将矩阵分类的意义
矩阵的全体很复杂，都是无限个矩阵，我们要研究它自然就要选代表元，这个代表元肯定是在某种意义下的代表元，那么我们就需要给一个等价关系，比如在相抵关系下，可以通过研究相抵标准型这种结构简单的矩阵来研究整个类。
【参考文献】
[1]姚慕生.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，2008.
[2]王天泽.线性代数[M].北京：科学出版社，2013.
[责任编辑：孙珊珊]。