等价关系
第六讲等价关系-修改
第六讲等价关系§6.1. 等价关系（Equivalence Relation）§6.2. 分划（Partition）6.1. 等价关系（Equivalence Relation）6.1.1. 定义：设A为集合，R为A上关系，称R为A上的等价关系指R自反，对称和传递，这时把xRy记为x~R y或简记为x~y。
例：整数集Z上相等关系为等价关系，Z上≤关系不是等价关系。
6.1.2. 命题：在Z上的关于模n的同余关系为等价关系。
证明：设n∈N+, 定义~如下：∀x,y∈Z, x~y定义为x≡y(n)(i.e. n | (x-y) )欲证~为等价关系，只需证：(1)x~x 即x≡x(n)(2)x~y~z →x~z 即. x≡y(n)∧y≡z(n) →x≡z(n)(3)x~y →y~x 即x≡y(n) →y≡x(n)而以上三点易见，故得证。
.6.1.3 命题：令R*={{a n}|{a n} 为有理数Cauchy 序列}，定义R*上关系~如下：{a n}~{b n}定义为( ∀ε>0)( ∃N)( n>N)(|a n-b n|<ε )。
这里ε与N的变域为Q与N。
证明：(1) 易见{a n}~{a n}(2) ∵|a n-b n|+|b n-c n|≥a n-c n|, ∀ε>0{a n}~{b n}→∃N1(∀n>N1)( |a n-b n|<ε/2){b n}~{c n}→∃N2(∀n>N2)( |b n-c n|<ε/2)故{a n}~{b n}~{c n}→(∀n>N1+N2)( |a n-c n|<ε)→{a n}~{c n}.易见{a n}~{b n}→{b n}~{a n}。
6.1.4定义：令R 为A上等价关系，对任何a∈A，a关于R的等价类(equivalent class)[a]R 定义为{b|b∈A∧aRb}，[a]R可简记为[a]。
概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖
等价关系与等价类
等价关系与等价类等价关系是数学中一个非常重要的概念，它在代数学、离散数学、关系代数等领域都有广泛的应用。
本文将详细讨论等价关系的定义、性质以及等价类的特点。
一、等价关系的定义等价关系是集合论中的一个概念。
对于给定集合A，若集合A上的二元关系R满足以下三个条件，即称关系R为等价关系：1. 自反性：对于集合A中的任意元素a，有aRa；2. 对称性：对于集合A中的任意元素a和b，若aRb，则bRa；3. 传递性：对于集合A中的任意元素a、b和c，若aRb且bRc，则aRc。
二、等价关系的性质1. 等价关系将集合A划分成了若干个不相交的等价类；2. 对于等价关系R，它的等价类满足以下两个性质：(1) 集合A中的任意元素都属于某一个等价类；(2) 不同的等价类之间是不相交的，即任意两个不同的等价类A和B满足A∩B=∅；3. 对于等价关系R，在每个等价类中，任意两个元素都是相互等价的，即若a和b属于同一个等价类，则aRb。
三、等价类的特点等价类是等价关系的一种划分形式，它具有以下特点：1. 等价类是集合A的一个子集；2. 等价类中的元素都满足相互等价的关系，即集合A中的两个元素属于同一个等价类，当且仅当它们在等价关系R下是等价的；3. 集合A中的元素可以属于多个不同的等价类，但不同的等价类之间是不相交的。
四、等价关系的应用等价关系在数学中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数论中的同余关系：在数论中，我们可以定义模m下的同余关系，对应的等价关系将整数划分成了若干个不相交的等价类；2. 代数学中的等价关系：在代数学中，等价关系被广泛运用于同余、相似等概念的定义中；3. 图论中的等价关系：在图论中，等价关系被用于定义等价图等重要概念；4. 集合运算中的等价关系：等价关系在集合运算、集合论的研究中也具有重要的地位。
综上所述，等价关系是集合论中的一个重要概念，它将原始集合划分成了若干个互不相交的等价类。
七、等价关系与等价类
上的等价关系。 故R是A上的等价关系。 是 上的等价关系
例 设A={1,2,3,4,5}，有一个划分 ，有一个划分S={{1,2},{3},{4,5}}，试由划 ， 确定A上的一个等价关系 分S确定 上的一个等价关系。 确定 上的一个等价关系。 我们用如下方法产生一个等价关系R： 解 我们用如下方法产生一个等价关系 ： R1={1,2}×{1,2}={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>} × R2={3}×{3}={<3,3>} × R3={4,5}×{4,5}={<4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} × R= R1∪R2 ∪R3 ={<1,1>, <1,2> , <2,1> , <2,2>, <3,3>, <4,4>,<4,5>, <5,4> , <5,5>} 从R的序偶表示式中容易验证 是等价关系。 的序偶表示式中容易验证R是等价关系。 的序偶表示式中容易验证 是等价关系 本题中确定等价关系的方法与上述定理4 本题中确定等价关系的方法与上述定理4中所述确定等价关系 的方法实质相同 实质相同。 的方法实质相同。
R R
[3]R={2,3}
[4]R={1,4}
[1]R ∩[2]R ∩[3]R= ∅ [1R , [3]R, [4]R} ={{1,4},{2,3}} [1]R ∩ [2]R = ∅ [1]R ∪ [2]R = A
定理3 定理
定理3 集合A上的等价关系 上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定 可确定A 定理 集合 上的等价关系 ，决定了商集
离散数学___等价关系与偏序关系
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
等价关系和偏序关系
等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。
本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。
首先，我们来介绍等价关系。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。
在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。
换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。
等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。
2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。
在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。
在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。
在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。
接下来，我们来介绍偏序关系。
偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。
在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。
与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。
偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。
2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。
在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。
六个等价定理
六个等价定理等价定理在数学上，等价表示一个集合或空间中两个集合之间可以交换某些量。
在科学上，等价表示一种可逆关系。
本文将为大家介绍六个等价定理。
六个等价定理最常见的形式是： 1。
加法与乘法运算满足等价关系。
2。
两个函数满足等价关系。
即有意义，则必有其逆也有意义。
1。
加法与乘法运算满足等价关系。
(1).(有意义)A+B=B+A(2).(逆定理)如果集合A中所有元素都有意义，那么它们的并集也有意义。
(3).乘法运算满足交换律。
(4).乘法运算满足结合律。
(5).乘法运算满足分配律。
(6).一个集合中任何两个元素都有意义，那么这个集合也必有意义。
2。
两个函数满足等价关系。
(1).对于任何连续函数f：A→B，有： f(A)=f(B)(2).如果两个函数f和g满足等价关系，则：f(A)g(B)当且仅当f(A)g(B)注：以上等价关系仅适用于连续函数的情况。
3。
两条直线相交，则交点为原来两条直线等价的条件不成立。
4。
如果集合A中有无穷多个元素，那么它们的并集A'=A。
3。
如果两个函数满足等价关系，则： f(A)g(B)=f(A)h(B)(在上面的第二定理中出现了2×3=6， 2×2=4， 2×1=2，故该条等价关系成立。
)如果以上三个定理出现在同一集合中，即：(1)a×b=b×a(2)ab=ac(3)abc=acb(注：这种情况下出现了两个并集，故等价关系也成立。
)另外，要证明：(1)ab=ac这一条等价关系成立，需要用到第二定理和结合律，证明较复杂。
但从定理2可以看出，函数a与b 之间有无穷多个对应的函数h(ab)，每一个h(ab)都是有意义的。
而函数h(ab)，除了与函数a有无穷多个对应外，还与它的反函数g(ab)有无穷多个对应，每一个g(ab)都有意义。
即：(2)ab=ac有意义。
6。
集合的等价关系和划分
集合的等价关系和划分概述在集合论中，等价关系和划分是两个重要的概念。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种特定的关系，而划分则是将集合分为不相交的子集合。
本文将对这两个概念进行详细解释和讨论。
等价关系等价关系是一种二元关系，通常用符号“≡”表示。
对于集合A中的元素a和b，如果满足以下三个条件，则称a和b具有等价关系：1. 反身性（Reflexivity）：对于集合A中的任意元素a，a≡a成立。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合A中的任意元素a和b，如果a≡b，那么b≡a也成立。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，那么a≡c也成立。
等价关系可以将集合中的元素划分为等价类。
每个等价类包含具有相同等价关系的元素。
等价类之间两两不相交，并且它们的并集等于整个集合。
划分划分是将集合分为不相交的子集合的过程。
对于集合A，如果存在一个集合P，满足以下两个条件，则称P为A的一个划分：1. P中的每个元素都是A中的子集。
2. P中的元素两两不相交，并且它们的并集等于A。
划分可以通过等价关系来构建。
对于集合A中的元素a，可以定义P(a)为包含a的所有等价类组成的集合。
那么P={P(a)|a∈A}就是A的一个划分。
应用和重要性等价关系和划分在数学和计算机科学等领域具有广泛的应用。
它们可以用于建模和解决各种问题，例如图论、数据库设计和自然语言处理等。
在图论中，等价关系可以表示两个节点之间的等价性，从而简化网络分析和图算法的实现。
在数据库设计中，划分可以将数据分为多个不相交的部分，提高查询效率和数据管理的灵活性。
在自然语言处理中，等价关系和划分可以用于语义分析和情感分类等任务。
综上所述，了解和理解集合的等价关系和划分对于理解和应用集合论的相关概念和方法具有重要意义。
结论集合的等价关系和划分是集合论中的重要概念。
等价关系是一种特定的二元关系，可以将集合划分为等价类。
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“关系”一词，在日常生活中十分常见，在学校，有同学关系、师生关系、同事关系等；
在家庭中，有兄弟姐妹关系，父子关系、母女关系等；在一般的工作单位，有师徒关系、上
下级关系等等。
在研究科学中也有很多关系，如数学中的数的大小比较关系、整数中整除关
系、函数关系、集合中的包含关系；计算机软件的程序与其子程序关系等。
为了数学的方法来研究这类关系，我们将用集合论的观点来描述这类关系。
例如，集合{}e d c b a A ,,,,=，为五个人组成的集合，其中他们中，a 是b 的父亲，c 是d 的
父亲，c 也是e 的父亲。
现将集合A 的父子关系用有序对表示，即为),(),,(),,(e c d c b a 。
把
这三个有序对组成一个集合{}),(),,(),,(e c d c b a R =，我们把R 这种由集合A 导出的有序
对组成的集合R ，叫做A 上关系 R 。
我们称集合R 为集合A 的父子关系集合（简称关系）。
我们把13个数组成的集合{}10,,3,2,1 =A 也建立几个关系。
二、建立关系举例：
1、 它们之间的小于等于关系R ；
()()()()()()(){},13,13,13,12,,3,2,2,2,3,1,2,1,1,1 =R
2、 它们除以3以后余数相同的关系1R ；
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=,10,10,7,10,4,10,1,10,9,9,6,9,3,9,8,8,5,8,2,8,10,7,7,7,4,7,1,7,9,6,6,6,3,6,8,5,5,5,2,5,10,4,7,4,4,4,1,4,9,3,6,3,3,3,8,2,5,2,2,2,10,1,7,1,4,1,1,12R 3、它们之间的整除关系2R ；
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,10,5,5,5,8,4,4,4,9,3,6,3,3,3,10,2,8,2,6,2,4,2,2,2,10,1,2,1,1,13 R 注意：关系有两大类关系：A 到B 的关系，A 上的关系；我们主要讨论A 上的关系。
三、关系的几种表示方法：
1、图形表示；
2、表格表示；
3、矩阵表示；
比如：{
}5,4,3,2,1=A 上的R 关系为()()()()()()(){},4,5,2,4,5,3,3,3,3,2,2,22,1=R 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=01000000101010000110
00010R A
⑴、自反性：R 是A 上的二元关系，若∀∈a A ，都有∈),(a a R ，则称R 是自反的二元关系。
⑵、反自反性：R 是A 上的二元关系，若∀∈a A ，都有∉),(a a R ，则称R 是反自反二元关系.
⑶、对称性：R 是A 上的二元关系，若∀∈),(b a R ，都有∈),(a b R ，则称R 是对称的二元关系.
⑷、反对称性：R 是A 上的二元关系，若∀∈),(b a R ，又有∈),(a b R 时，有b a =，则称R 是反对称的二元关系.
⑸、传递性：R 是A 上的二元关系，若有∈),(b a R 且∈),(c b R 时，必有∈),(c a R ，则称R 是可传递的二元关系.
五、性质的判别
前四种的判别较容易，
传递性的判别：R 具有传递性的充要条件为R R R ⊆⋅
例题：集合A={1,2,3,4,5}上的模2同余关系R 的关系矩阵:
A R =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1010101010
101010101010101 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==10101010101010101010101011010101010
10101010101010110101
010101010101010101012R A B 比较可得：1=ij b 时,必须1=ij a .
五、自反（对称、传递）关系闭包的求法：
例2 设{}c b a A ,,=，()()()()(){}c a a c c b a b a a R ,,,,,,,,,=，
自反闭包：)(R r =A I R .；
对称闭包：)(R s =R R ~
.
传递闭包： ⑴、设A A R ⨯⊆，则 32)(R R R R t =。
⑵、设1≥=n A ，A A R ⨯⊆，则n R R R R t 2)(=。
六、等价关系与分类：
1、同时满足自反、对称、传递性的关系称为等价关系，等价关系将集合A 分成类。
比如，上面例题将10个数除以3余数相同的关系是将10个数分成三类{}10,7,4,1，{}8,5,2，{}9,6,3；
又如，大学里的同班同学的关系是等价关系，老乡关系是等价关系。
但师生关系，父子关系不是等价关系。
2、同时满足自反、反对称、传递性的关系称为偏序关系；
3、同时满足自反、对称关系的关系称为相容关系。