4.5等价关系与划分
概率论-第十五讲 等价关系和划分
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖
4.5等价关系和偏序关系
3、传递性；
<x,y>∈R x mod 3=y mod 3 <y,z>∈R y mod 3=z mod 3
∴ x mod 3=z mod 3，从而<x,z> ∈R。
续上例Z上的模3同余关系
……～ -3 ～ 0 ～3 ～6 ～9 ～12 ～…… ……～-2 ～1 ～4 ～7 ～10 ～13 ～…… ……～-1 ～2 ～5 ～8 ～11 ～14 ～…… 即是：{3n}中的各元素相互等价， {3n+1}中的各元素相互等价， {3n+2}中的各元素相互等价。
[4]R＝{4,5 } ＝ [5]R
2
3
等价关系例1
5
[6]R＝{6}
例2：整数上的模3同余关系R
[0]R＝{……,-3,0,3,6,9,…… } ＝ [3]R ＝ [6]R ＝ …… ={3n | n∈Z}=3Z [1]R＝{……,-2,1,4,7,10,… } ＝ [4]R ＝ [7]R ＝ …… ={3n+1 | n∈Z}=3Z+1 [2]R＝{……,-1,2,5,8,11,…… } ＝ [5]R ＝ [8]R ＝ …… ={3n+2 | n∈Z}=3Z+2
划分块
设 A 为非空集合，若存在 A 的一个子集簇 CP(A)满足： 1. C； 2. 对于A的任意子集x, yC，若x y，则x y = ； 3. C = A。 则称C为A的一个划分，C中的元素称为 划分块。
等价关系和划分的对应
设A为非空集合，则： 1. 2. 设 R 为 A上的任意一个等价关系，则 设C是A的任意一个划分，则定义RC 商集A/R是A的一个划分； = {<x, y> | x, yA x, y属于C的同一划分块}， 则RC是等价关系。
等价关系与划分
• • • • •
例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2}, {3,4}} 因为{1}{1,2}，{2}{1,2}， {3,4}{3,4}， 所以'细分 若 ' 细分 , 则与它们对应的二元关系 R' 和R它们之间有何联系？
• (1)若 '细分 ,则与它们对应的二元关系 R'和R满足R'R。 • 证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R • (2)若R'R，是否有'细分？ • 证明：对任意S‘’,目标是S • S‘S • 定理 2.17：设',是A的划分,它们确定A 上的等价关系分别为R,R',则'细分当 且仅当R'R。
• 三、等价关系与划分 • 定义 2.14：设R是A上的等价关系, 对于 每个aA,与a等价的元素全体所组成的集 合称为由 a 生成的关于 R 的等价类 , 记为 [a]R, 即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类 的代表元。 • 在不会引起误解的情况下 , 可把 [a]R 简记 为[a]。 • 定义 2.15 ：设 R 是 A 上的一个等价关系 , 关于R的等价类全体所组成的集合族称为 A 上 关 于 R 的 商 集 , 记 为 A/R, 即 A/R={[a]|aA}。
• • • •
定理 2.13：设R是A上的等价关系, 则 (1)对任一aA,有a[a]; (2)若aRb, 则[a]=[b]; (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]=;
(4) [a] A
aA
此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的 定理的 (2)、 (3)说明：互相等价的元素属于同一个等价类， 而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素 定理的(4)说明：A上等价关系R所对应的等价类的并就等于 A. 由此定理说明 A 上等价关系 R 所对应的等价类集合是 A 的 一个划分。 该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分。
4.6 等价关系与划分
R = R ⇔A R = A R 1 2 1 2
必要性显然成立。 证. 必要性显然成立。 充分性 设 A R = A R ，则当 (a,b)∈R时，有 1 1 2 b∈[a]R ，而 [a]R ∈A R = A R ，故存在 [c]R ∈A R 1 2 2 使 [a]R =[c]R ，于是由 a,b∈[a]R =[c]R 可知 aRb 2 即 (a,b)∈R2 ，说明 R ⊆R2 ，同理可证 R2 ⊆R 。 1 1
1
1
2
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
• 上述三个定理表明集合 A上的任一等价关系可以 上的任一等价关系可以 的一个划分； 惟一地确定 A的一个划分；反过来，A的任一划 的一个划分 反过来， 的任一划 分也可以惟一地确定A上的一个等价关系 上的一个等价关系。 分也可以惟一地确定 上的一个等价关系。
定理4.6.1 设Ｒ是非空集合Ａ上的等价关系，则 上的等价关系， 定理 是非空集合； （1）若 a ∈ A ,则 [a ] 是非空集合； ） （2）若 aRb ,则 [a] = [b] ； ） （3）若 aRb ,则 [a ] ∩ [b] = ∅ ； ） （4） ∪ [a] = A ）
a∈A
上述定理表明，等价的元素属于同一等价类， 上述定理表明，等价的元素属于同一等价类， 即等价类与代表元的选取无关； 即等价类与代表元的选取无关；不等价的元素的 等价类是不相交的；进一步， 就是所有这些互 等价类是不相交的；进一步，A就是所有这些互 不相交的等价类之并。 不相交的等价类之并。
定义4.6.2 设Ｒ是集合Ａ上的等价关系,元素 a ∈ A 上的等价关系, 定义 称与 a 等价的元素所组成的集合为由 a 生成的等 价类， 的等价类， 价类，简称 a 的等价类，记为 [a]R 或简记为 [a ]， 即
等价关系,商集和集合的划分
等价关系,商集和集合的划分1.等价关系所需要的三个性质 --- 自反的，对称的，传递的必须同时具备，缺一不可2.同余关系纠正：同余关系需要三个数，一个正整数m，和两个整数a,b，如果整数(a - b)能够被m整除的话，则称a和b 是同余关系（需要注意的是整数0能够被仍和整数整除，整除的结果为0）1.关于第二点：负号不影响整除关系1通过特定规则（这个特定规则就是上面的这个生成元规则）获取的等价关系的子集称为等价类2.任何等价类都是非空集合，因为在这个等价类中一定包含了生成元本身3.有些等价类是完全相同的，有些等价类是完全不一样的4.所有等价类并在一起就能够得到总的集合a1.第二点的b证明处：证明两个集合没有交集的常用方法是反证法 --- 即证明有交集是矛盾的来得出没有交集这个结论2.关于第三点：两个集合互为子集则这两个集合等价1.商集其实就是集合的集合2.在集合中相同的元素只需要写一个，不用重复写最后一句话的意思就是：直到最后给定集合中的所有的元素都被找完第二部分 --- 集合的划分1.注意这里面的si都是非空集合a的非空子集1.通过等价关系，等价类和商集对集合进行划分1.关系的复合运算是左右两个关系中间一个圈，左右两个集合中间一个乘号这是笛卡尔积 --- 得到的结果是一个序偶集合，其中序偶的定义域由称号左边的集合元素提供，值域由乘号右边的集合元素提供2.上面这个等价关系是由每个划分的块集合的全关系序偶集合取并集得到的一个总的序偶集合，且每个块集合的全关系序偶集合都不一样（因为每个块集合的元素都不相同），所以等价关系这个序偶集合中的任意一个序偶元素都来自于某一个块集合的全关系序偶集合一个集合上的所有等价关系个数与这个集合的所有划分方式的个数相等。
集合的等价关系和划分
集合的等价关系和划分概述在集合论中，等价关系和划分是两个重要的概念。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种特定的关系，而划分则是将集合分为不相交的子集合。
本文将对这两个概念进行详细解释和讨论。
等价关系等价关系是一种二元关系，通常用符号“≡”表示。
对于集合A中的元素a和b，如果满足以下三个条件，则称a和b具有等价关系：1. 反身性（Reflexivity）：对于集合A中的任意元素a，a≡a成立。
2. 对称性（Symmetry）：对于集合A中的任意元素a和b，如果a≡b，那么b≡a也成立。
3. 传递性（Transitivity）：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，那么a≡c也成立。
等价关系可以将集合中的元素划分为等价类。
每个等价类包含具有相同等价关系的元素。
等价类之间两两不相交，并且它们的并集等于整个集合。
划分划分是将集合分为不相交的子集合的过程。
对于集合A，如果存在一个集合P，满足以下两个条件，则称P为A的一个划分：1. P中的每个元素都是A中的子集。
2. P中的元素两两不相交，并且它们的并集等于A。
划分可以通过等价关系来构建。
对于集合A中的元素a，可以定义P(a)为包含a的所有等价类组成的集合。
那么P={P(a)|a∈A}就是A的一个划分。
应用和重要性等价关系和划分在数学和计算机科学等领域具有广泛的应用。
它们可以用于建模和解决各种问题，例如图论、数据库设计和自然语言处理等。
在图论中，等价关系可以表示两个节点之间的等价性，从而简化网络分析和图算法的实现。
在数据库设计中，划分可以将数据分为多个不相交的部分，提高查询效率和数据管理的灵活性。
在自然语言处理中，等价关系和划分可以用于语义分析和情感分类等任务。
综上所述，了解和理解集合的等价关系和划分对于理解和应用集合论的相关概念和方法具有重要意义。
结论集合的等价关系和划分是集合论中的重要概念。
等价关系是一种特定的二元关系，可以将集合划分为等价类。
等价关系与划分
4.4 等价关系与划分等价关系：同时具有自反、对称和传递性。
等价关系是最重要、最常见的二元关系之一。
4.4 等价关系与划分定义4.13设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的定义4.13，则称R为A上的等价关系。
设R为等价关系，如果<x,y> R，称x等价于y，记作x~y。
例如，实数集上的相等关系、幂集上的各子集间的相等关系，三角形集合上的三角形的相似关系都是等价关系。
因为等价关系是自反、对称和传递的，可以通过关系矩阵和关系图判断某关系是否是等价关系。
设A ={1, 2, …, 8}，A 上的关系R 定义如下：R={<x, y> | x, y ∈A ∧x ≡y(mod 3)}其中x ≡y(mod 3)叫做x 与y 模3相等，即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等或x −y 可被3整除。
可以验证R 为A上的等价关系：例4.21 4.4 等价关系与划分（1）自反：∀x∈A，x ≡x(mod 3)，即<x, x>∈R。
（2）对称：∀x, y∈A，若x ≡y(mod 3)即<x, y>∈R，则y ≡x(mod 3)即<y, x>∈R。
（3）传递：∀x, y, z∈A，若x ≡y(mod 3)且y ≡z(mod 3)，则x ≡z(mod 3)。
该关系的关系图如下：Sed ut perspiciatis unde omnis.68%定义4.14设R 为非空集合A 上的等价关系， x ∈A ，令[x]R ={y | y ∈A ∧xRy}称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，简记为[x]。
x 的等价类就是A 中所有与x 等价的元素构成的集合。
如例4.21中的等价类有：[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}[3] = [6] = {3, 6}4.4 等价关系与划分定理4.144.4 等价关系与划分定理4.19设R 是非空集合A 上的等价关系，则（1）∀x∈A，必定有[x]≠∅且[x]⊆A 。
概率论-第十五讲 等价关系和划分
充分性：
反之，假设{[a ]R1 | a ∈ A} = {[a ]R 2 | a ∈ A}，对任意[a ]R1， 必存在[c ]R 2 ∈ {[a ]R 2 | a ∈ A}，使得[a ]R1 = [c ]R 2，故 < a , b >∈ R1 ⇔ a ∈ [a ]R1 ∧ b ∈ [a ]R1 ⇔ a ∈ [c ]R 2 ∧ b ∈ [c ]R 2 ⇒< a, b >∈ R 2，所以R1 ⊆ R 2，类似有R 2 ⊆ R1，所以R1 R 2。 ＝
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一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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B∈π
二、划分
例5：设A={a,b,c,d,e}，划分S={{a,b},{c},{d,e}}, 由S确 定A上等价关系R。 解：R={a,b} ×{a,b} ∪{c} ×{c} ∪{d,e} ×{d,e} = {〈a,a〉, 〈a,b〉, 〈b,a〉, 〈b,b〉, 〈c,c〉, 〈d,d〉, 〈d,e〉, 〈e,d〉, 〈e,e〉} 若已知等价关系，求划分，则把有R关系的元素放到一 个划分块即可。
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A,A ,..., A 的任一划分={ }, 可以唯一对应集合 A上 的一个等价关系：
1 2 k
R ( A1 A1 ) ( A2 A2 ) ... ( Ak Ak )
例 设A={1,2,3,4,5,6}, ={<1,4>,<2,5,6>,{3}}是 A的一个划分，求由划分所谓一确定的A上的 等价关系。 解：等价关系R为：两个元素之间有关系R当且仅 当它们处在同一个分块中，记 1={1,4}， 2={2,5,6}， 3={3} R1= 1× 1 R2= 2 × 2 R3= 3 × 3 R=R1∪R2∪R3
(1) (2) (3) (4) (5)
{{a},{b,c},{d}}, {{a,b,c,d}}, {{a,b},{c},{a,d}}, {,{a,b},{c,d}}, {{a},{b,c}},
例 设A＝{1,2,3},求出A上所有的等价关系. 解: 先求A的各种划分:只有1个划分块的划分1,具有两个 划分块的划分2,3和4,具有3个划分块的划分5,请看 下图|
等价类
定 义 4.5-2 R 是 非 空 集 合 A 上 的 等 价 关 系 ， xA，等价类[x]R={y|yA xRy}
例 A＝{1,2,3,4,5,8},R＝{<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 3)}, 其中x=y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除. R为A上的等价 关系,它的关系图如下所示,其中1~4,2~5~8,3~6. 解： [1]＝[4]＝{1,4}, [2]＝[5]＝[8]＝{2,5,8}, [3]= {3}.
等价关系的关系图
一个例子 A={1,2,3,4,5} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>, <1,2>, <2பைடு நூலகம்1>, <1,5>, <5,1>, <2,5>, <5,2>, <3,4>, <4,3>}
R(1) 2
1
5
3
注意：R(1)即R(2) 或R(5); R(3)即R(4)
定理4.5-2 （1）集合A上的等价关系R，决定了商集A/R ，可确定A上 的一个划分。 （2）A上的任意一个划分，确定了A上的一个等价关系 定理4.5-3 说明在划分和等价关系之间存在着一一对应关系， 即给定非空集合A上的一个等价关系R，由R可以唯一产 生集合A的一个划分=A/R，反之，对非空集合A
4
R(3)
4.5.2集合的划分
A
A1 A5 A2 A4 定义4.5-4 设A是非空集合,如果存 在一个A的子集族(P(A))满足 以下条件 (1) ≠； (2) 中任意两个元素不交； (3) 中所有元素的并集等于A, 则称为A的一个划分,且称中的 元素为划分块.
A6
A3
例. 考虑集合A＝{a,b,c,d}的下列子集族
4.5等价关系与划分
等价关系与划分
等价关系的定义 等价关系的关系图的特征 等价类
定义 非空集合A上等价关系R的等价类的性质（定义4.5-3） 商集
集合的划分 等价关系与集合划分的对应(定理4.5-3)
3-10 等价关系与等价类
4.5.1 等价关系 定义4.5-1： R是定义在非空集合A上的一个关系，如果R是 自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 对任何x,y∈A,如果(x,y)∈等价关系R,则记作x~y. (1)在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系,而朋友 关系不一定是等价关系,因为它可能不是传递的.一般称这 种自反的对称的关系为相容关系.显然等价关系都是相容关 系,但相容关系不一定是等价关系. (2)动物是按种属分类的；“具有相同种属”的关系是动物 集合上的等价关系. (3)集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系. (4)在同一平面上三角形之间的相似关系是等价关系,但直 线间的平行关系不是等价关系,因为它不是自反的.
定理 4.5-1 设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x, y∈A, 下面的结论成立. (1) [x]≠,且[x]A； (2) 若xRy,则[x]=[y]； (3) 若xRy,则[x]∩[y]＝； (4) =A. 定义4.5-3 商集A/R：所有等价类的集合 在前例中,A在R下的商集是A/R={{1,4},{2,5,8},{3}}