6勒让德多项式
球的表面积公式6种推导
球的表面积公式6种推导球是一种常见的几何体，在生活中我们经常会接触到它，比如足球、篮球、乒乓球等等。
球的表面积是一个比较基础的数学问题，不同的推导方法可以帮助我们更好地理解球体的结构和特性。
本文将介绍6种球的表面积公式的推导方法。
一、解析几何推导法球的方程为：x + y + z = r其中，r为球的半径。
我们可以通过对球的方程进行求导，得到球的面积公式：S = 4πr二、微积分推导法我们可以将球体分成无数个微小的面元，每个面元的面积为dS。
将所有面元的面积加起来，就可以得到球的表面积S。
假设球的方程为：x + y + z = r则球的面积可以表示为：S = dS = cosθdxdy其中，θ为面元法向量与z轴的夹角。
将球的方程代入上式，可以得到：S = 2πr∫[0,π]cosθsinθdθ = 4πr三、向量叉积推导法我们可以用向量叉积来推导球的表面积公式。
假设球心在原点，球的方程为：x + y + z = r可以将球面表示为：r(θ,φ) = rcosθsinφi + rsinθsinφj + rcosφk 其中，r为球的半径，θ为经度，φ为纬度。
i、j、k为标准基向量。
对于球面上的两个向量a和b，它们的叉积为：a ×b = rsinφ(cosθ1 - cosθ2)i + rsinφ(sinθ2 - sin θ1)j + r(sinφ/2)(θ2 - θ1)k其中，θ1、θ2为两个经度，φ为纬度。
我们可以将球面分成无数个小面元，每个小面元的面积为dS。
对于每个小面元，可以找到两个向量a和b，它们的叉积即为该小面元的面积。
将所有小面元的面积加起来，即可得到球的表面积公式： S = dS = rsinφdφdθ = 4πr四、球坐标系推导法球坐标系是一种常见的坐标系，它可以用来描述球体的结构和特性。
在球坐标系下，球的方程为：r = r其中，r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。
球的面积可以表示为：S = dS = rsinφdφdθ = 4πr五、三重积分推导法我们可以用三重积分来推导球的表面积公式。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式是一种特殊的函数，它由最高次幂为N的N+1项组成，通常用来拟合曲线。
它和普通多项式的最大区别在于它的变量是
由不同的常数乘以指数x^n构成的，其形式如下:c(x)=a_N x^n +
a_(N-1) x^(N-1)+...+a_2 x^2 + a_1 x + a_0。
将上述表达式乘以n并将其代入原式中, 可以得出勒让德多项式
的微分表达式: c'(x)=Na_N x^(n-1)+ (N-1) a_(N-1) x ^(n-2)+…+
2a_2 x + a_1 。
对于勒让德多项式的求导，我们一般采用后面这种表达式，这也
是一种非常有效的方法，而不是一次使用n次链律法。
在使用这种表
达式之前，我们需要先记住最高次幂，即n，然后根据公式中的指数变化，从N开始，每次-1就可以得出每一项对应的指数，并且每一项前
面的系数也是可以直接把原多项式中相应系数带入即可。
因此，从上面可以看到，求勒让德多项式的导数的时候，需要我
们先找到最高次，然后根据指数的变化，再将每一项相应的系数带入，最后就可以得到她的微分表达式，这也是比较容易让人理解的一种方法。
13： 第六章 勒让德多项式
（19.1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
，则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
(19.1.6)
19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示
3cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70
x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl (x)
为
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
2l
(2l k!(l
2k)!
xl2k
k)!(l 2k)!
（19.1.7）
式中
[
l] 2
l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
(n 0,1,2, )
l 上式具有多项式的形式，故称 Pl (x) 为
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
勒让德多项式及其正交性质
勒让德多项式及其正交性质勒让德多项式是一种重要的数学工具，在微积分、物理学等领域都有广泛的应用。
它是一类正交多项式，具有良好的性质，可以用于解决一些特殊的数学问题。
本文将讨论勒让德多项式及其正交性质，以期读者能够深入了解这一重要数学工具。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一种定义在区间[-1,1]上的多项式函数，通常用Pn(x)表示，其中n为多项式的次数。
勒让德多项式可以通过如下公式递归地定义：P0(x) = 1P1(x) = xPn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n这个公式可以用来计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式的前几个函数值如下：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (3x² - 1)/2P3(x) = (5x³ - 3x)/2P4(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，其中最重要的是正交性质。
1. 正交性质勒让德多项式在区间[-1,1]上的内积可以定义为：∫[-1,1] Pn(x)Pm(x)dx如果n=m，则积分结果为2/(2n+1)；如果n≠m，则积分结果为0。
也就是说，勒让德多项式之间具有正交性质。
这个性质非常重要，因为它能够使我们更方便地进行一些数学运算。
例如，计算某个函数在勒让德多项式基下的系数时，我们只需要进行一次内积计算即可。
2. 完备性质勒让德多项式在区间[-1,1]上具有完备性质。
也就是说，任何在该区间上连续的函数都可以用勒让德多项式展开，并且展开式收敛于原函数。
这个性质太过深奥，需要深入的数学知识，不在本文的讨论范围内。
3. 递推性质勒让德多项式之间具有递推性质，可以用如下公式计算高一阶的勒让德多项式：Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)这个公式可以用来快速地计算任意次数的勒让德多项式。
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
勒让德多项式资料
其中本征值λ 对应于原方程中的n(n+1)。
部分实例
下表列出了头11阶（n从0到10）勒让德多项式的表达式：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
头6阶（n从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：
向量和
拉普拉斯方程（与和对称轴的夹角无关）。
若设为对称轴，为观测者位置向量和轴的夹角，则势函数的解可表示为：
其中和由具体边界条件确定
递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
另外，考虑微分后还有以下递推关系：
其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。
移位勒让德多项式
移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上，即：
其显式表达式为：
相应的罗德里格公式为：
下表列出了头4阶移位勒让德多项式：
n
0 1
1 2x ? 1
2 6x2 ? 6x + 1
3 20x3 ? 30x2 + 12x ? 1
0 1
1
2x ? 1
2
6x2 ? 6x + 1
3
20x3 ? 30x2 +
12x ? 1
0 1
1 2x ? 1
2 6x2 ? 6x + 1
3 20x3 ? 30x2 + 12x ? 1。
勒让德多项式递推公式推导
勒让德多项式递推公式推导
雷伯斯让德多项式递推公式是数学发展的一个里程碑。
它是一个可以用来快速计算高次多项式系数序列的重要公式，又称非递归式。
它以有趣的方式应用数学公式，使多项式系数序列计算变得更加合理、简单清晰。
雷伯斯让德多项式递推公式的形式为：
a_n=(n+ann+1+(n+2nn+2))*a_n-1
其中，a_n表示高次多项式的系数序列中的当前项系数，an+1表示高次多项式的系数序列中的下一项系数，同时还有nn+1和nn+2两个参数。
通常来说，我们可以很容易地计算第一项多项式系数序列a_1，但要计算多项式系数序列中的第n项，就需要比较复杂的计算过程。
雷伯斯让德多项式递推公式可以帮助我们快速计算第n项多项式系数序列，而不需要逐一计算每一项。
只要首先计算出a_1，然后将其与参数nn+1和nn+2相乘，再将所得的和再乘以上一项的系数a_n-1，即可获得当前项a_n的计算公式。
由此可见，雷伯斯让德多项式递推公式可以显著降低多项式计算的繁琐性，有效提升计算效率和准确性，也受到了数学家的一致欢迎。
它的出现使许多数学问题的解决变得更加轻松，再次推动了数学的发展，也为社会提供了不少便利。
勒让德多项式-6[宝典]
![勒让德多项式-6[宝典]](https://img.taocdn.com/s3/m/262a068dcfc789eb172dc8d7.png)
第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间 - 1< x < 1 上正交 .
七、勒让德多项式级数
若 f (x) 满足狄利克雷条件 , 则 f (x) 在区间 – 1 < x < 1 的每一个连续点处 , 存在一个勒让德级数展开式 , 形如
f ( x) A0 P0 ( x) A1 P1( x) A2 P2 ( x) Ak Pk ( x) , k0
P f ( x)
Ak
称 n ( x) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
特别是 ,当 n =0, 1 , 2 , 3 , 4 , 时,分别有
P0 ( x) 1
P1( x) x cos
P2 ( x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos 2
1)
P3 ( x)
1 2
(5 x 3
n 为奇数
Qn( x)
k0
2n(n k)!(n k !(2n 2k
2k ) ! 1)!
x n2k1
.
n ( x) 的递推公式, 同样适合于 Qn( x) .
六、勒让德多项式的正交性
下列结果是基本的:
1
m ( x)n( x)d x 0 ,
1
mn
1
n2 ( x) d
1
x
2 2n 1
,
mn.
( x) ( )
缔合(连带)勒让德方程
上式则变化为
(1
x2
)
d d
2 x2
2x
d d
x
n(n
1)
m2 1 x2
0
若 u(r, , ) 与 无关 ，这时可简化成
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x cos ( ) y(x)
d sin dy
d
dx
d2
d 2
cos
dy dx
sin 2
d2 y dx2
(1
x2
)
y
2
xy
n(n
1)
1
m2 x2
y
0
连带的勒让德方程
(1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0 勒让德方程
西安理工大学应用数学系
2. Legendre方程的解 (1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0
xk2
k0
(k
1)(k
2)ak 2
xk
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{(k k0
1)(k
2)ak 2
[k(k
1) n(n 1)]ak }xk
0
于是由幂级数展式的唯一性，有
(k 1)(k 2)ak2 [k(k 1) n(n 1)]ak
(k n)(k n 1)ak
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
a2m
(1)m
n(n
2)L
(n
2m
2)(n 1)(n (2m)!
3)L
(n
2m
1) a0
a2m1
(1)m
(n 1)(n 3)L
为零，这时 y1( x), y2 ( x) 均为无穷级数，且收敛域为（-1, 1）
情形（２） 当n取整数（包括零）时，y1( x), y2 ( x) 中有 一个是多项式，另一个是无穷级数。 举例分析
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(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
k 0,1, 2,L
0 (2 ) ()
m m2 , m 0,1, 2,L
() Am cos m Bm sin m
1 sin
d
d
sin
d
d
n(n 1) sin2
m2
西安理工大学应用数学系
1
sin
d
d
sin
d
d
n(n
1) sin2
m2
d2
d 2
cot
d
d
[n(n
1)
m2
sin2
]
0
a5
54
a3
5!
a1
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(n 3)(n 4) (n 1)(n 3)(n 2)(n 4)
a5
54
a3
5!
a1
a2m1
(1)m
(n 1)(n
3)L
(n 2m 1)(n (2m 1)!
2)(n 4)L
(n 2m) a1
a2m a 1 1
其中 a0 , a1 为任意常数，则方程的解为
k 0,1, 2,L
于是
n(n 1) a2 2 1 a0
(n 2)(n 3) n(n 2)(n 1)(n 3)
a4
43
a2
4!
a0
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(n 4)(n 5)
n(n 2)(n 4)(n 1)(n 3)(n 5)
a6
65
a4
6!
a0
a2m
n(n
1) R
0
Euler方程 R(r) A1r n A2r (n1)
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1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
1
sin
d
d
sin
d
d
1
d2
d 2
n(n
1) sin2
1 sin
d
d
sin
d
d
n(n 1) sin2
1
d2
d 2
y
a x
k
k0 k
a x
2m
m0 2m
a x
2m1
m0 2m1
a0
a x
2m
m0 2m
a1
a x
2m1
m0 2m1
由 a0 , a1 的任意性知，下列两个函数也是方程的解：
y1(x)
m0
a2m
x
2m
,
y2( x)
a x
2m1
m0 2m1
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y1( x), y2 ( x) 的性质： （１）线性无关，故得到了Legendre方程的通解
y( x) a0 y1( x) a1 y2 ( x) （２）收敛区间均为（－１，１），在端点发散，因而 Legendre方程在[-1,1]内没有有界解。 （3 ）当n是正整数时，一个解为多项式Pn(x)，在[-1,1]有 界，另一个仍为无穷级数，记为Qn(x)，在[-1,1]内无界，通 解为
y( x) c1Pn ( x) c2Qn ( x)
1 r2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
用分离变量法求解。
令
u(r,,) R(r)( )() 代入方程得
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1 R
dr
r
2
dR dr
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
0
1 R
dr
r
2
dR dr
(1)m
n(n
2)L
(n
2m
2)(n 1)(n (2m)!
3)L
(n
2m
1) a0
a2ma0
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
k 0,1, 2,L
(n 1)(n 2)
a3
32
a1
(n 3)(n 4) (n 1)(n 3)(n 2)(n 4)
=-
1 sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
1 r2 dR n(n 1)Biblioteka R dr dr n为实数或复数
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
1 r2 dR n(n 1) R dr dr
r2
d2R dr 2
2r
dR dr
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第六章 勒让德（Legendre）多项式
－－－－－－特殊函数之二
西安理工大学应用数学系
§6.1 Legendre方程及其求解
1 Legendre方程的导出
引例：求解下列问题
uxx uyy uzz =0
x2 y2 z2 1
u x2y2z21 f (x, y, z)
在球坐标下方程为
用幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为
各阶导数为
y
a x
k
k0 k
y'
k0
kak
x
k
1
y"
k0
k(k
1)ak
xk2
代入方程，整理，得
k(k k0
1)ak
xk2
[k(k
k0
1)
2k
n(n 1)]ak xk
0
注意
k(k
k0
1)ak xk2
k2
k(k
1)ak
Qn(x)称为第二类Legendre函数。
西安理工大学应用数学系
§6.2 勒让德多项式
1. Legendre多项式
讨论勒让德方程中的参数n，考察系数递推关系式
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
k 0,1, 2,L
情形（１） 当n不取整数时，若 a0 , a1 不为零，则 ak 不