第六章 格林函数法
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
感谢观看
THANKS
量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
第六讲格林函数法刘
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上
G n
|z0
G z
|z0
{ } 1
4
z z0
3
z z0
3
(
x
x0
)2
y
y0
2
z
z0
2
2
[ x x0 2 y y0 2 z z0 2]2
|z0
1
2
z0
(x
x0
)2
y
y0
2
z02
u |z0 f x, y
首先找格林函数 GM , M. 在0 半空间 z的 0
点放M 0 置x0 ,单y0 ,位z0 正电荷， 关于边界 M 0 的对称
点为z 0 ，
M1x0 , y0 ,z0
在M1放置单位负电荷，则它与 M 0处的单位
正电荷所产生的正电位在平面 z 0上互相
u n
dS
4
u
4
u n
0
令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
格林函数法详解
V
q (r r') /0
解 u f (r')d ' G 1 V q
4 | r r'|
4 | r r'|
40 | r r'|
基本思路
原问题 点源问题
关系
u f (r ) u | 0
G (r r ' )
G | 0
f (r) f (r') (r r')d '
A JGdV
V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
第六章 格林函数法
M* 2
M0
又因为v(x0,y0,z0)=M0,说明v(x,y,z)必在V内取最大值。 但一方面，v(x,y,z)在V内取最大值时，其海色矩阵：
vxx vyx
vxy vyy
vxz vyz
V
V
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、第二格林公式
设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲSV上有一阶连续偏导数，它们在 V中有二阶偏导，则：
uv vu dS uv vudV
S
V
证明：由第一格林公式得：
uv dS u vdV uvdV (1)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
数理方程与特殊函数
任课教师：杨春 Email: yc517922@
数学科学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第六章 格林函数法
本章主要介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊 松方程的三类边值问题。
作函数
v(x,
y,
z)
u(x,
y,
z)
M0 M 8R2
*
[( x
x0 )2
(
y
y0
)2
(z
z0 )2
]
其中P(x,y,z)是V中点，R是包含V的球体半径。
26
1
0.5 n 0
0.5
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。
数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数格林函数（Green's function）是常微分方程理论中的一个重要概念。
格林函数是指线性常微分方程解的特定形式，用于将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
格林函数的理论有广泛的应用，包括电磁学、量子力学、流体力学等领域。
我们考虑一个形如L[u]=f(某)的一维线性常微分方程，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，f(某)是已知函数。
我们想要找到方程的解u(某)。
为此，我们引入格林函数G(某,t)，满足以下两个条件：1. 对于每个固定的t，在某>t的区域内，格林函数满足L[G(某,t)]=δ(某-t)，其中δ(某-t)是Diracδ函数。
2.对于边界条件G(a,t)=G(b,t)=0，其中a和b是方程所涉及的区域的边界。
为了求解方程L[u]=f(某)，将解表示为u(某)=∫G(某,t)f(t)dt，其中积分是对整个区间进行的。
然后，我们可以利用格林函数的性质来计算系数函数G(某,t)与未知函数u(某)之间的关系，从而得到方程L[u]=f(某)的解u(某)。
对于常微分方程来说，我们可以通过求解格林函数来求解对应的非齐次方程。
具体的求解步骤如下：1.首先，求解齐次方程L[u]=0，并找到其解u_h(某)。
2.接下来，我们需要求解L[G(某,t)]=δ(某-t)的齐次方程，即L[G(某,t)]=0。
3.根据格林函数的边界条件，我们可以得到G(a,t)和G(b,t)的表达式，并利用这些条件分析求解。
4.最后，将方程的非齐次项f(某)代入到格林函数的表达式中，得到方程的解u(某)。
格林函数的概念和求解方法在物理和工程领域中广泛应用。
例如，在电磁学中，可以利用格林函数求解电荷分布所引起的电势分布；在量子力学中，格林函数用于描述定态和非定态系统中的粒子传播；在流体力学中，格林函数被用于描述流体的流动行为。
总之，格林函数是常微分方程理论中的重要工具，它可以将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
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vΔudV
S
u
v n
dS
若令u=1，可得
ΔvdV
S
v n
dS
二维公式
平面格林公式
D
Q x
P y
d
C
Pdx
Qdy
或写成对弧长积分的形式
（5）
D
Q x
P y
d
Qn1
C
Pn2 ds
其中 n =(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。
（6）
关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系
dy n1ds, dx n2ds
得
x
u
v x
y
u
v y
z
u
v z
dV
S
u
v x
cosn,
x
u
v y
cosn,
y
u
v z
cosn,
z
dS
整理得
uvdV
u
x
v x
u y
v y
u z
v z
dV SBiblioteka uv ndS
于是得到第一格林公式
uΔvdV
u
S
v n
dS
-
gradu gradvdV
（2）
三维公式
利用格林公式，有
ΔUdV
S
U dS n
1
取边界S 为球面，其半径为 r，则有
所以
S
U n
dS
S
U r
dS
S
B r2
dS
4B
B 1 4π
最后得三维拉普拉斯方程的基本解
U 1 4πr
求二维拉普拉斯方程的基本解
解 由定义1 可知，即求U使其满足方程
ΔU x x0, y y0
（2）
以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与θ无关，方程化 为
C
C
u
v x
v
u x
n1
u
v y
v
u y
n2
ds
C
u
v x
n1
v y
n2
-
v
u x
n1
u y
n2
ds
C
u
v n
v
u n
ds
如是证得公式（8）。
几种常用的积分形式
在公式（8）中
uΔvd
D
vΔud
D
C
u
v n
v
u ds n
若令 △v=δ(x,y)，并在边界上取 v=0，可得
u
D
vΔud
（3）
以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与θ无关，方程化 为
其中
ΔU
1 r
d dr
r
dU dr
k 2U
0,
r0
r x x0 2 y y0 2
求解零阶贝塞尔方程得
U r AJ0 kr BY0 kr
考虑到在 r = 0 处，J0(kr)有界，取 A = 0，而 Y0(kr) 具有 (2/π)lnr 的奇异性。为进一步确定B值，对式（3）两边进行 面积分得
的解本解，其中M为区域Ω内任意一点，M0为Ω中的任意一个 固定点。
求三维拉普拉斯方程的基本解
解 由定义 1 可知，即求U使其满足方程
ΔU x x0, y y0, z z0
（1）
以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关，方 程化为
其中
ΔU
1 r2
d dr
r 2
dU dr
由公式（6）可推导出，平面第二格林公式
uΔv - vΔud
D
C
u
v n
v
u n
ds
其中n为边界曲线C的外法线向量。
（7） （8）
推导细节
设
Q u v v u , P u v v u
x x
y y
公式（6）左边等于
D
Q x
P y
d
uΔv - vΔud
D
公式（6）右边等于
推导细节
Qn1 Pn2 ds
C
u
v n
ds
若令 u=1，可得
Δvd
D
C
v n
ds
讨论二维第二格林公式
令
u2
u
v x
v
u x
,
u1
v
u y
u
v y
由三维Stokes环流定理可得二维第二格林公式
D
uΔv
-
vΔud
C
u
v n
v
u n
ds
6.2 基本解
定义 1 设L为线性微分算子，称方程 LU=δ(M-M0)
的解U(M,M0)为方程 LU=0 或LU=f(M)
0,
r0
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
求解常微分方程可得
r2
dU dr
-B,
dU
B r2
dr
U A B r
考虑到基本解在 r=0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一 步确定B值，对式（1）两边进行体积分得
ΔUdV x - x0, y - y0, z - z0 dV 1
Y0
kr
Y0
k
r
~
2
ln
r
练习
利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的 基本解
Δ2U x x0, y y0, z z0
解
以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ,φ无关。若 U满足
ΔU
1 r2
d dr
r 2
dU dr
1 4πr
,
r0
（a）
则必满足
Δ2U 0, r 0 设未知函数表达式为
同理，有
vΔudV
v
S
u n
dS
-
gradu
gradvdV
将上二式两边相减得第二格林公式
uΔv
-
vΔudV
S
u
v n
v
u n
dS
（3） （4）
几种常用的积分形式
在公式（4）中
uΔvdV
vΔudV
S
u
v n
v
u n
dS
若令 △v=δ(x,y,z)，并在边界上取 v=0，可得
u
D
D
利用格林公式，有
ΔUd
D
C
U n
ds
1
取边界C为圆周， 其半径为 r ，则有
所以
C
U n
ds
C
U r
ds
C
Bds r
2B
B 1 2π
于是得二维拉普拉斯方程的基本解
U 1 lnr 2π
求二维亥姆霍斯方程的基本解
解 由定义1 可知，即求U使其满足方程
ΔU k 2U x x0, y y0
ΔU k2U d x - x0, y - y0 d 1
D
D
利用格林公式，有
ΔUd
D
C
U ds n
取边界C为圆周，其半径为 r，则有
1 lim r0 C
U ds n
D
k 2Ud
B
lim
r 0
2r
2
r
2
r k 2 2 ln
0
d
4B
于是得二维亥姆霍斯方程的基本解
U
r
1 4
U Ar
其中A为待定系数。将表达式代入方程（ a ），可得
A 1
8
于是，最后得到双调和方程的基本解
U r
8
6.3 格林函数
二维格林函数的定义
定义2 满足
ΔG2G0， x x0, y y0 ,
在D内， 在B上
的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中B 为平面区域D的边界。
第六章 格林函数法
本章主要研究基本解和格林函数及其 在边值问题和初值问题中的应用，并
介绍混合问题的相关解法。
6.1 格林公式
高斯公式
P x
Q y
R z
dV
Pcosn,x Qcosn, y Rcosn,zdS
S
其中n为S的外法线方向。
取
P u v , Q u v , R u v
x
y
z
（1）
其中
ΔU
1 r
d dr
r
dU dr
0,
r0
r x x0 2 y y0 2
求解常微分方程得
r
dU dr
B,
dU
B dr r
U A Blnr
考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步 确定B值，对式（2）两边进行面积分得
ΔUd x x0, y y0 d 1