10、微分方程与差分方程
微分方程与差分方程的区别
微分方程与差分方程的区别微分方程和差分方程是数学中用于描述自然现象和工程问题的重要方程形式。
它们都是等式，但是它们在描述问题时使用的数学工具和方法却有所不同。
下面将对微分方程和差分方程的区别进行详细介绍。
1.定义：微分方程是描述变量与其导数之间关系的方程，它涉及到无限小的变化量。
差分方程则是描述变量与其差分之间的关系，它涉及有限的变化量。
2.自变量和因变量的类型：微分方程的自变量和因变量通常是连续函数，它们可以在实数域上进行运算。
差分方程的自变量和因变量通常是离散的，它们只能在整数域上进行运算。
3.外推和插值：微分方程可以用于外推和插值问题，即根据方程推导未知函数的行为或者在已知数据点之间插值。
差分方程主要用于外推问题，即根据已知数据点的变化规律推导未知数据点。
4.数学工具和方法：微分方程使用微积分中的概念和方法进行求解，包括导数、积分、极限等。
差分方程使用离散数学中的概念和方法进行求解，包括差分、递推等。
5.近似性：微分方程通常用于描述连续系统，它们在时间和空间上都是连续的。
在实际应用中，我们常常会用差分方程来近似微分方程。
差分方程描述的是离散系统，在时间和空间上是离散的。
6.连续性和稳定性：微分方程的解通常是连续的，因为导数是连续的。
而差分方程的解可能是不连续的，因为差分是离散的。
对于一些差分方程，即使初始条件相似，解也可能收敛到不同的结果，因此稳定性分析在差分方程中非常重要。
7.应用领域：微分方程在物理学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用，如描述运动学、电路等。
差分方程则在信息论、计算机科学和优化问题等领域得到广泛应用，如描述编码、网络路由等。
综上所述，微分方程和差分方程在描述问题时使用的数学工具、描述对象和方法都有所不同。
微分方程主要用于描述连续系统和外推、插值问题，使用连续的数学工具和方法进行求解；而差分方程主要用于描述离散系统和外推问题，使用离散的数学工具和方法进行求解。
两种方程形式各有其适用的领域和方法，但在实际应用中它们常常相互转化和结合使用。
第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
微分方程与差分方程
N， ，
N (t )
Nm Nm r ( t t 0 ) 1 N 1 e 0
.
下面,我们对模型作一简要分析. （1）当 t , N (t ) N m ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 N m ； （2）当 0 N N m 时, 数； （3） 由于
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
N (t ) N 0 e r (t t0 ) ,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计 1961 年地球上的人口总数为 3.06 10 ,而在以后 7 年中,人口总数
9
9 以每年 2%的速度增长,这样 t 0 1961 , N 0 3.06 10 , r 0.02 ,于是
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
定义 3：代数方程组
（5）
f ( x, y) 0 的实数根 x x0 , y y0 ，称它为（5）的一个平衡点 g ( x, y) 0
（或奇点） ，记为 P0 ( x0 , y0 ) . 定义 4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 x (t ) ， y (t ) 都满足
2 T D 0
特征根为 1,2
T T 2 4D . 2
下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究： 1） T 4 D 0
2
3
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ⅰD0 ⅱD0
2
T 0 T 0
二根异号
二根同正 二根同负
O 是不稳定结点 O 是稳定结点
O 是鞍点
显然 O(0, 0) 为系统的奇点，记系统系数矩阵 A
微分方程与差分方程习题课总结
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
差分方程的解
如果函数y = φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
代入原方程, 得 P dP = f ( y, P ). dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y = C1 y1 + C2 y2也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y + py + qy = 0
特征方程为 r 2 + pr + q = 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 = r2
复根r1,2 = i
通解的表达式
y = C1e r1 x + C2e r2 x y = (C1 + C2 x)e r2 x
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y = Ce− P( x)dx （用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y = e− [ P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx + C ] （用常数变易法）
3.可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n) = f ( x) 型
(2) 0，1 设yx = x zx
微分方程差分方程
微分方程差分方程（原创实用版）目录1.微分方程和差分方程的定义2.微分方程和差分方程的联系与区别3.微分方程和差分方程的应用领域正文微分方程和差分方程都是数学领域中重要的方程式，它们各自具有独特的性质和应用，但在某些方面也存在相似之处。
本文将从定义、联系与区别以及应用领域三个方面对微分方程和差分方程进行介绍。
一、微分方程和差分方程的定义微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，描述了物理量在时间、空间上的变化规律。
微分方程中的未知函数通常表示某一物理量的瞬时变化率，如速度、加速度等。
差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了离散系统中各变量之间的变化关系。
差分方程中的未知函数通常表示某一离散系统中各个时刻的变量值，如数列、矩阵等。
二、微分方程和差分方程的联系与区别1.联系微分方程和差分方程都是描述系统变化的数学模型，它们之间存在一定的联系。
微分方程是差分方程的连续形式，而差分方程是微分方程的离散形式。
这意味着，当微分方程中的自变量离散化时，可以得到相应的差分方程；反之，当差分方程中的自变量连续化时，可以得到相应的微分方程。
2.区别微分方程中的未知函数通常表示物理量的瞬时变化率，而差分方程中的未知函数表示离散系统中各个时刻的变量值。
这意味着，微分方程描述的是连续系统中的变化规律，而差分方程描述的是离散系统中的变化规律。
此外，微分方程和差分方程的求解方法也有所不同。
微分方程通常采用积分方法求解，而差分方程则采用代数方法求解。
三、微分方程和差分方程的应用领域微分方程广泛应用于物理、工程、生物学等领域，描述了各种连续现象的变化规律。
例如，牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等都包含微分方程。
差分方程在计算机科学、信息处理、控制论等领域具有重要应用。
例如，数值方法中的欧拉法、龙格 - 库塔法等用于求解常微分方程；离散系统中的状态转移方程、输入输出关系等都可以用差分方程来描述。
微分方程与差分方程之间的关系(例说)
T 为采样周期
i C
U
T
C
U [nT ] U [(n 1)T ] T
iR U [nT ] 0
C
U [nT ] U [(n 1)T ] R U [nT ] 0 T
RC
U [nT ] U [(n 1)T ] U [nT ] 0 T
RC （U [nT ] U [( n 1)T ] U [nT ] 0 T
nT
T
由于 e 1 ( ) 取一次项进行近似：得:
T t
1 T 2 1 T 1 T ( ) ( )3 ... ( )m ... 2! t 3! t m! t
nT T
U (nT ) U (( n - 1)T ) U e （1 - e ） U 1 (0 ) U (0 )e ( ) (nT ) T T
U [0] t n
n
U [t ]
n t n
U [0]
n
n
U [t ]
n t U [0] 1 n t
n t n t U [0] 1 n t t
（U [nT ] U [( n 1)T ]) U [nT ] 0 T
T U [nT ] U [( n 1)T ] 0 这实际上是一阶线性常系数齐次差分方程。 T T
U [nT ] T U [( n 1)T ]
2 3
U [nT ]
即:
T U [( n 2)T ] T U [( n 3)T ] ... T U [0]
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：1.微分方程与差分方程的定义及区别2.微分方程的应用领域3.差分方程的应用领域4.求解微分方程和差分方程的方法5.两者在实际问题中的结合与转化正文：微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。
尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。
本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。
一、微分方程与差分方程的定义及区别1.微分方程微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。
它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。
微分方程可以分为线性和非线性两类。
2.差分方程差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。
差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。
与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。
2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。
3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。
4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。
三、差分方程的应用领域1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。
2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。
3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。
4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。
四、求解微分方程和差分方程的方法1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
微分方程与差分方程简介
方程通解为： 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程，其标准形式是
， 其中 a,b,c 是常数，式中的 f(x)称为右端项。
定理 2 设 是线性非齐次方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方
程的通解，则其和
为线性非齐次方程的通解。
定理 3 设 y1 是非齐次方程 方程
的一个特解， y2 是非齐次
（4）由于λ=1+3i 不是特征方程的根，n=1，故应设特解为 。
本章重点 微分方程的概念，一阶可分离变量微分方程的解法，一阶线性微分方程的解
法，二阶常系数线性微分方程的解法。
内容提示与分析 §8.1 微分方程的一般概念
1． 微分方程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其
一般形式为
。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 2． 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫 做微分方程的阶。 3．微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使 方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4． n 阶微分方程的通解：含有 n 个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方 程的通解。 5．微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。
。
注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的 ln|y+1|写成 ln(y+1)，
只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数
写为 lnC，最终 C 是任意常数。
例 5．求微分方程
的通解。
解：原方程可改写成
它是一个齐次方程。
微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步
两端分别积分：
2 y 2x +ln2 C1 ,即 2x +2 y C 0( C ln 2 C1 )
这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得
cos y dy cos x dx sin y sin x
两端分别积分：
ln sin y ln sin x ln C , 即 sin y Cesinx
是解，又因为含有两个任意常数 C1,C2 ，且方程是二阶的，故是通解.
4.
已知函数
x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x dt 2
k2x
0 的通解,求满足初始条件
x| t0 2 x| t0 0
的特解. 解 ： 上 题 可 知 是 微 分 方 程 通 解 ， 且 x(t) C1k sin kt C2k cos kt, 代 入 初 值 条 件 x |t 0 2, x |t0 0 ，得 C1 2,C2 0 ，所以特解为 x 2coskt(k 0).
x dx
dx
u 1 du dx u
两端分别积分：
u ln u x C 即 y ln y x C xx
这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
dy
1
y x
dx 1 y
x
令 u y , 则 dy u du , 代入原方程并整理
x dx
dx
u 1 du dx ，两端分别积分： 1 ln 1 2u u2 x 1 C
(3)
y
x
y y2
，
y(2)
1；
(4) y y x y5 ， y(0) 1 .
解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得
dy dx
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十、微分方程与差分方程
1. 方程''3'2cos2x y y y e x -+=的特解形式*y =（ ）
A. cos2x Ae x
B. (cos2sin 2)x
xe A x B x +
C. (cos2sin 2)x e A x B x +
D. 2(cos2sin 2)x x e A x B x +
解答：C
其特征方程为2320r r -+=，解得：11r =，22r =，因12i ±不是特征方程的根，故其特解形式应为C 。
2. y =f (x )是方程''2'40y y y -+=的一个解，若0()0f x >，0'()0f x =，则函数f (x )（ ）
A. 在0x 点取得极大值
B. 在0x 点的某邻域单调增加
C. 在0x 点取得极小值
D. 在0x 点的某邻域单调减少 解答：A
因()00f x '=，故0x 为()f x 的驻点，将()00f x '=代入得()()0040y x y x ''=-<，故函数()y f x =在0x 点处取得极大值。
3. 设函数1y ，2y ，3y 都是非线性非齐次方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的不相等的特解，则函数
1211223(1)y c c y c y c y =--++（ ）
（12,c c 为任意常数）
A. 是所给方程的通解
B. 不是方程的解
C. 是所给方程的特解
D. 可能是方程的通解，但一定不是其特解 解答：D
将函数()12112231y c c y c y c y =--++变形为
()()1121231y y c y y c y y =+-+-
因1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的不相等的特解，故21y y -，31y y -都是它的齐次方程的特解，故()()1121231y y c y y c y y =+-+-是非齐次方程的解，但由于21y y -与31y y -是否线性无关无法确定，故不能肯定它是()()()y p x y q x y f x '''++=的通解。
4. .∆以函数28t t y A =+为通解的差分方程是（ ）
A. 21320t t t y y y ++-+=
B. 12320t t t y y y ---+=
C. 128t t y y +-=-
D. 128t t y y +-= 解答：C
①将28t t y A =+代入A 得
()()()2121322
8328228t t t t t t y y y A A A ++++-+=+-+++ ()24620t A =-+=
即已知函数是A 的解。
但A 是二阶常系数差分方程，其通解中应含有两个任意常数，因此28t
t y A =+不是A 的通解。
②同理可知28t t y A =+也不是二阶差分方程B 的通解。
③将28
t t y A =+代入C ，左边()()1122
82288t t t t y y A A ++=-=+-+=-=右边，且28t t y A =+中仅含一个任意常数，故已知函数是一阶常系数差分方程C 的通解。
故选C 。
5. 函数1()y x 、2()y x 是微分方程'()0y p x y +=的两个不同特解，则该方程的通解为（ ）
A. 1122y c y c y =+
B. 12y y cy =+
C. 112()y y c y y =++
D. 12()y c y y =- 解答：D
因为()1y x 、()2y x 是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解，所以12y y -是该方程的一个非零特解，根据解的结构，得方程通解为()12y c y y =-。