最新微分方程与差分方程

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微分方程与差分方程

λ = −1± i, 则齐次方程的通解为 y = e−x (C1 cos x + C2 sin x). 因 −1+ i 是单特征根，故设原非齐次方程的特解为
y* = xe−x[( A0 x + A1) cos x + (B0 x + B1) sin x].
402
把它代入原非齐次方程得
4B0 x cos x + 2(A0+B1) cos x − 4A0 x sin x + 2(B0−A1) sin x = x cos x + 3sin x,
解将特解 y = e2x + (1+ x)ex 代入原非齐次微分方程得 (4 + 2 p + q)e2x + (3 + 2 p + q)ex + (1+ p + q)xex = rex.
比较系数，得方程组
⎧2 p + q = −4, ⎧ p = −3;
⎪⎨2 p + q − r = −3,⇒ ⎪⎨q = 2;
tan y
tan x
∫
1 tan
y
d
tan
y
=
−∫
1 tan
x
d
tan
x,
ln(tan y) = − ln(tan x) + ln C, 故通解为 tan x tan y = C. 例3 求微方程 cos ydx + (1+ e−x ) sin ydy 在 y(0) = π 下的特解.
4
解原方程变形为 (1+ e−x ) sin ydy = − cos ydx, 分离变量，得
过程，只要对所给通解求若干次导数，以消去所有任意常数即可.

第十章微分方程与差分方程

微积分教案第十章微分方程§10.1 微分方程的基本概念教学目的与要求：了解微分方程的阶、通解与特解等概念。

掌握一阶可分离变量方程的解法。

教学重点（难点）：区分解与通解。

可分离变量方程的解法。

例：一条曲线通过点(1,2)，且在曲线上任一点处的切线斜率为2x +1，求曲线方程。

定义：含未知函数、未知函数的导数或微分以及自变量之间关系的方程叫做微分方程。

微分方程中未知函数的最高阶导数称为微分方程的阶。

例：指出下列各微分方程的阶1. y''+y' 3+xy 4=sin x2. y'+xy''+(y'')3+2y 5=13. y'+y y'=1+x 54. y'''=y注意：在一个微分方程中，自变量x 、未知函数y 可以不出现，但未知函数的导数或微分不能不出现。

如果一个函数代入微分方程能使之成为恒等式，称该函数为微分方程的解。

如果微分方程的解中含有独立的任意常数个数与微分方程的阶相同，则称这解为微分方程的通解。

用一些条件确定通解中的任意常数而得到的解称为微分方程的特解。

用来确定通解中任意常数的条件叫做初始条件。

一阶微分方程初始条件的提法为：00y y x x ==二阶微分方程初始条件的提法为：00y yx x ==，*00y y x x ='=§10.2 一阶微分方程（一）一、可分离变量的微分方程一阶微分方程：y'=f (x ,y )若能化为y'=h (x )⋅g (y )，则称该方程为可分离变量的微分方程。

例如：y'=2x +1这是可分离变量的微分方程，解这个微分方程只要方程两边积分：y=x 2+x +C.又如y'=2xy 2这也是可分离变量的微分方程，但这个微分方程就不能两边直接积分，这是因为⎰dx xy 22含有未知函数y 。

但若把上面的微分方程变形为：xdx dy y212=两边积分得：C x y+=-21一般地，若y'=h (x )⋅g (y )把方程变形为：dx x h dy y g )()(1=，若y=ϕ(x )是方程的解，则有：dx x h dx x x g )()()]([1='ϕϕ两边对x 积分，左边利用凑微分法：⎰⎰=dx x h dy y g )()(1。

第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件

x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .

第5章微分方程与差分方程

两边积分，得故
dy = − p( x) d x ， ( y ≠ 0) ， y y = 0 对应于 ln | y | = − ∫ p ( x) d x + C1 ， C＝。 0
y = ±e ⋅ e ∫
C1 − p( x)d x
。
记 C = ± eC1，得一阶齐线性方程的通解为 y = Ce ∫
− p( x)d x
2d y = d x， 2 y −1
对上式两边积分，对上式两边积分，得原方程的通解 y −1 ln = x + C1 。 y +1 经初等运算可得到原方程的通解为隐函数形式
1 + Ce x y= 。 (C = ± eC1 ) 1 − Ce x 你认为做完了没有？你认为做完了没有？
代入原方程可知：令 y 2 − 1 = 0 ，得出 y = ±1，代入原方程可知：
5、初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
dx = t2 dt
d2 y dy +b + cy = sin x 2 dx dx d x − x2 = t3 dt
2
一阶线性二阶线性一阶非线性
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式为
F ( x, y′, y′′, L , y ( n ) ) = 0 。
dN = rN (1 例1、 ) dt N ( 0) = N 0

微分方程与差分方程方法

第四章微分方程与差分方程方法第一节微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。

一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。

自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。

微分方程与差分方程方法

微分方程和差分方程方法课件

适用范围
01
适用于求解具有特定形式的一阶微分方程组。
解法描述
02 通过引入特征线的概念，将微分方程转化为常微分方
程沿特征线的积分，从而简化求解过程。
实例
03
以一阶微分方程组为例，通过特征线法可以得到通解
表达式。
幂级数法
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如线性微分方程、常系数线性微分方程等。
01
数学家贡献
众多数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日等都对微分方程的发展做出了重要贡献。
02
03
现代应用
现代科学技术领域如物理学、生物学、经济学等广泛使用微分方程来描述和预测现象。
差分方程的历史与发展
早期起源
差分方程起源于17世纪，主要用于解决与离散序列有关的问题。
数学家贡献
欧拉、高斯等数学家对差分方程的发展做出了重要贡献。
02
微分方程的解法
分离变量法
01
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如波动方程、热传导方程等。
02
03
解法描述
实例
将微分方程中的未知函数分离出来，转化为几个常微分方程的组合，然后分别求解。
以一维波动方程为例，通过分离变量法可以得到波函数的形式为 y(x,t)=f(x)g(t)。
特征线法
化性能。
高性能计算与并行计算
利用高性能计算机和并行计算技术，加速微分方程和差分方程的求解过程。
多尺度方法
研究多尺度方法，处理不同尺度的微分方程和差分方程，适应不同应用场景的需求。
当前面临的挑战
算法复杂度与计算效率由于微分方程和差分方程的复杂性，往往需要设计高效的算法来降低计算复杂度，提高计算效率。

微分方程和差分方程简介

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（二）建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数若步长h较小，则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
解首先分离变量，得
g ( y )dy
f ( x ) dx C
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分，得即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为 y Ce
二、常见的微分方程的类型及其解法：
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法：分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解其中C为任意常数。
例1 求
解
d2y
2
dx du 1 u 2 的通解. dt
0 应表达为：D2y=0.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结
果：u = tg(t-c)
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析，当 t 时，x(t ) ，表明人口将无限增长。马尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一种误解。

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微分方程与差分方程第八章微分方程与差分方程一、作业题1．«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为任意常数(2)«Skip Record If...»设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...» (代入上式) «Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(3)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(4)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»满足«Skip Record If...»的特解为«Skip Record If...»(5)设«Skip Record If...»代入（1）式中，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»满足初始条件的特解为«Skip Record If...»(6)特征方程为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70故方程的两个特解为«Skip Record If...»得到通解«Skip Record If...»因此方程满足初始条件«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»所以满足初始条件的特解为«Skip Record If...»2.依题意，«Skip Record If...» («Skip Record If...»为常数)，且初始条件为«Skip Record If...»故解微分方程«Skip Record If...»，两边同时积分«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入初始条件，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»、二、练习题1.填空（1）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为任意常数）（2）«Skip Record If...»（3）2（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»2.选择（1）D（2）C（3）A（4）C（5）C3.求下列微分方程的解：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»即满足初始条件的特解为«Skip Record If...»（2）设«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»又由初始条件«Skip Record If...» «Skip Record If...»得«Skip Record If...»，特解为«Skip Record If...»（3）解：该方程为一阶线性非齐次方程，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（4）解：该方程可化为齐次方程 «Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入上式得«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»即为方程的通解（其中«Skip Record If...»）（5）解：特征方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»特征根为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故方程的通解为 «Skip Record If...»（6）解：特征方程为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»特征根为«Skip Record If...»，故方程的通解为 «Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70(7)解：特征方程为«Skip Record If...»，特征根为«Skip Record If...»，故方程的通解为 «Skip Record If...»代入初始条件«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»所以方程的特解为«Skip Record If...»4．解：由题意得 «Skip Record If...»，则«Skip Record If...»方程为一阶线性非齐次方程，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»又因为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，从而原方程的解为«Skip Record If...»5．解：由题意有«Skip Record If...»方程为可分离变量微分方程，分离变量得«Skip Record If...»两边积分求得通解为 «Skip Record If...»又因为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»为所求6．解：方程可化为 «Skip Record If...»方程两边同时对«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（*）令方程 «Skip Record If...»中«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，代入（*）式有«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»7．解：由题意有«Skip Record If...»方程为可分离变量微分方程，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70分离变量得 «Skip Record If...»，两边积分求得 «Skip Record If...»整理得«Skip Record If...»，代入«Skip Record If...»得«Skip Record If...»；代入«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，所以方程的解为«Skip Record If...»故当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»（尾）三、提高题1．解：由题意得 «Skip Record If...»，两边对«Skip Record If...»求导得 «Skip Record If...»整理得 «Skip Record If...»2．解：方程«Skip Record If...»两边同时对«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»整理得«Skip Record If...»3．求下列微分方程的通解（1）解：该方程可化为齐次方程 «Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入上式得«Skip Record If...»分离变量得 «Skip Record If...»«Skip Record If...»即 «Skip Record If...»（令«Skip Record If...»）再将 «Skip Record If...»代入上式得方程的通解 «Skip Record If...»(2) 解：方程可化为一阶线性非齐次方程 «Skip Record If...»，其中«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(3) 解：方程可化为一阶线性非齐次方程 «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»代入初始条件«Skip Record If...»时«Skip Record If...»，解得 «Skip Record If...»，故«Skip Record If...»（4）解：该方程为齐次方程，设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，代入上式得 «Skip Record If...»分离变量得 «Skip Record If...» «Skip Record If...»再将 «Skip Record If...»代入上式得方程的通解 «Skip Record If...»，又因为 «Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»（5）解：方程可化为一阶线性非齐次方程 «Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢704．解：设质点运动的速度为«Skip Record If...»，由题意«Skip Record If...»方程整理为一阶线性非齐次方程为 «Skip Record If...»其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»方程的通解为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»5．解：由题意«Skip Record If...»，（«Skip Record If...»），解得«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，又因为«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»综上，«Skip Record If...»6．解：销售函数为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为最大销售量，则由题意有«Skip Record If...»，该方程为可分离变量微分方程，分离变量得 «Skip Record If...»，两边积分得 «Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70。