微分方程与差分方程详细讲解与例题
第七章 常微分方程与差分方程
常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容：
1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()()
dy
g y y f x g y f x dx g y '≠=?
=时，然后左、右两端积分 (),()dy
f x dx C
g y =+??
上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1
()()
dy g y g y ?
表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
【详解】()()dx
dy
y x y =
++='11 ， ()dx x y dy 11+=+∴ .
两边积分得()??
+=+dx x y dy 11， 即 ()12
12
11ln c x y ++=+， ()()221
121
121
1++=
?±=+∴x x c Ce
e
e
y ，()1212
1
-=∴+x Ce
y ，C 为任意常数。
【例7.2】微分方程()()
022=-++dy y y x dx x xy ，当0=x 时，1=y 的特解为____________。 【详解】分离变量得 ()()
01122=-++dy x y dx y x ，01
1
22=++
-∴
dy y y dx x x .
积分得??
=++-1221
1
C dy y y dx x x ，1221ln 2
1
1ln 21C y x =++-∴
， ()
122211ln C y x =+-，即()()C e y x C =±=+-122211.
令1,0==y x ，则C =-2， ∴所求特解为()()
21122-=+-y x . 【例7.3】若连续函数()f x 满足关系式()20
ln 22x
t f x f dt ??
=+ ???
?
，则 ()f x 等于（ ）
（A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x
e +
【详解】对所给关系式两边关于x 求导，得()()2f x f x '=，且有初始条件()0ln 2f =. 于是，
()()2f x f x '=，
()
()
2df x dx f x =，积分得 ()ln ||2ln ||f x x C =+，故 ()2.x f x Ce =
令()20,ln 2.ln 2.x
x C f x e
===得故应选（B ）。
【例7.4】已知曲线()()10,,,2y f x x y ?
?=- ??
?
过点且其上任一点处的切线斜率为
()
2ln 1,x x +则()_______f x =.
【详解】()()
201ln 1,|.2x dy y f x x x y dx ===+=-满足
()()()()()
222222111
ln 1ln 11ln 1222
y x x dx x d x x x x C =+=+=++-+?? 将
10,,2x y ==-代入上式1
.2
C =-得
()()(
)
221
1ln 11.2
f x x x ??=++-????故
【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0>k 。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时，融化了其体积的
8
7
，问雪堆全部融化需要多少小时？ 【详解】半径为r 的球体体积为33
4r π，表面积为2
4r π，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t 时刻的底面半径为r ，于是雪堆在t 时刻的体积3
3
2r V π=，侧面积22r S π=。其中体积V ，半径r 与侧面积S 均为时间t 的函数。
由题意，有kS dt
dv -=. 222332r k dt dr
r ππ?-=?∴ 。
即
kdt dr k dt
dr
-=-=,， ??-=dt k dr ，c kt r +-=∴ 又0=t 时，00
r r t ==, C r =∴0，即0r kt r +-= .
而0
3
8
1===t t V V
，即 ()30303
2
81332r r k ππ?=+- .
061r k =
∴，006
1
r t r r +-=。 当雪堆全部融化时，0,0==V r
∴令006
1
0r t r +-
= ，得6=t （小时）
。 【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x （将)(t x 视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数0>k ，求)(t x 。
【详解】首先要根据题中所给条件，建立)(t x 的微分方程。由于题中条件很明确，即：)(t x 的变化率
dt
dx
与())()(t x N t x -?成正比，容易得出)(t x 的微分方程，再求出特解即得)(t x 。 由已知得()?????=-==0
0x x x N kx dt dx
t , 分离变量，得()kdt x N x dx =- .
积分得()?
?
=-kdt x N x dx
即 ()????? ??-+=-=+dx x N x N x x N dx c kt 1111???
?
??--=dx N x x N 111
x
N x N N x x N -=-=
ln 1ln 1 1ln
Nc Nkt x N x +=-∴ , Nkt Ntk NC Ce e e x
N x =?=-1 . Nkt
Nkt ce Nce x +=
∴1 , 又00
x x
t == ∴代入得 0
x N x C -=
， 故 Nkt
Nkt e
x x N e Nx t x 000)(+-=
。
【考点八十四】形如
??
?
??=x y dx dy ?的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令x y u =，则dx du x u dx dy ux u +==,，代入得 ()u dx
du
x u ?=+ .分离变量，得
()x dx u u du =-? 。两端积分，得()??=-x dx u u du ?，求出积分后，将u 换成x
y
，即得齐次方程的通解。
【例7.7】求初值问题()?????=>=-?
?
? ?
?++=0
0 012
2x y x xdy dx y
x y 的解。 【详解】022=-??
? ?
?++xdy dx y x y ()0x >
dy dx ∴=
2
1??
?
??++=x y x y 故此方程为齐次方程，其解法是固定的。 令dx du x u dx dy xu y x y u +===
,,，故21u u dx
du x u ++=+
x
dx
u
du =
+∴
2
1，积分得 ()
12ln 1ln c x u u +=++
x e e u u c C x ?==++∴+11ln 21Cx =
代入x y
u =，得 Cx x
y x y =++221
即222cx y x y =++，由已知01
==x y
，代入得
101022?=++C ， 1=∴C
∴所求初值问题的解为 222x y x y =++，化简得()
12
12
-=
x y . 【例7.8】设函数)(x f 在),1[+∞上连续。若由曲线)(x f y =，直线)1(,1>==t t x x 与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 )].1()([3
)(2f t f t t V -=
π
试求
)(x f y =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件9
2
2
=
=x y
的解。 【详解】由旋转体体积计算公式得,)()(12
dx x f
t V t
?=π
于是，依题意得
)]1()([3
)(21
2f t f t dx x f t
-=
?π
π .
两边对t 求导得 ).(')(2)(32
2
t f t t tf t f += 将上式改写为 xy y y x 23'2
2
-=，即
.2)(32x
y x y dx dy ?-= 令x y u =
，则有 ).1(3-=u u dx
du
x 当1,0≠≠u u 时，由
x dx u u du 3)1(=-. 两边积分得31
Cx u
u =-.
从而方程
x
y
x y dx dy ?-=2)(32的通解为C y Cx x y (3=-为任意常数）。 由已知条件，求得,1-=C 从而所求的解为
y x x y 3
-=-或).1(13
≥+=
x x
x
y 【例7.9】求微分方程2
2
2
(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=的通解.
【详解】将微分方程222
(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=进行恒等变形，化为
22
223.2dy y xy x dx x xy
--=- 设y xu =，有
()
23121u u du x dx u --=--，则 22131
u du dx x u u -=---. 积分得
232231,.u u Cx xy x y x C ---=--=即
【考点八十五】1. 形如
()()0dy
p x y Q x dx
+=≠的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为：[]
?+?=?-c e
x Q dx x p )(p(x)dx )(e y . 【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分
?
和dx x p )(dx e x Q dx
x p ??
)()(，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c 。
2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。
3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程()()y p x y Q x '+=等价于
p(x)dx
()e [()]().p x dx
y p x y e Q x ?
?
'+=?即).(][)()(x Q e y e dx x p dx x p ??='??
两边积分得,)()()(?+?
=??
c dx e x Q y e dx
x p dx
x p
即 .])([)()(?+??=-c dx e x Q e y dx
x p dx x p
【例7.10】微分方程x x y y x ln 2=+'满足9
1
)1(-=y 的解为 . 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：
?
+??
=-])([)()(C dx e x Q e y dx
x P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 x y x
y ln 2
=+
'， 于是通解为 ??+?=
+???=-
]ln [1
]ln [222
2
C xdx x x
C dx e
x e
y dx
x dx
x =
2191ln 31x
C x x x +-，
由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.9
1ln 31x x x y -=
【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求
解：原方程可化为
x x xy y x ln 22
2
=+'，即 x x y x ln ][2
2
='，两边积分得
C x x x xdx x y x +-==
?332
2
9
1ln 31ln ， 再代入初始条件即可得所求解为.9
1
ln 31x x x y -=
【例7.11】设,x p(x )y y x 的一个解是微分方程=+'=x
e y 求此微分方程满足条件
02
ln ==x y
的特解。
【详解】先求p(x),
x y e =是方程xy p(x)y x '+=的解，∴代入方程得x x (e )(),
x p x e x '?+=解出代入原方程得.)(x xe x p x -=-
-x xy (xe )x y x '+-=，即 .1)1(e y -x =-+'y
这是一阶线性非齐次微分方程，而的通解公式为)()(x Q y x p y =+'：
??
????+??=?C dx e x Q e y dx x p p(x)dx -)()( 对应地，1)(,1)(=-=x Q e x P x
()
()??
???
?
+???
=∴?-----c dx e e y dx e dx e
x x
111()()??????+=?----+c dx e e x
x
e x e x
()()
??
????
+-=--+?--C e d e e x e e
x x
x
()??
?
??
?+=---+C e e x x
e e
x ()x
e
x x Ce e -++=
又由02ln ==x y
，得C e ?+=
2
1
220，即21
-
-=e c ，
)
2
1
(-+--=∴x e x x
e
e y 。
【例7.12】设)(x f 为连续函数，（1）求初值问题
?
?
?==+'=0)
(0x y x f ay y 的解)(x y ，其中a 是正常数；（2）若k x f ≤)(（k 为常数）。 证明：当0≥x 时，有()
ax e a
k
x y --≤1)( 【详解】原方程的通解为
常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
最新微分方程与差分方程
微分方程与差分方程
第八章微分方程与差分方程 一、作业题 1．?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?为任意常数 (2)?Skip Record If...? 设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? (代入上式) ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? (3)?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? (4)?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 满足?Skip Record If...?的特解为?Skip Record If...? (5)设?Skip Record If...?代入（1）式中， ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?满足初始条件的特解为?Skip Record If...? (6)特征方程为?Skip Record If...?，解得?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70
习题详解-第10章微分方程与差分方程初步
习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=． 解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分：
高等数学微分方程练习题
(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、
(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确
第七章 微分方程经典例题
第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----
微分方程练习题基础篇答案
常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=
9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+
微分方程例题选解
微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。
第10章 微分方程与差分方程
第十章 微分方程与差分方程 A 级自测题 一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）． A ．xy y e '=． B ．x xy y e '+=． C ．22()()0x xy dx y x y dy +++=． D ．0yy y x '+-=． 2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）． A ．1y xy y '''++=． B ．2()5yy y '''+=． C ．x y xe y ''=+． D ．2(1)(1)x y x y ''-=+． 3．若连续函数()f x 满足关系式30()()ln 33 x t f x f dt =+?，则()f x 等于（ ）． A ．ln 3x e ． B ．3ln 3x e ． C ．ln 3x e +． D ．3ln 3x e +． 4．函数28x x y A =?+是差分方程（ ）的通解． A ．21320x x x y y y ++-+=． B ．12320x x x y y y ---+=． C ．128x x y y +-=-． D ．128x x y y +-=． 二、填空题（每小题5分，共20分） 1．微分方程2sin d d ρρθθ +=的阶数为 ． 2．一阶线性微分方程()()y g x y f x '+=的通解为_________． 3．微分方程0y y e '+=满足初始条件(1)0y =的特解为_________． 4．差分方程12x x y y +-=的通解为 ． 三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分） 1．240ydx x dy dy +-=； 2．()220x y dx xydy +-=；
常微分方程基本概念习题附解答
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为x.y的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方 程，这里的连续函 数.n 3、如果存在常数-对于所 有函数称为在R 上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的 任一解- 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点
的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证 明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题 2 一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 微分方程是. 2、方程的通解中含有任意常数的个数为. 3、方程有积分因子的充要条件为. 4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件． 5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它 们(有或无)共同零点． 7、设是方程的通解，则 . 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与 线性无关的另一解 . 9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线 性无关解是 .
10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 . 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给 出在解的存在区间的误差估计.（10分） 四、求解微分方程组 满足初始条件的解.（10%）五、证明题：（10%） 设，是方程
微分方程例题
1. 求下列微分方程的通解: (1)x e y dx dy -=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+?=+???=-----??. (2)xy '+y =x 2+3x +2; 解 原方程变为x x y x y 231++=+'. ])23([1 1C dx e x x e y dx x dx x +??++?=?- ])23([1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=?? x C x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223. (3)y '+y cos x =e -sin x ; 解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +???=?-- )()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+?=---?. (4)y '+y tan x =sin 2x ; 解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +???=?- )2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +?=?- ?+?=)cos 1cos sin 2(cos C dx x x x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0; 解 原方程变形为1 cos 12 22-=-+'x x y x x y . )1cos (12212 22C dx e x x e y dx x x dx x x +??-?=?--- )(sin 1 1])1(1cos [112222C x x C dx x x x x +-=+-?--=?. (6)23=+ρθ ρd d ; 解 )2(33C d e e d d +???=?-θρθθ )2(33C d e e +=?-θθθ θθθ3333 2)32(--+=+=Ce C e e .
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
微分方程与差分方程详细讲解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
微分方程习题教材
微分方程和差分方程作业题 专业：土规1101班 姓名：刘迈克 学号：2011306200521 微分方程模型作业： 1．用matlab 求解微分方程组 00dx x y dt dy x y dt ?++=????+-=?? （1）求在初始条件0|,1|00====t t y x 下的特解，并画出解函数()y f x =的图形． （2）分别用 ode23、ode45 求此微分方程组初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t ∈．利用画图来比较两种求解器之间的差异． 解： 程序： [x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0', ... 'x(0)=1', 'y(0)=0', 't') ezplot(x,y,[0,5]); （1） =x t t t t e e e e 22224242212 1+-+ 4242 22t t e e y -= （2） 先编写函数文件 verderpol.m function xprime=verderpol(t,x)
xprime=[-x(1)-x(2); -x(1)+x(2)]; 再编写脚本文件 vdpl.m，在命令窗口直接运行该文件 clear; y0=[1;0]; [t,x]=ode45（23）('verderpol',[1,40],y0); plot(t,x(:,1),'or-'); ode45求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解) Ode23求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解) 两种求解器之间的差异： 由图像可知，Ode45求解器的图像中点数比较多，更加精确。 2．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升
微分方程与差分方程 详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
第十二章-微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
微分方程习题及解答
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是 ． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解：
第六章 微分方程习题
第六章 微分方程 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9．221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 10．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( ) 11．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=。( ) 12．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解。( ) 13．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数)。( ) 14．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为1212+= x y e e 。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()() 022=-++dy y x y dx x xy 是 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。
常微分方程与差分方程知识点
常微分方程与差分方程知识点 考试纲要 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 考试要求 1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 3、会解二阶常系数齐次线性微分方程 4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 7、会用微分方程求解简单的经济应用问题 重要知识点 1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2、变量可分离微分方程解法 g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C 3、齐次微分方程解法 dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u dx x x (u) u x x 附：可化为齐次的方程 c C| 0,可化为齐次微分方程 a b . . a1 bi dy ax by c dx ax by c c或c o a b a b x X h 0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k 设印b,dy ax by c ,令ax a b dx (ax by) c 则可化为史的变量可分离微分方程 dx by v, 0,
7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。 若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。 对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解 y t*与对应齐次方程通解之和。即: ? t y t y t C a 。