微分方程和差分方程简介
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常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
微分方程与差分方程
N， ，
N (t )
Nm Nm r ( t t 0 ) 1 N 1 e 0
.
下面,我们对模型作一简要分析. （1）当 t , N (t ) N m ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 N m ； （2）当 0 N N m 时, 数； （3） 由于
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
N (t ) N 0 e r (t t0 ) ,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计 1961 年地球上的人口总数为 3.06 10 ,而在以后 7 年中,人口总数
9
9 以每年 2%的速度增长,这样 t 0 1961 , N 0 3.06 10 , r 0.02 ,于是
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
定义 3：代数方程组
（5）
f ( x, y) 0 的实数根 x x0 , y y0 ，称它为（5）的一个平衡点 g ( x, y) 0
（或奇点） ，记为 P0 ( x0 , y0 ) . 定义 4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 x (t ) ， y (t ) 都满足
2 T D 0
特征根为 1,2
T T 2 4D . 2
下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究： 1） T 4 D 0
2
3
华南农业大学数学建模培训
ⅰD0 ⅱD0
2
T 0 T 0
二根异号
二根同正 二根同负
O 是不稳定结点 O 是稳定结点
O 是鞍点
显然 O(0, 0) 为系统的奇点，记系统系数矩阵 A
微分方程与差分方程的区别
微分方程与差分方程的区别
微分方程和差分方程是描述各种现象和过程的数学模型。
微分方程描
述连续变量的变化，而差分方程描述离散变量的变化。
具体而言，微分方程表示一个函数与它的导数之间的关系，而差分方
程则是描述一个序列与其各项差分之间的关系。
在微分方程中，变量和函
数是连续的，可以取任意值；而在差分方程中，变量和序列只能取整数值。
另外，微分方程有解析解，即可以求出函数的解析表达式；而差分方
程则通常需要用数值方法进行求解。
总之，微分方程和差分方程有着不同的应用领域和求解方法，但它们
都是数学上重要的工具，在物理、工程、经济等实际问题中都有广泛应用。
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程，如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程，如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法，通过分析系统 状态的变化趋势，判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数，来研究非线性 系统的稳定性，这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型，通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似，但时间或空间变量是离散的，而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
第九章--微分方程与差分方程简介
19
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：1.微分方程与差分方程的定义及区别2.微分方程的应用领域3.差分方程的应用领域4.求解微分方程和差分方程的方法5.两者在实际问题中的结合与转化正文：微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。
尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。
本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。
一、微分方程与差分方程的定义及区别1.微分方程微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。
它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。
微分方程可以分为线性和非线性两类。
2.差分方程差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。
差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。
与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。
2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。
3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。
4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。
三、差分方程的应用领域1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。
2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。
3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。
4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。
四、求解微分方程和差分方程的方法1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
微分方程与差分方程简介
方程通解为： 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程，其标准形式是
， 其中 a,b,c 是常数，式中的 f(x)称为右端项。
定理 2 设 是线性非齐次方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方
程的通解，则其和
为线性非齐次方程的通解。
定理 3 设 y1 是非齐次方程 方程
的一个特解， y2 是非齐次
（4）由于λ=1+3i 不是特征方程的根，n=1，故应设特解为 。
本章重点 微分方程的概念，一阶可分离变量微分方程的解法，一阶线性微分方程的解
法，二阶常系数线性微分方程的解法。
内容提示与分析 §8.1 微分方程的一般概念
1． 微分方程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其
一般形式为
。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 2． 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫 做微分方程的阶。 3．微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使 方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4． n 阶微分方程的通解：含有 n 个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方 程的通解。 5．微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。
。
注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的 ln|y+1|写成 ln(y+1)，
只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数
写为 lnC，最终 C 是任意常数。
例 5．求微分方程
的通解。
解：原方程可改写成
它是一个齐次方程。
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解 首先分离变量 ，得 x ) dx C
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分，得 即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为 y Ce
故有公式：
y i 1 y i hf ( xi , y i ) i 0,1,2, , n - 1 y 0 y ( x0 )
此即欧拉法。
2、使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：
y ( xi 1 ) y( xi )
x3
以后为了方便起见，我们可把 ln y 写成 ln y, 但要 记住结果中的常数C可正可负。 显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
C=0即可。
2.
一阶线性微分方程
形如 y P( x) y Q( x) (1) 的方程叫做一阶线性微分方程
解法：常数变易法。得到通解
y Ce
返 回
四、微分方程的数值解
（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多 得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得 到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到 一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
y' f(x,y) 对常微分方程： ， 其数值解是指由初始点x 0 开始 y(x0 ) y0 的若干离散的x值处，即对x0 x1 x2 xn， 求出准确值y(x1 ), y ( x2 ),, y ( xn ) 的相应近似值y1 , y2 ,, yn。
0
x x0 (1 r0 ) k
(3.1)
这里实际暗含着年增长率不变的假设。
i. 指数增长模型(Malthus模型)
设 t 时刻的人口为 x (t ) ，经过一段短的时间 t 后，在 t t 时刻，人口数量变化为 x(t t ) 。 由基本假设，在这段短的时间 t 内，人口数量 的增加量应与当时的人口 x (t ) 成比例，不妨设 比例系数为 r0 ，即 t 内人口的增量可写为
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当 t 时，x(t ) ，表明人口将无限增长。马 尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数 增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的 矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯 并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两 者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚 至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏 制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一 种误解。
由待解 方程写 成的m文件名
函数的 ts=[t0，tf]， 初值 t0、tf为自 变量的初 值和终值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
三、利用Matlab求微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
0 yi(1) yi hf ( xi , yi ) h ( k 1) k yi 1 yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi(1) )] k 0,1,2, 2
k k （k 对于已给的精确度， 当满足 yi(11) yi(1) 时， y i 1 yi 11） 取 ，
返 回
（二）建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数 若步长h较小，则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
一、 微分方程的基本概念
含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程.未知函 数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
ii.阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)
Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家 Verhulst 修正。他提出的假设包括： 1、由于自然资源(自然资源条件和环境条 件)的约束，人口存在一个最大容量 xm 。 2、增长率不是常数，随人口增加而减少。 它具有以下性质： 当人口数量 x (t ) 很小且远小于 xm 时， 人口以固定增长率 r0 增加； x (t ) 接近 xm 当 时，增长率为零。 r0 和 xm 可由统计数据确定。 满足上述性质的增长率可以写作
xi 1 xi
xi 1 xi f (t , y(t )) dt [ f ( xi , y( xi )) f ( xi 1 , y ( xi 1 ))] 2
故有公式：
h y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i 1 )] 2 y 0 y ( x0 )
二、常见的微分方程的类型及其解法：
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法：分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量 的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
x(t t ) x(t ) r0 x(t )t
等式两边同除以 t ，当 t 0 时
x(t t ) x(t ) lim r0 x(t ) t 0 t
等号的左边即是导数 d x d t ，已知初始时刻人口 数量为 x0 ，则
d x d t r0 x (t ) x ( 0) x 0
(3.2) 就是描述人口随时间变化的带初始条件的微 分方程。
用分离变量法，得
x(t ) x0 e r0 t
从上式看出人口随时间呈指数增长， 因此该模型称 为指数增长模型。 不妨将它应用到我国人口的预测 上
x 11.6 e 0.014810 13.45 亿
与前面的结果 13.44 亿非常相近。
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。
•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 •线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 返 回
（三）可以用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
的微分方程称为二阶常系数线性微分方程。
解法：齐次方程的通解+原方程的特解=原方程的通解
特征方程 r 2 pr q 0的根 齐次方程 y py qy 0 的通解 y C1e r x C2 e r x 两个相异实根 r r2 1 y (C1 C2 x )e rx 两个相等实根 r r1 r2
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x)e
例1 求方程xy y e x的通解 y ex 解 将方程改写为 y x x 它是一阶线性微分方程，其中 1 ex P( x) , Q( x) x x
直接利用非齐次方程的通解公式，得
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）
例3
求微分方程组的通解. dx dt 2 x 3 y 3 z dy 4 x 5 y 3z dt dz 4 x 4 y 2 z dt
d2y dy p qy f ( x); 2 dx dx
dy y 2 x; dx dny 1 0; ... n dx
解：满足等式的函数
特解：在特定初始值条件下的解
通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常
数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分，得 即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为 y Ce
故有公式：
y i 1 y i hf ( xi , y i ) i 0,1,2, , n - 1 y 0 y ( x0 )
此即欧拉法。
2、使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：
y ( xi 1 ) y( xi )
x3
以后为了方便起见，我们可把 ln y 写成 ln y, 但要 记住结果中的常数C可正可负。 显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取
C=0即可。
2.
一阶线性微分方程
形如 y P( x) y Q( x) (1) 的方程叫做一阶线性微分方程
解法：常数变易法。得到通解
y Ce
返 回
四、微分方程的数值解
（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多 得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得 到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到 一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。
y' f(x,y) 对常微分方程： ， 其数值解是指由初始点x 0 开始 y(x0 ) y0 的若干离散的x值处，即对x0 x1 x2 xn， 求出准确值y(x1 ), y ( x2 ),, y ( xn ) 的相应近似值y1 , y2 ,, yn。
0
x x0 (1 r0 ) k
(3.1)
这里实际暗含着年增长率不变的假设。
i. 指数增长模型(Malthus模型)
设 t 时刻的人口为 x (t ) ，经过一段短的时间 t 后，在 t t 时刻，人口数量变化为 x(t t ) 。 由基本假设，在这段短的时间 t 内，人口数量 的增加量应与当时的人口 x (t ) 成比例，不妨设 比例系数为 r0 ，即 t 内人口的增量可写为
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当 t 时，x(t ) ，表明人口将无限增长。马 尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数 增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的 矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯 并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两 者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚 至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏 制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一 种误解。
由待解 方程写 成的m文件名
函数的 ts=[t0，tf]， 初值 t0、tf为自 变量的初 值和终值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
三、利用Matlab求微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
0 yi(1) yi hf ( xi , yi ) h ( k 1) k yi 1 yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi(1) )] k 0,1,2, 2
k k （k 对于已给的精确度， 当满足 yi(11) yi(1) 时， y i 1 yi 11） 取 ，
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（二）建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数 若步长h较小，则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
一、 微分方程的基本概念
含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程.未知函 数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.这里我们只 讨论常微分方程，简称为微分方程，例如
ii.阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型)
Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家 Verhulst 修正。他提出的假设包括： 1、由于自然资源(自然资源条件和环境条 件)的约束，人口存在一个最大容量 xm 。 2、增长率不是常数，随人口增加而减少。 它具有以下性质： 当人口数量 x (t ) 很小且远小于 xm 时， 人口以固定增长率 r0 增加； x (t ) 接近 xm 当 时，增长率为零。 r0 和 xm 可由统计数据确定。 满足上述性质的增长率可以写作
xi 1 xi
xi 1 xi f (t , y(t )) dt [ f ( xi , y( xi )) f ( xi 1 , y ( xi 1 ))] 2
故有公式：
h y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i 1 )] 2 y 0 y ( x0 )
二、常见的微分方程的类型及其解法：
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法：分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量 的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
x(t t ) x(t ) r0 x(t )t
等式两边同除以 t ，当 t 0 时
x(t t ) x(t ) lim r0 x(t ) t 0 t
等号的左边即是导数 d x d t ，已知初始时刻人口 数量为 x0 ，则
d x d t r0 x (t ) x ( 0) x 0
(3.2) 就是描述人口随时间变化的带初始条件的微 分方程。
用分离变量法，得
x(t ) x0 e r0 t
从上式看出人口随时间呈指数增长， 因此该模型称 为指数增长模型。 不妨将它应用到我国人口的预测 上
x 11.6 e 0.014810 13.45 亿
与前面的结果 13.44 亿非常相近。
•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。
•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 •线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 返 回
（三）可以用Matlab软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
的微分方程称为二阶常系数线性微分方程。
解法：齐次方程的通解+原方程的特解=原方程的通解
特征方程 r 2 pr q 0的根 齐次方程 y py qy 0 的通解 y C1e r x C2 e r x 两个相异实根 r r2 1 y (C1 C2 x )e rx 两个相等实根 r r1 r2
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x)e
例1 求方程xy y e x的通解 y ex 解 将方程改写为 y x x 它是一阶线性微分方程，其中 1 ex P( x) , Q( x) x x
直接利用非齐次方程的通解公式，得
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）
例3
求微分方程组的通解. dx dt 2 x 3 y 3 z dy 4 x 5 y 3z dt dz 4 x 4 y 2 z dt
d2y dy p qy f ( x); 2 dx dx
dy y 2 x; dx dny 1 0; ... n dx
解：满足等式的函数
特解：在特定初始值条件下的解
通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常
数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)