微分方程与差分方程习题课总结
最新微分方程与差分方程详解与例题
微分方程与差分方程详解与例题第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
(整理)微分方程的例题分析与解法
微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。
，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
习题详解-第10章微分方程与差分方程初步
习题10-11. 指出下列方程的阶数：(1)4620x y y x y '''''-+=． (2)22d d 0d d Q Q Q L R t c t++=． (3)2d cos d ρρθθ+=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =．(2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =．(3)20y y y '''++=， x y x e -=．(4)22d 0.4d s t=-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；(3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=；(4)是，代入，212d d 0.4,0.4d d s s t C t t=-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t += 的通解.解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足222d 0d x k x t+=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解.4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t+=的通解,求满足初始条件 x | t =0 =2, x '| t =0 =0的特解.解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠习题10-21. 求下列微分方程的通解：(1)()2310y y x '++=； (2) 2+'=x y y ；(3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2d d d d x xy y y x y y +=+；(5) 22d d d d y y y xxy x x +=； (6) d d y x y x x y-=+； (7) 22d d y y x xy x=+； (8) )2(tan 212y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得()231d =d y y x x+-两端分别积分：()34111=+34y x C,+-这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得2d =2d y x y x-两端分别积分：122+ln2y x C ,--=⋅即12+202x y C (C ln C )--==⋅这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得d d cos y cos xy x sin y sin x=两端分别积分：ln sin y ln sin x lnC,-=--即sinx sin y Ce =这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得21d =d 11y y x y x --两端分别积分：21111+22ln(y )ln(x )lnC,-=-即221+1y C(x )=- 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d u u x u-=两端分别积分：ln u u x C -=+即ln y yx C x x-=+ 这就是方程通解 .(6)这是齐次方程，化简得1d d 1yy x yx x-=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 21d d 12u u x u u +=--，两端分别积分：211ln 1222u u x C ---=+ 即222ln 10y y x C x x--++=这就是方程通解 .(7)这是齐次方程，化简得2d d 1y y x yx x⎛⎫ ⎪⎝⎭=+令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d u u x u +=-，两端分别积分：ln u u x C +=-+ 即ln 0y y x C x x++-= 这就是方程通解 .(8)这是特殊方程，用换元法，令,2y x u +=则d 1d 1,d 2d y u x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入原方程并整理 2cos ud d u x =，两端分别积分：11sin 224u u x C +=+即42sin(24)40y x x y C -++-=这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 3sin y y x '=， (0)1y =；(2) 222(1)(1)x y y x +'=+， (0)0y =； (3)d tan d y y y x x x =+，(1)6y π=； (4) 222d d 2x yx xy y y xy=-+-，(0)1y =． 解 (1)分离变量：31d sin d y x x y =． 两端分别积分：31d sin d y x x y =⎰⎰． 解得：21cos 2x C y -=-+． 将(0)1y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为212cos 1x y =-． (2)分离变量：2221d d 1(1)xy x y x =++． 两端分别积分：211arctan d 2(1)y x C x =-⋅++．将(0)0y =代入通解中，求得12C =．故所求特解为2111arctan d 2(1)2y x x =-⋅++．(3) 这是齐次方程,令,x yu =则d d ,d d y u u x x=+代入原方程并整理 1d d .tan u x u= 两边积分得,ln sin ln C x u +=即.sin x Ce u =变量回代得所求通解.sinx Ce xy=由(1)6y π=代入通解，得612C e π-=，故所求初值问题的解为61sin .2x y e e x π-=3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设曲线方程为：()y f x =由题意可得方程: 2002y yy x x-'==--,且(1)2y =，解分离变量方程得：xy C =,由(1)2y =得2C =，故所求曲线为：2xy =.4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t 的变化规律.解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =建立该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dtdT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT-=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=). 从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=习题10-31. 求下列微分方程的通解：(1) cos sin x y y x e '+=； (2) 2x y y e '-=；(3) 2(1)x x y x y e '=-+； (4) 22d (2)d 0y x x x y y y +--=；(5) ()1y x e y '-=； (6) 3(1)2(1)2x y y x y-'=+- 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中()sin ,P x x =cos ()x Q x e =． 首先求出Pd sin d cos x x x x ==-⎰⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos cos x x Ce xe =+．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),2P x =-1()2x Q x e =．首先求出Pd 2x x -=⎰ (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰24x x Ce =+．(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中1()1,P x x =-21()x Q x e x =．首先求出Pd ln x x x =-⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰2x xe e C x x=⋅+．(4)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程212d 1d y x x y y -+⋅=， 于是，212()yP y y -=()1Q y =． 首先求出1Pd 2ln y y y=--⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为112ln 2ln 1d yy yyx e ey C +--⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰11122221d y yy y e e y C Cy e y y -⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰.(5)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d d y xx e y--=-， 于是，()1P y =-()y Q y e -=-．首先求出Pd y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为()d y y y xe e e y C --=-⋅+⎰12y y e Ce -=+.(6)令,1-=x yu 则d d (1),d d y u u x x x=+-代入原方程并整理 22d d .31u xu u x =-- 两边积分得,ln ln )3ln(2C x u +-=-变量回代得所求通解223.(1)y Cx x-=-2. 求解下列初值问题：(1) 2(2)d d 0y x y x x y -+=，1x y e ==； (2)sin x y y x '+=，()1y π=； (3) 2y y x y '=-，(2)1y =； (4) 5y y x y '-=，(0)1y =.解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得2d (12)0d y x y x x -+⋅=， 其通解为2(12)1d 2=x xx xy Ce Cx e --⎰=，将初始条件1x y e ==代入上式，可得1C =，故所求特解为12=xy x e ．(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x =1()sin Q x x x =．首先求出Pd ln x x =⎰ (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰cos C xx-=将初始条件()1y π=代入上式，可得1C π=-，故所求特解为1cos x y xπ--=．(3)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程d 1d x x y y y-=-， 于是，1()P y y=-()Q y y =-．首先求出Pd ln y y =-⎰，然后代入通解公式，可得所求通解为1()d x y y y C y ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭⎰2Cy y =-.将初始条件(2)1y =代入上式，可得3C =，故所求特解为23x y y =-．(4) 这是伯努利方程，以5y 除方程的两端,得54d ,d y y y x x ---=即44d()1,4d y y x x ----= 令4,z y -=则上述方程变为 d 44.d zz x x+=- 解此线性微分方程(过程略)，可得414x z x Ce -=-++，得所求通解为4441()4x y z x Ce -==-++，将初始条件(0)1y =代入上式，可得34C =，故所求特解为44413()44x y z x e -==-++．3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：(1) d 11d y x x y-=-； (2) d 4d y y x x x -=.解 (1)令y x u -=则d d 1,d d y ux x=+原方程化为d 1d u x u=-. 分离变量,得d d u u x =-， 两端积分得22u x C =-+ 以y x u -=代入上式,得通解2()2y x x C -=-+.(2)这是伯努利方程，其中214,(),()2n P x Q x x x==-=，则有公式得通解 1(1)()d (1)()d 12()(1)d n P x x n P x x nyy e Q x n e x C ----⎛⎫⎰⎰==-+ ⎪⎝⎭⎰ 2ln 22ln 1(d )2x x e x e x C -=⋅⋅+⎰21().2x C x =+ 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程d 2d yx y x=+， 这是一阶非齐次线性方程，其中()1,P x =-()2Q x x =，然后用公式(10-6)可得所求通解为d d d d P x P x P xy Ce e Qe x --⎰⎰⎰=+⎰22x x Ce -=--+.习题10-41. 求下列微分方程的通解：(1) sin 2y x x ''=-； (2) 2cos x y e x '''=-； (3) -20x y y '''= ； (4) 4x y y x '''+=； (5) 2=2()y y '''； (6) 31y y ''= 解：(1) 21cos ,y x x C '=--+3121sin ,3y x x C x C =--++(2) 211sin 2x y e x C ''=-+,2121cos ,4x y e x C x C '=+++2212311sin .82x y e x C x C x C =++++(3) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程20xp p '-=． 分离变量，得12d d p x p x=. 两边积分得: 21p C x =再积分一次即得原方程的通解为 31213y C x C =+．(4) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程4xp p x '+=．整理，得4pp x'+=， 这是一阶非齐次线性方程，解得12C p x x=+再积分一次即得原方程的通解为 212ln y C x x C =++．(5)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py py''=,原方程化为 2d 2d ppp y=． 分离变量得d 2d py p=．两边积分得： 211y p C e =．再由211d d y yC e x=，解得212y e C x C -=+． (6)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d py py''=,原方程化为 3d d y p p y =．得22112211C y p C y y -=-+=．解得：d d y x可解得通解为：221121()C y C x C -=+．2. 求解下列初值问题：(1) 12cos y x x '''=+,(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==；(2) 21,x y x y '''+=10,x y==11x y ='=；(3) 2()yy y '''=，(0)(0)1y y '==. 解 (1)相继积分三次得出:216sin y x x C ''=++，3122cos y x x C x C '=-++，4212311sin 22y x x C x C x C =-+++， 以(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==代入后可得出1231,2,1C C C ===-，于是所求特解为4211sin 2122y y x x x x ==-++-． (2)令,y p '=代入方程并整理,有211.p p x x'+=这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得11(ln )p y C x x'==+由条件11x y ='=得11,C =所以1(1ln )y x x'=+两端再积分,得221ln (ln ).2y x x C =++又由条件10,x y ==得20,C =于是所求初值问题的解为21ln (ln ).2y x x =+(3)令,y p '=由d d py p y''=代入方程并化简得d .d p y p y= 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p y Cy '== 再分离变量,得d d ,yx Cy= 由初始条件(0)(0)1y y '==得出1,C = 从而得d d ,yx y= 再两边积分,得1x y C e =, (0)1y =，得11,C =从而所求特解为x y e =.3. 已知平面曲线()y f x =的曲率为32(1)y y '''+,求具有常曲率(0)K K >的曲线方程.解：由题意得方程32(0)(1)y K K y ''=>'+，令(),y p x '=代入方程,有32(1)p K p '=+ 即32d d .(1)p K x p =+解之，得1121Kx C p =++ 32d d .(1)p K x p =+习题10-51.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1) 22,;x x e x e (2) ,()ax bx e e a b ≠；(3) 1cos 2x +，2sin x ； (4) cos ,x sin x .解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.2. 验证1y x =与2x y e =是方程(1)0x y xy y '''--+=的线性无关解，并写出其通解.解：当1y x =，11y '=，10y ''=，代入满足方程；当2x y e =，2x y e '=，2x y e ''=，代入也满足方程；另外，1y x =，2x y e =是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：112212x y C y C y C x C e =+=+.3. 求下列微分方程的通解：(1) 230y y y '''--=； (2) 280y y y '''--=； (3) 440y y y '''++=； (4) 690y y y '''-+=； (5) 250y y y '''++=； (6) 160y y ''+= ; (7) x y y x e ''+=+ ； (8) 4sin y y x ''+=.解：(1) 特征方程2230r r --=的根为：121=3r r =-，,通解为312x x y C e C e -=+； (2) 特征方程2280r r --=的根为：1224r r =-=，,通解为2412x x y C e C e -=+； (3) 特征方程2440r r ++=的根为：122r r ==-,通解为2212x x y C e C xe --=+； (4) 特征方程2690r r -+=的根为：123r r ==,通解为3312x x y C e C xe =+；(5) 特征方程2250r r ++=的根为：1,212r i =-±,通解为12(cos2sin 2)x y e C x C x -=+； (6) 特征方程2160r +=的根为：1,24r i =±,通解为12cos4sin 4y C x C x =+； (7) 特征方程210r +=的根为：12r r i ==±,齐次通解为12cos sin y C x C x =+； ()x f x x e =+可以看成是1()f x x =与2()x f x e =之和．所以分别求方程y y x ''+=与方程x y y e ''+=的特解． 容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．按例9的方法可求得方程x y y e ''+=的一个特解为：212x y e =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x e +．故原方程的通解为y y Y =+=12x x e +12cos sin C x C x ++.(8) ()4sin f x x =为(cos sin )αx e A ωx B ωx +型的函数，且0α=，1ω=，αωi i +=是特征方程210r +=的根，所以取1k =．设特解为()cos sin y x C x D x =+．()cos sin cos sin y C x D x x D x C x '=++-． 2cos 2sin (cos sin )y D x C x x C x D x ''=--+．代入原方程，得 2cos 2sin 4sin D x C x x -=．比较两端sin x 与cos x 的系数，得2,0C D =-=，故原方程的特解为2cos y x x =-． 而对应齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+.于是原方程的通解为y y Y =+2cos x x =-＋12cos sin C x C x +． 4. 求解下列初值问题：(1) 20,y y y '''++=y |x =0=4、y '| x =0=-2；(2) 20y y y '''-+=,(0)(0)1y y '==解：(1) 特征方程2210r r ++=的根为：121r r ==-,通解为12x x y C e C xe --=+；代入初值条件00|4|2x x y y =='==-、，得124,2C C ==，方程特解为42x x y e xe --=+.(2) 特征方程2210r r -+=的根为：121r r ==,通解为12x x y C e C xe =+；代入初值条件(0)(0)1y y '==，得121,0C C ==，方程特解为x y e =.5. 求下列微分方程的一个特解：(1) 2331y y y x '''--=+； (2) 94y y x '''+=-；(3) 2x y y y e '''-+=； (4) 9cos 21y y x x ''+=++.解：(1) 因为()31f x x =+，且y 的系数30q =-≠，设特解为y Ax B *=+． 则()y A '*=，()0y ''*=，代入原方程，得23()31A Ax B x --+=+，使两端x 同次幂的系数相等：11,2A B =-=,所求的特解为12y x *=-+．(2) 因为()4f x x =-，且y 的系数0q =，设特解为()y x Ax B *=+． 则()2y Ax B '*=+，()2y A ''*=，代入原方程，使两端x 同次幂的系数相等得，137,1881A B -==,所求的特解为21371881y x x *=-．(3) 1α=是特征方程2210r r -+=的重根，取2k =，所以可设原方程的特解为2x y Bx e =，则22224x x x x x y Bxe Bx e y Be Bxe Bx e '''=+=++，，代入原方程得解得12B =，故方程有一特解为212x y Bx e =.(4) ()cos 21f x x x =++可以看成是1()21f x x =+与2()cos f x x =之和． 所以分别求方程921y y x ''+=+与方程9cos y y x ''+=的特解． 容易求得方程921y y x ''+=+的一个特解为：12199y x =+．另求得方程9cos y y x ''+=的一个特解为：21cos 8y x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝211cos 998x x ++．习题10-61. 求下列函数的一阶与二阶差分：(1) y t =3t 2-t 3； (2) y t =e 2t ； (3) y t =ln t ； (4) y t =t 2·3t .解：(1) ()()()2323231133+32t y t t t t t t ∆=+-+--=-+［］,()22()3+326t t y y t t t ∆=∆∆=∆-+=-；(2) 2(1)222e e e (1)t t t t y e +∆=-=-,()22222222()e (1)(1)(e )e (1)t t t t t y y e e e ∆=∆∆=∆-=-⋅∆=-，(3) ln(1)ln t y t t ∆=+-,()2()ln(1)ln ln(2)2ln(1)ln t t y y t t t t t ∆=∆∆=∆+-=+-++ (4) ()()21221333263t t t t y t t t t +∆=+-=++,()()()()22122()326332(1)693263t t t t t y y t t t t t t +∆=∆∆=∆++=+++-++()2342430t t t =++2. 将差分方程Δ2y t +2Δy t =0表示成不含差分的形式.解：因为1t t t y y y +∆=-，21()t t t t Δy ΔΔy Δy Δy +==-212t t t y y y ++=-+， 故220t t y y ∆+∆=可化为211222()0t t t t t t t y y y y y y y ++++-++-=-= 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶： (1) y t +5-y t +2+y t －1=0; (2) Δ2y t -2y t =t ；(3) Δ3y t +y t =1； (4) 2Δy t =3t -2y t ； (5) Δ2y t =y t +2-2y t +1+y t .解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为212t t t y y y t ++--=，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(3)是差分方程.由于Δ3y t 32133t t t t y y y y +++=-+-，方程变为321331t t t y y y +++-+=，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(4) 将原方程变形为2(y t +1-y t )= 3t -2y t ，即2y t +1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.(5) 不是差分方程.由于2t y ∆212t t t y y y ++=-+，方程变为00=，所以不是差分方程.4. 验证y t =C (-2)t 是差分方程y t +1+2y t =0的通解.解：112(2)2(2)0t t t t y y C C +++=-+-=，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.习题10-71. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) y t +1-2y t =0； (2) y t +1+3y t =0； (3) 3y t +1-2y t =0.解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 y t =C 2t . (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 y t =C (-3)t . (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为23λ=-，于是原方程的通解为()2.3tt y C =- 2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) y t +1-3y t =0，且y 0=3； (2) y t +1+y t =0，且y 0=-2.解 (1)特征方程为30λ-=,特征根为3λ=，于是原方程的通解为 3.tt y C = 将初始条件y 0=3代入，得出C =3，故所求解为13.t t y +=(2)特征方程为10λ+=,特征根为1λ=-，于是原方程的通解为(1).t t y C =- 将初始条件y 0=-2代入，得出C =-2，故所求解为2(1).t t y =-- 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) y t +1+2y t =3； (2) y t +1-y t =-3； (3) y t +1-2y t =3t 2； (4) y t +1-y t =t +1; (5) 11522tt t y y +⎛⎫-= ⎪⎝⎭； (6) y t +1+2y t =t 2+4t .解 (1) 由于a =-2，k =3，令y *t =A (待定系数)，代入方程得A +2A =3，从而A =1，即y *t =1，故原方程的通解为y t =C (-2)t +1.(2) 由于a =1，k =-3，令y *t =At (待定系数)，代入方程得A =-3，即y *t =-3t ，故原方程的通解为y t =-3t+C .(3) 设y *t =A 0+A 1t +A 2t 2为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A 0=-9，A 1=-6，A 2=-3.从而*2963t y t t =-+--,故原方程的通解为29632.t t y t t C =-+--+(4) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得0112A A ==,从而*1(1)2t y t t =+,故原方程的通解为1(1).2t y t t C =++(5) 由15122a k b ===，，，令原方程有一个特解为*5·()2t t y A =，解得35A =. 于是原方程的通解为()351·().522tt t y C =+ (6)设f 1(t )= t 2，f 2(t )= 4t ，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )= t 2，因a =-2≠1，可令特解y *t 1= A 0+A 1t +A 2t 2；对于f 2(t )= 4t ，因a =-2≠4，可令y *t 2=B4t故原方程的特解可设为y *t = A 0+A 1t +A 2t 2 +B4t ，代入原方程，得0121211,27934A A AB =-=-==-，，，于是21121 42793t t y t t *-=-+-+-，故所求通解为21121 4(2).2793t t t y t t C -=-+-+-+- 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解： (1) y t +1-y t =3+2t ，且y 0=5； (2) 2y t +1+y t =3+t ，且y 0=1; (3) y t +1-y t =2t -1，且y 0=2.解 (1) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得012,1A A ==,从而*(2)t y t t =+,故原方程的通解为(2).t y t t C =++又有初始条件y 0=5，可知5C =，故特解为(2) 5.t y t t =++(2) 由于12a =-,设y *t =A 0+A 1t 为原方程的解，将y *t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,可得0171,93A A ==,故原方程的通解为171().392t t y t C =++-又有初始条件y 0=1，可知29C =，故特解为1721().3992t t y t =++⋅-(3) 由a =1可知，对应的齐次方程的通解为y t =C . 设f 1(t )=2t ，f 2(t )=-1，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).对于f 1(t )=2t ，因a =1≠3，可令y *t 1=A 2t ；对于f 2(t )=-1，因a =1，可令y *t 2=Bt .故原方程的特解可设为y *t =A 2t +Bt ，代入原方程，得11A B ==-，,故所求通解为2t t y C t =+-又有初始条件y 0=2，可知1C =,故特解为12t t y t =+-.5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记y t 为第t 个月后还需偿还的债务，a 为每月的还款额，写出y t 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.解 先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为y 1= y 0 (1+1%)-a;第2个月后还需偿还的贷款为y 2=y 1(1+1%)-a ;……第t +1个月后还需偿还的贷款为y t +1=y t (1+1%)-a ，即y t +1-1.01y t =-a .这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y *t =A ，代入得到100A a =，于是有通解(1.01)100t t y C a =+.代入初始条件y 0=25000，及12(1.01)1000t y C a =+=得1210025000(1.01)1000C a C a +=⎧⎨+=⎩， 从上面的等式解得1212250001.011001.01100a ⋅=⋅-.6. 设某产品在时期t 的价格、供给量与需求量分别为P t ，S t 与Q t (t =0，1，2，…).并满足关系：(1)S t =2P t +1，(2)Q t =-4P t －1+5，(3) Q t =S t .求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程P t +1+2P t =2.若已知P 0，求上述差分方程的解. 解 由题意可得2P t +1=-4P t －1+5，即2P t+1=-4P t +4，得差分方程P t +1+2P t =2，容易求得方程的特解为：*23y =，方程的通解为：2(2)3t y C =+-,00,t y p ==当时，023C p =-所以,故所求差分方程的解为022()(2).33t y p =+--7. 设C t 为t 时期的消费，y t 为t 时期的国民收入，I =1为投资(各期相同)，设有关系式 C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，其中a ，b 为正常数，且a <1，若基期(即初始时期)的国民收入y 0为已知，试求C t ，y t表示为t 的函数关系式.解 由C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，得11t t y ay b -=+－，又因为a <1，故可设特解为*y A =，代入得11b A a +=-，所以方程的通解为11t b y Ca a +=+-，00,t y y ==当时，011b C y a+=--所以,故所求差分方程的解为011()11t t b b y y a a a ++=-+--，从而01()11t t b a bC y a a a++=-+--.复习题10 （A ）1. 通解为y =C e -x +x 的微分方程是 . 解 方程是一阶的，e1xy C -'=-+，方程为1y x y '=-+.2. 通解为y =C 1e x +C 2e 2x 的微分方程是 .解 易见这是二阶常系数方程的解，特征根为121,2r r ==,特征方程为2320r r -+= 所以微分方程为320y y y '''-+=.3. 微分方程x d y -(x 2e －x +y )d x =0的通解是 . 解 方程可化为e x yy x x-'-=，通解为x y xe Cx -=-+. 4. 微分方程xy ′+y =0满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 分离变量得d d y xy x=-，通解为xy C =，初始条件y (1)=1特解为1xy .= 5. 设非齐次线性微分方程y ′+P (x )y =Q (x )有两个不同的解y 1(x )与y 2(x )，C 是任意常数，则该方程的通解是 .A C ［y 1(x )+y 2(x )］BC ［y 1(x )-y 2(x )］C y 1(x )+C ［y 1(x )-y 2(x )］D y 1(x )+C ［y 1(x )+y 2(x )］解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解()()12Y C y x y x =-［］，非齐次特解为：()()12=y*y x y*y x =或者，所以选择C.6. 微分方程y ″+4y =sin2x 的一个特解形式是 .A C cos2x +D (sin2x )B D (sin2x )C x ［C cos2x +D (sin2x )］ D x ·D (sin2x )解 因为0α=，2ω=，2i i αω+=是特征方程240r +=的根，所以取1k =．设特解为 ()cos2sin 2y x C x D x =+．选择C.7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y 2)d x =xy (x +1)d y ； (2) x (y ′+1)+sin(x +y )=0；(3) (cos )d cos d y yx y x x y x x+=； (4) xy ′+2y =sin x ；(5) tan y d x =(sin y -x )d y ； (6) (y -2xy 2)d x =x d y .解 (1)分离变量()21d d 11y y x x x y=++，积分得211ln(1)ln ln()221x y C x ++=+， 化简得22(1)()1x C y x +=+； (2)令d d ,1d d y uu x y x x=+=-则，原方程化为d d d sin 0,d sin u u x x u x u x +==-即，积分得ln(csc cot )ln ln u u x C -=-+，化简并整理得通解：1cos()sin()x y Cx y x-+=+.(3) (1cos )d d d ,,d d d cosy yy y y u x x u x u y x x x x x+===+原方程可化为令则，原方程化为d cos d x u u x =，积分得sin ln ||,u x C =+方程通解为sin ln ||.yx C x=+(4)这是一阶线性非齐次方程，2sin (),()x P x Q x x x==，所以方程通解为()d d 21(d )sin cos P x P x y e Qe x C x x x C x-⎰⎰=+=-+⎰(5) )设()x x y =，方程化为d sin cot cos d tan x y xx y y y y-==-+，这是一阶线性非齐次方程，()cot ,()cos P y y Q y y ==，所以方程通解为d d 211(d )sin sin 2P y P y xe Qe y C y C y -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰(6)方程可化22d ?22d y y xy yy x x x-==-，这是伯努利方程，其中1(),()2,2P x Q x n x =-=-=，所以方程通解为2(1)()d (1)()d 1()(1)d ,n P x xn P x x nx C ye Q x n e x C x ----+⎛⎫⎰⎰=-+= ⎪⎝⎭⎰即 2x y x Cy -=.8. 解下列二阶微分方程：(1) (1+x )y ″+y ′=ln(1+x )；(2) y ″+3y ′+2y =2x 2+x +1；(3) y ″+2y ′-3y =2e x ； (4) y ″+y =x +cos x .解 (1)易见不显含y ，令(),=,y p x y p ''''=则代入方程得()()1ln 1x p p x '++=+，即()ln 111x pp x x+'+=++，所以11()((1)ln(1))1p x C x x x x =+++-+ 1ln(1)1C x x x -=+++，两边积分12()d =(+2)ln(1)2y p x x x C x x C =++-+⎰. (2)这是二阶常系数非齐次方程，由=20,p ≠设特解为2y Ax Bx C *=++，带入方程并对比两端x 的系数，得5131,,24A B C ==-=，故非齐次特解为2513*24y x x =-+ ；齐次通解为212x x y C e C e --=+，从而方程通解为221251324x x y C e C e x x --=++-+.(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为1α=是特征方程2230r r +-=的单根，所以取1k =．设特解为x y Bx e =，代入原方程后，解得12B =，故方程的一个特解为：12x y xe =.所求的通解为31212x x x y C e C e xe =++.(4) ()cos f x x x =+可以看成是1()f x x =与2()cos f x x =之和．所以分别考察方程y y x ''+=与方程cos y y x ''+=的特解．容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．容易求得方程cos y y x ''+=的一个特解为：21sin 2y x x =．于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12x x sin x +． 又原方程所对应的齐次方程40y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+， 故原方程的通解为1212y C cos x C sin x x x sin x =+++. 9. 解下列差分方程： (1) y t +1+4y t =2t 2+t -1； (2) y t +1-y t =t ·2t +3.解 (1) 由于a =4，令 y *t =A 0+A 1t +A 2t 2 (待定系数)，代入方程得23612*125255t y t t =-++，故原方程的通解为23612(4)125255t t y t t C =-+++-. (2) 分别求y t +1-y t =t ·2t 和y t +1-y t =3的特解，对y t +1-y t =t ·2t ，由a =3，b =2，可设原方程有一特解为y *t =(A 0+A 1t )2t ，代入原方程，可解得*(2)2t t y t =-+；对y t +1-y t =3，由a =1，可设原方程有一特解为y *t =Bt ，代入原方程，可解得*3t y t =；故原方程的通解为(2)23t t y C t t =+-++（B ）1. 设曲线y =f (x )过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2x ln(1+x 2)，则f (x )= .解 易得微分方程 ()22ln 1y x x '=+，直接积分得 ()()()2222ln 1d =ln 1d 1y x x x x x =+++⎰⎰，利用分部积分法()222(1)ln 1y x x xC =++-+，过点(0，-1)，代入可得1C =-，所以f (x )= ()222(1)ln 1 1.x x x ++--2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以y t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则y t 满足的差分方程是 .解 易见 1(10.01)3t t y y +=++，所以差分方程为11.13t t y y --=.3. 微分方程33d d 2y y y x x x =-满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 令,,y u y xu x ==则所以d d d d y u u x x x=+，带入方程得，3d 1,d 2u x u x =-求解得2ln ,ux C -=+即2ln ,x x C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入条件y (1)=1，可得1C =，化简得y =4. 差分方程2y t +1+10y t =5t 的通解是 .解 由51a =-≠，设特解为*t y Bt A =+，代入得55,7212A B =-=，所以通解为 55(5)7212t t y C t =--+. 5. 设三个线性无关函数y 1，y 2，y 3都是二阶线性非齐次微分方程y ″+Py ′+Qy =f (x )的解，C 1，C 2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .A C 1y 1+C 2y 2+y 3B C 1y 1+C 2y 2-(C 1+C 2)y 3 C C 1y 1+C 2y 2-(1-C 1+C 2)y 3 D C 1y 1+C 2y 2+(1-C 1-C 2)y 3解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，121323,y y y y y y ---，是齐次方程y ″+Py ′+Qy =0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：1122123C y C y (C C )y ++--，非齐次特解为：()()()123==y*y x y*y x y*y x =或或，所以选择D.6. 设f (x )=g 1(x )·g 2(x )，其中g 1(x )，g 2(x )在(-∞，+∞)内满足条件g 1′(x )=g 2(x )， g 1(x )=g 2′(x )，且g 1(0)=0，g 1(x )+g 2(x )=2e x .(1) 求f (x )所满足的一阶微分方程； (2) 求出f (x )的表达式.解 (1) 1212()()()()()f x g x g x g x g x '''=+2221()()g x g x =+21212[()()]2()()g x g x g x g x =+-2(2)2()x e f x =-故f (x )所满足的一阶微分方程为：2()2()4x f x f x e '-=.(2) 2d 2d 2()(4d )x xx f x e e e x C -⎰⎰=+⎰24(4d )x x e e x C -=+⎰24()xx ee C -=+22x xe Ce-=+由g 1(0)=0，则f (0)=g 1(0)·g 2(0)=0，代入上式得：1C =- 所以f (x )的表达式为：22()x x f x e e -=-.7. 设连续函数f (x )满足210()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰，且f (0)=1，求f (x ).解 设0()()d ,xy F x f u u ==⎰显然()y f x '=，又,00;u xt u t ===令当时，1u x t ==当时，；且d d u x t =，11()d =()d ()()d xf u u f tx x t f x x f tx t y ⋅===⎰⎰⎰则，所以210()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-⎰可化为微分方程22(1)x y y e x '-=-，这是一阶线性非齐次方程，解得2d d 21(d )2P x P xx x y e Qe x C Ce e -⎰⎰=+=-⎰，22()2x x y f x Ce xe '==-，又因为f (0)=1，可得21C =，所以22()x x f x e xe =-.8. 在xOy 坐标平面中，连续曲线L 过点M (1，0)，其上任意点P (x ，y )(x ≠0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数a >0).(1) 求L 的方程；(2) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为4时，确定a 的值.解 (1)由题意可得方程yy ax x'-=，这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x=-()Q x ax =，所以d d 2(d )P x P x y e Qe x C Cx ax -⎰⎰=+=+⎰，又曲线L 过点M (1，0)，故C a =-，所以曲线方程为y = ax 2 –ax.(2)由定积分的知识可知，围成面积()222230014 d ()433x x aS ax ax ax x ax ax ===-+=-==⎰，故3a =.9. 验证函数36931()3!6!9!(3)!nx x x x y x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程y ″+y ′+y =e x；利用所得结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.解 25831(),2!5!8!(31)!n x x x x y x n -'=+++++-∞<<+∞-4732(),4!7!(32)!n x xx y x x n -''=+++++-∞<<+∞-231(),2!3!!nx x x x y y y x e x n "+'+=++++++=-∞<<+∞所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y ″+y ′+y =e x 的通解，这是常系数二阶0y y y "+'+=的通解为：212()xY e C C-=+，故y ″+y ′+y =e x 通解为2121()3x x y Y y eC x C e -=+=++，令369321211()3!6!9!(3)!3x n x x x x x y e C C e n -=++++++=++，下面确定系数，令0x =，得1113C=+，即123C =，两边同时求导得25831212122!5!8!(31)!111()223n x xx x x x y n e C C e --'=+++++-=--++再令0x =，得1211023C -+=，即20C =，所以3369320211cos (3)!3!6!9!(3)!33xn n x n x x x x x e e n n ∞-==++++++=+∑.习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1xy ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域； (3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx yd σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx yd σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x D x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域； (3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 24414(,)(,).y xy dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 1(,)ydy f x y dx ⎰⎰； （2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3)221(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
常微分方程与差分方程知识点
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
是特征方程的重Hale Waihona Puke ，（2）特解形式： ，
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
个人总结：
自由项为多项式 ，
自由项为指数函数 ，
自由项为正弦函数 ，
特解设为
自由项为余弦函数 ，
特解设为
8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式
含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程，称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为：
常微分方程与差分方程知识点
考试纲要
常微分方程的基本概念
变量可分离的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程
微分方程的简单应用
差分与差分方程的概念
差分方程的通解与特解
一阶常系数线性差分方程
考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
特解 的形式
其中 是 次多项式
其中常数
其中， 是常数，且
上表特解中 是待定系数的 次多项式， 是两个待定系数。
【注】 或 时， 可归结为前两种情况来设定特解形式。
友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
7、会用微分方程求解简单的经济应用问题
重要知识点
1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同
2、变量可分离微分方程解法
→ →
3、齐次微分方程解法
→设 → →再用 代替
附：可化为齐次的方程
4、一阶线性微分方程解法
个人总结：对于 ，首先计算 ，通解为
常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
ex 微分方程与差分方程(习题课)讲课稿
( 3 )y f(y ,y )型
特点 不显含自变量x.
解法 令yP(x),y P d P , dy
代入原方程, 得 P dP f ( y, P ). dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形 y P ( x ) 如 y Q ( x ) y 0( 1 )
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个
(1 ) f(x ) e xP m (x )型
0
设 yxkexQ m (x),k 1
2
不是根 是单根 , 是重根
( 2 )f ( x ) e x [ P l ( x ) cx o P n ( x ) sx i ] 型 n
设 y x k e x [ R m ( 1 ) ( x ) cx o R m ( 2 s ) ( x ) si x ]n ,
将之简记为
y
，
0
y
，
1
y
2，，
y
x，
称函数的改变量y x1
y
x
为
函
数
y
的
x
差
分
，
也称为一阶差分，记为Δ yx yx1 yx .
函数y f (x)的二阶差分为y函的数一阶差分的 差分,即
Δ2 yx Δ(Δyx ) Δ(yx1 yx ) (yx2 yx1) (yx1 yx ) yx2 2yx1 yx
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如y P(x) y Q(x) y f1(x) f2(x) 而y1*与y2* 分别是方程,
习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步
两端分别积分：
2 y 2x +ln2 C1 ,即 2x +2 y C 0( C ln 2 C1 )
这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得
cos y dy cos x dx sin y sin x
两端分别积分：
ln sin y ln sin x ln C , 即 sin y Cesinx
是解，又因为含有两个任意常数 C1,C2 ，且方程是二阶的，故是通解.
4.
已知函数
x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x dt 2
k2x
0 的通解,求满足初始条件
x| t0 2 x| t0 0
的特解. 解 ： 上 题 可 知 是 微 分 方 程 通 解 ， 且 x(t) C1k sin kt C2k cos kt, 代 入 初 值 条 件 x |t 0 2, x |t0 0 ，得 C1 2,C2 0 ，所以特解为 x 2coskt(k 0).
x dx
dx
u 1 du dx u
两端分别积分：
u ln u x C 即 y ln y x C xx
这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
dy
1
y x
dx 1 y
x
令 u y , 则 dy u du , 代入原方程并整理
x dx
dx
u 1 du dx ，两端分别积分： 1 ln 1 2u u2 x 1 C
(3)
y
x
y y2
，
y(2)
1；
(4) y y x y5 ， y(0) 1 .
解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得
dy dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
差分方程的解
如果函数y = φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
代入原方程, 得 P dP = f ( y, P ). dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y = C1 y1 + C2 y2也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y + py + qy = 0
特征方程为 r 2 + pr + q = 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 = r2
复根r1,2 = i
通解的表达式
y = C1e r1 x + C2e r2 x y = (C1 + C2 x)e r2 x
当Q( x) 0,
上述方程称为非齐次的.
齐次方程的通解为 y = Ce− P( x)dx （用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y = e− [ P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx + C ] （用常数变易法）
3.可降阶的高阶微分方程的解法 (1) y(n) = f ( x) 型
(2) 0，1 设yx = x zx
( ) 代入方程得
z x+1 x+1
− a x zx
=
x
pn
x
Байду номын сангаас
消去 x，即得zx+1 − azx = pn (x) 类型1
于是yx = x zx .
f ( x) = b1 cosx + b2 sinx型
差分方程为
yx+1 − ayx = b1 cosx + b2 sinx
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
分离变量法 变量代换法 常数变易法 特征方程法
待定系数法
一、主要内容——差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
(1) 当D = (cos − a)2 + sin2 0时
令y
x
=
B1
cosx
+
B2
sinx( B1 ,
B2为待定系数)，
函数y = f ( x)的二阶差分为函数y的一阶差分的 差分,即
Δ2 y x = Δ(Δ y x ) = Δ( y x+1 − y x ) = ( yx+2 − yx+1 ) − ( yx+1 − yx ) = yx+2 − 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶、四阶差分： 3 yx = (2 yx ), 4 yx = (3 yx )
形如 g( y)dy = f ( x)dx
解法 g( y)dy = f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy = f ( y ) dx x
解法 作变量代换 u = y x
(3) 一阶线性微分方程
形如 dy + P( x) y = Q( x)
dx
当Q( x) 0,
上述方程称为齐次的．
( ) 令yx = xQn( x) = x b0 xn + b1 xn−1 + + bn
综上讨论 设 yx = xkQn ( x)，
0 1不是特征方程的根
k
=
1 1是特征方程的根
f ( x) = x pn (x)型
( ) 方程 2 为 ( ) yx+1 − ayx = x pn x
(1) = 0，1 类型1
2 是重根
(2) f ( x) = ex[Pl ( x)cosx + Pn( x)sinx] 型
设
y
=
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x)
cosx
+
R(2) m
(
x)
sin
x],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
=
maxl
,
n
k
=
0 1
i不是特征方程的根时; i是特征方程的单根时.
一阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一个特解y x ， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为yx = Yx + yx .
f ( x) = pn (x)型
方程(2)为 yx+1 − ayx = pn (x ) 即yx + (1 − a) yx = pn (x)
设yx是它的解，代入上式得
yx + (1 − a)yx = pn (x)
由于pn (x)是多项式，因此yx也应该是多项式， 且yx是n次多项式，yx是(n − 1)次多项式.
(1) 1不是特征方程的根，即1 − a 0
令yx = Qn ( x) = b0 xn + b1 xn−1 + + bn
(2) 1是特征方程的根，即1 − a = 0
的特解,
那么
y* 1
+
y* 2
就是原方程的特解.
9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解
迭代法
yx+1 − ayx = 0(a 0为常数)
(1)
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 = ay0
y2 = ay1 = a2 y0
y3 = ay2 = a3 y0
yx = ayx−1 = a x y0
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分Δ y x ,Δ2 y x ,的函数方程 称为差分方程.
形式：F( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) = 0
定义2
含有未知函数两个或两个以上时期的符号 y x , y x+1 ,的方程，称为差分方程. 形式：F ( x, yx , yx+1 ,, yx+n ) = 0
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
解法 接连积分n次，得通解．
(2) y = f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y = P( x), y = P, 代入原方程, 得 P = f ( x, P( x)).
(3) y = f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x.
解法 令 y = P( x), y = P dP , dy
y + P( x) y + Q( x) y = f2 ( x)
的特解,
那么 y1* +
y
* 2
就是原方程的特解.
５.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) + P1 y(n−1) + + Pn−1 y + Pn y = f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程 y + py + qy = f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
8.常系数线性差分方程解的结构
n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0
(1)
n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式
( ) yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = f x (2)
f (x) 0
注：(1)为(2)所对应的n阶常系数齐次线性差分方程.
n阶常系数齐次线性差分方程解的结构
yx+n + a1 yx+n−1 + + an−1 yx+1 + an yx = 0 (1)
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x) 是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y + P( x) y + Q( x) y = f ( x)
(2)
定理 3 设y* 是(2) 的一个特解, Y 是与(2)对应