考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4

考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3．B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3．C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3．D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)．3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x．B.C 1 +C 2 cos2x．C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√D.C 1 +C 2 cos 2 x．解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.当y＞0时的通解是y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得三、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可分离的方程．两边同时积分，可求得其通解为 ln｜y 2 -1｜=-ln｜x 2 -1｜+lnc，即(x 2 -1)(y 2 -1)=C，其中C为任意常数．)解析：7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离型方程，当xy≠0这就是原方程的通解．)解析：8.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原)解析：9.求微分方程ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将y看成自变量，z看成是y的函数，则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性微分方程，化为标准形式得此方程的通解为其中C为任意常数．)解析：10.设f(t)连续并满足，求f(t)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因f(t)连续，故f(s)sinsds可导，从而f(t)可导．于是，将题设等式两边求导可得这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边同乘μ=e -∫sintdt =e cost可得 [e costf(t)]"=-4sintcoste cost．积分得e cost f(t)=4∫costd(e cost)=4(cost-1)e cost+C．由f(0)=1I得C=e．因此所求函数f(t)=e 1-cost +4(cost-1)．)解析：11.设f(x)连续且f(x)≠0，并满足f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令，上式两边求导得f"(x)=f(x)，解得f(x)=Ce x．由题设令x=0可得f(0)=2a，所以C=2a，从而f(x)=2ae x．再代入)解析：12.求下列微分方程的通解：(Ⅰ)y""-3y"=2-6x；(Ⅱ)y""+y=2cosx；(Ⅲ)y""+4y"+5y=40cos3x．（分数：2.00）正确答案：(正确答案：(Ⅰ)先求对应齐次微分方程的通解，因其特征方程为λ 2-3λ=λ(λ-3)=0，故通解为 y(x)=C 1 +C 2 e 3x． 再求非齐次微分方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具形式y *(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 [y *(x)]""-3[y *(x)]"=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x ． 比较方程两端的系数，得解得A=1，B=0，即特解为y *(x)=x2．从而，原方程的通解为 y(x)=x 2+C 1 +C 2 e 3x，其中C 1 ，C 2 为任意常数． (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ 2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C 1 cosx+C 2 sinx ；从而y""+y=2cosx 的特解应具形式：y *(x)=Axcosx+Bxsinx ．代人原方程，可求得A=0，B=1，即y *(x)=xsinx ．故原方程的通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+xsinx ，其中C 1 ，C 2 为任意常数． (Ⅲ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ 2+4λ+5=0，特征根为-2±i，所以其通解应为e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)．又因3i 不是特征根，所以方程y""+4y"+5y=40cos3x 的特解应具有形式y *(*)=Acos3x+Bsin3x ．代入原方程可得A=-1，B=3．这样就得到原方程的通解为 y(x)=e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)+3sin3x-cos3x ，其中C 1 ，C 2 为任意常数．) 解析：13.求微分方程y""+2y"-3y=e x+x 的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：相应的齐次方程为y""+2y"-3y=0，特征方程为λ 2+2λ-3=0，特征根为λ 1 =1，λ 2 =-3，齐次方程的通解为C 1 e x+C 2 e -3x． 为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y""+2y"-3y=e x和y""+2y"-3y=x ． 对于第一个方程，α=1是特征根，故设特解y* 1 (x)=Axex，将 y* 1 (x)=Ae x (x+1)， y""* 1 (x)=Ae x(x+2) 代入原方程，比较系数可得A=对于第二个方程，非齐次项f(x)=x ，0不是特征根，故设特解y* 2 (x)=Bx+C ，将 y"* 2 (x)=B ， y""* 2 =0 代入原方程，比较系数可得B= 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为，其中C 1 ，C 2 为任意常数．) 解析：14.设某商品的需求量D 和供给量S 各自对价格P 的函数为D(P)= ，S(P)=bP ，且P 是时间t 的函数，并满足方程=k[D(P)-S(P)]，其中a ，b ，k 为正的常数．求：(Ⅰ)需求量与供给量相等时的均衡价格P e ； (Ⅱ)当t=0，P=1时的价格函数P(t)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)令D(P)=S(P)，即(Ⅱ)把D(P)和S(P)的表达式代入方程，得令t=0，P=1，可确定常数 C=a-b ， 将其代回并解出P ，于是 (Ⅲ)，这表明当t→+∞时P(t)将趋向于均衡价格P e ．)解析：解析：在方程中代入D(P)和S(P)即得求t=0，P=1时的价格函数P(t)就是求这个方程满足初始条件P ｜ t=0 =1的特解．15.设(Ⅰ)函数f(x)在[0，+∞)上连续，且满足f(0)=0及0≤f(x)≤e x-1； (Ⅱ)平行于y 轴的动直线MN 与曲线y=f(x)和y=e x-1分别交于点P 2 和P 1 ； (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN 及x 轴围成的平面图形的面积S 恒等于线段P 1 P 2 之长． 求函数f(x)的表达式． （分数：2.00）正确答案：(正确答案：如图6．1，设动直线MN上各点的横坐标为x，由题设知于是，函数f(x)满足方程=e x -1-f(x)．由f(x)及e x连续知变上限定积分可导，从而f(x)可导．将上述方程两端对x求导，得 f(x)=e x -f"(x)，又因f(0)=0，于是f(x)是一阶线性方程y"+y=e x满足初始条件y(0)=0的特解．解之即得)解析：16.求y t =te t +2t 2 -1的一阶差分．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：根据差分的性质有△y t=△(te t)+2△(t 2)-△(1)=tA(e t)+e t+1△(t)+2(2t+1) =e t [t(e-1)+e]+4t+2．也可以直接计算差y t+1 -y t．)解析：17.求差分方程y t+1 +7y t =16满足y 0 =5的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(t)=16，a=7，利用表中给出的特解形式，应设y* t=B．代入方程可得B=2，于是，方程的通解为y t =2+C(-7) t．再由初始条件y 0 =5，即得 2+C=5，C=3，因此满足条件y 0 =5的特解为y t =2+3.(-7) t．)解析：18.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)属变量可分离的方程，它可以改写为=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]dx 两端求积分，由于∫sin(lnx)x=xsin(lnx)-∫xcos(lnx) =xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx，所以lny=xsin(lnx)+ax+lnC，即其通解为y=Ce xsin(lnx)+ax，其中C是任意常数．(Ⅱ)属齐次微分方程．令y=xu，当x＞0时，原方程可化为两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为arcsin =lnx+C．当x＜0时，上面的方程变为=-ln｜x｜+C．所得的通解公式也可以统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解u=±1，即y=±x．(Ⅲ)属齐次微分方程，它可改写为(Ⅳ)由初始条件y(1)=0知可在x＞0上求解，即解方程．分离变量并求积分，可得为其通解．再利用初始条件可确定C=1，于是所求特解为 12y+y 3 =3x(lnx-1)+3．)解析：19.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方程变形为，令y 2 =z，得再令z=ux，有．代入方程①得)解析：20.求下列微分方程的通解：(Ⅲ)ydx-2(x+y 4 )dy=0；(Ⅳ)y"+xsin2y=x 3 cos 2 y．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(Ⅰ)这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为(Ⅱ)本题虽然是一阶线性微分方程，但不是用标准形式给出的．为采用积分因子法求解，可先把它化为标准形式，以便得到系数p(x)．求解过程如下：首先把方程化为标准形式，用x 2同乘标准形式方程的两端，得(x 2y)"=xsinx，积分可得通解(Ⅲ)若将方程改写为，则此方程不是线性方程．但是，若将方程改写为则此方程为以y为自变量，x为未知函数的一阶线性方程．利用求解公式可得即方程的通解为x=y 4 +Cy 2，其中C为任意常数．(Ⅳ)将题设方程变形为线性微分方程的标准形式，可得这是以z为未知函数的一阶线性微分方程，利用求解公式可得)解析：21.给出满足下列条件的微分方程： (I)方程有通解y=(C 1 +C 2 x+x -1 )e -x；(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)通解变形为e x y=C 1 +C 2 x+x -1，求导得 e x (y"+y)=C 2 -x -2，再求导得方程e x(y""+2y"+y)= (Ⅱ)由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为y=C 1cos2x+C 2sin2x- 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i，且xsin2x为其特解．进而知原方程为y""+4y=f(x)．为确定f(x)，将代入得因此，所求方程为y""+4y=-cos2x．)解析：解析：由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征．从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程．在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程．22.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：(Ⅰ)2y""+y"-y=0；(Ⅱ)y""+8y"+16y=0；(Ⅲ)y""-2y"+3y=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)特征方程为2λ2 +λ-1=0，特征根为λ1 =-1，λ2 = ，所以方程的通解为其中C 1与C 2是两个任意常数．(Ⅱ)特征方程为λ2+8λ+16=0，特征根为λ1=λ2=-4，所以方程的通解为y=(C 1+C 2x)e -4x，其中C 1与C 2是两个任意常数．(Ⅲ)特征方程为λ2-2λ+3=0，特征根为，所以方程的通解为其中C 1与C 2是两个任意常数．)解析：23.求y""-7y"+12y=x满足初始条件.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对应齐次微分方程的特征方程为λ 2-7λ+12=0，它有两个互异的实根λ 1 =3与λ 2 =4，所以其通解为 y(x)=C 1 e 3x+C 2 e 4x，其中C 1 与C 2 是两个任意常数． 由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B ．代人方程可得)解析：24.求y""+a 2y=8cosbx 的通解，其中a ＞0，b ＞0为常数. （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C 1 cosx+C 2 sinax ．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b 时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx ，将其代入原方程可得所以通解为y(x)=+C 1 cosax+C 2 sinax ，其中C 1 与C 2 是两个任意常数． ②当a=b 时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax ，代入原方程可得 所以原方程的通解为+C 1 cosax+C 2 sinax ，其中C 1 与C 2 是两个任意常数．) 解析：25.求y""+4y"+4y=e ax的通解，其中a 为常数. （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程是λ 2+4λ+4=0，它有相等二实根λ 1 =λ 2 =-2，所以其对应齐次微分方程的通解为y(x)=(C 1 +C 2 x)e -2x．非齐次微分方程的特解的形式与口是不是特征根有关． 若a≠-2，则应设特解为y *(x)=Ae ax，其中A 是待定系数．代入方程可得 所以，当a≠-2时通解为y(x)=(C1 +C2 x)e -2x+，其中C 1 与C 2 是两个任意常数． 若a=-2，由于它是重特征根，则应设特解为y*=Ax 2e -2x ，其中A 是待定系数．代入方程可得 A[(2-8x+4x 2)+4(2x-2x 2)+4x 2]e -2x=e -2x，即 2Ae -2x=e -2x． 于是可得出)解析：26.求y""+y=x 3-x+2的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方程的自由项是三次多项式f(x)=x 3-x+2，方程的特征根满足λ 2+1=0，从而是共轭复根λ 1 =i 和λ 2 =-i ．所以，对应齐次微分方程的通解是y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx ，而非齐次微分方程的特解可取为y *(x)=Ax 3+Bx 2+Cx+D ，代入方程可得待定常数A ，B ，C ，D 应满足 Ax 3+Bx 2+(6A+C)x+2B+D=x 3-x+2， 由此可确定A=1，B=0，C=-7，D=2．所以原方程的通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2sinx+x 3-7x+2，其中C 1 与C 2 是两个任意常数．)解析：27.求微分方程y""+4y"+5y=8cosx 的当x→-∞时为有界函数的特解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：题设方程对应的特征方程为 r 2+4r+5=0， 特征根为r=-2±i， 从而对应齐次方程y""+4y"+5y=0的通解为 y(x)=e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)． 由非齐次项8cosx 知±i 不是特征根，故可设原方程的一个特解为y *=Acosx+Bsinx ．将y *代入原方程．比较系数得A=B=1，因此y *=cosx+sinx ．于是，原方程的通解为 y=e -2x(C 1 cosx+C 2 sinx)+cosx+sinx ． 当x→-∞时，e -2x→+∞，所以要使y 有界，只有C 1 =C 2 =0．故所求的特解为y=cosx+sinx ．) 解析：28.设f(x)连续，求满足条件的f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x-t，则，故原方程整理后为两边对x求导，得e -x f"(x)-e -x f(x)=e -x cosx-e -x sinx+e -x f(x)．化简得一阶线性微分方程 f"(x)-2f(x)=cosc-sinx． (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为f(x)=Ce 2x+e 2x∫e -2x(cosx-sinx)dx．分部积分两次可得∫e-2x (cosx-sinx)dx= (3sinx-cosx)+C1，其中C 1是任意常数．故原微分方程的通解为) 解析：29.设当x≥0时f(x)f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：在原方程中，令x=0，得f(0)=-1．将原方程化为上式两边对x) 解析：。