用差分法和变分法解平面问题-讲义
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弹性力学 用差分法和变分法解平面问题概要
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
11
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
σ ε
σ ε
线性的应力与应变关系
非线性的应力与应变关系
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
12
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
U1 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2
1
U1 U1 U1 σx, σy, xy . x y xy
(5-15)
弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的 改变率，等于相应的应力分量。
弹性力学 用差分法和变分法解平面问题 16
二 弹性体的形变势能和外力势能
3、弹性体上的外力功和外力势能
外力功：
W ( f xu f y v)d x d y ( f xu f y v)d s . (a)
弹性力学
1 3 f 2 ( x x0 ) 3! x 3 0
3 ( x x ) ... 0 0
(a)
5
用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：
弹性力学
(1)
2 f f1 f3 2 f 0 2 2 x h 0
(2)
6
用差分法和变分法解平面问题
一 差分公式的推导
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：
f f2 f4 2h y 0 2 f f2 f4 2 f0 2 y h2 0 (3) (4)
弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论
§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
弹性力学用差分法和 变分法解平面问题课 件
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
变分法简介剖析课件
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
用差分法和变分法解平面问题 (2)
n 0 , p σn σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到
lσ x mσ
m yx n y n zy l
zx xy
lσ, mσ
,
(a)
nσ z l xz m yz nσ。
第五章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
y
2 yz
2 zx
2 xy
)σ
(σxσ
yσz
σx
2 yz
σ y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
第五章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向
设主应力 σ1的主向为l1, m1, n1。代入式
(a)中的前两式，整理后得
yx
(σ y
m1 l1
zx
σ1
)
m1 l1
n1 l1
(σx
zy
第五章 空间问题的基本理论
Fx : Fy : Fz : Mx : My : Mz :
ab
a b (τ zx )z0 d x d y 0,
ab
a b (τ zy )z0 d x d y 0,
ab
a b (σ z )z0 d x d y F;
ab
a b (σ z )z0 y d x d y Fb,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F 0, x
Fy 0, Fz 0; (a)
M x 0, M y 0, M z 0. (b)
第五章 空间问题的基本理论
斜面上沿坐标向的应力分量为
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到
lσ x mσ
m yx n y n zy l
zx xy
lσ, mσ
,
(a)
nσ z l xz m yz nσ。
第五章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
y
2 yz
2 zx
2 xy
)σ
(σxσ
yσz
σx
2 yz
σ y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
第五章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向
设主应力 σ1的主向为l1, m1, n1。代入式
(a)中的前两式，整理后得
yx
(σ y
m1 l1
zx
σ1
)
m1 l1
n1 l1
(σx
zy
第五章 空间问题的基本理论
Fx : Fy : Fz : Mx : My : Mz :
ab
a b (τ zx )z0 d x d y 0,
ab
a b (τ zy )z0 d x d y 0,
ab
a b (σ z )z0 d x d y F;
ab
a b (σ z )z0 y d x d y Fb,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F 0, x
Fy 0, Fz 0; (a)
M x 0, M y 0, M z 0. (b)
第五章 空间问题的基本理论
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
第五章 用变分法解平面问题03 12
W A f xu f yv dxdy s f xu f yv ds （5－17)
外力势能为：
V W
f xu f yv dxdy s f xu f yv ds
（5－18）
§5－2 位移变分方程
1、虚位移
第五章 变分法解平面问题
§5－1 弹性体的形变势能和外力势能 §5－2 位移变分方程 §5－3 位移变分法 §5－4 位移变分法的例子
§5－1 弹性体的形变势能和外力势能
弹性力学中所研究的泛函，就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能等），弹性力学的变分法又称能量法
1、形变势能
1) 在x方向上，有正应力 x 和正应变 x ,
例如：v v( x) ，由坐标的微分 dx 引起函数的微分是 dv v dx x
在变分运算中，自变量是函数，因变量是泛函。
例如，形变势能U是位移函数v的函数，由于位移的变分 v
引起形变势能的变分是 U U v
v
2）运算方法是相同 因为微分和变分都是微量
3、外力势能和形变势能的变分
xy
xy
结论： 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的 改变率，就等于相应的应力分量
（d） （e）
2.2用位移分量表示形变势能 由几何方程代入（e）式，即得：
E
U1 2 1 2
u x
2
v y
2
2
u x
实际位移分量：u，v 虚位移或者位移变分 u, v 假想位移分量 v、u 发生了位移边界条件所容许的微小改变
A
v dx
dv
v
B
外力势能为：
V W
f xu f yv dxdy s f xu f yv ds
（5－18）
§5－2 位移变分方程
1、虚位移
第五章 变分法解平面问题
§5－1 弹性体的形变势能和外力势能 §5－2 位移变分方程 §5－3 位移变分法 §5－4 位移变分法的例子
§5－1 弹性体的形变势能和外力势能
弹性力学中所研究的泛函，就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能等），弹性力学的变分法又称能量法
1、形变势能
1) 在x方向上，有正应力 x 和正应变 x ,
例如：v v( x) ，由坐标的微分 dx 引起函数的微分是 dv v dx x
在变分运算中，自变量是函数，因变量是泛函。
例如，形变势能U是位移函数v的函数，由于位移的变分 v
引起形变势能的变分是 U U v
v
2）运算方法是相同 因为微分和变分都是微量
3、外力势能和形变势能的变分
xy
xy
结论： 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的 改变率，就等于相应的应力分量
（d） （e）
2.2用位移分量表示形变势能 由几何方程代入（e）式，即得：
E
U1 2 1 2
u x
2
v y
2
2
u x
实际位移分量：u，v 虚位移或者位移变分 u, v 假想位移分量 v、u 发生了位移边界条件所容许的微小改变
A
v dx
dv
v
B
弹性力学-05(差分法与变分法)
对于弹性体边界内的每一节点，都可 建立上述方程。 但对紧靠边界内一行节点， 建立其差分方程时，还包括边界上各点处的 值和边界外一行的结点处的 值。 8 11 3
（5-10）
—— 应力函数差分方程 x 12 4 0 5 1 9 A 13
弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。 如：节点13、14等。
（c ）
y
h
将其代入式（b），有：
2 2 f h f f 3 f 0 h x 2 x 2 0
0 2 2 f h f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：
0 x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
y h
优点： 收敛性好、程序设计简单、 非线性适应好。 代表性软件：FLAC
f f f 1 3 2h x 0
y h
x h
3 0 1
缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 （2）等效积分法 控制微分方程 边值条件 建立等效的 积分方程 假设未知函数 整个区域内
定值条件 精确解 （均质、边界条件简单）
近似解 （1）有限差分法 （数值解） （2）等效积分法（包括变分法） （3）有限单元法 （4）边界单元法 …… f1 f 3 （1）有限差分法（FDM） f 代替 2h x 0 要点：差分 微分； x h 3 0 1
（5-10）
—— 应力函数差分方程 x 12 4 0 5 1 9 A 13
弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。 如：节点13、14等。
（c ）
y
h
将其代入式（b），有：
2 2 f h f f 3 f 0 h x 2 x 2 0
0 2 2 f h f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：
0 x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
y h
优点： 收敛性好、程序设计简单、 非线性适应好。 代表性软件：FLAC
f f f 1 3 2h x 0
y h
x h
3 0 1
缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 （2）等效积分法 控制微分方程 边值条件 建立等效的 积分方程 假设未知函数 整个区域内
定值条件 精确解 （均质、边界条件简单）
近似解 （1）有限差分法 （数值解） （2）等效积分法（包括变分法） （3）有限单元法 （4）边界单元法 …… f1 f 3 （1）有限差分法（FDM） f 代替 2h x 0 要点：差分 微分； x h 3 0 1