数学物理方程第七章_变分法及其应用
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
变分法理论与应用
变分法理论与应用变分法是数学中的一个重要分支，通过对函数的变分求解，可以求出其最值或最优解，应用广泛，例如在物理学中经常用于研究粒子的运动，友情学中应用于最小能量曲线的求解，化学中应用于量子化学中分子的电子结构计算等等。
本篇文章将着重介绍变分法的理论基础以及其在各个领域中的应用。
一、变分法理论1.1 变分基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分中的一些基本概念。
函数是指把数域上的任意数 $x$ 映射到数域上的一个确定数$y$ 的规则，而变分则是指沿着某个函数进行微小的变化，并据此研究该函数的性质变化。
我们将一个函数 $y=f(x)$ 的变分记作$y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其中 $\varepsilon$ 是一个无穷小量，$g(x)$ 是一个任意函数。
1.2 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一种重要方程，它的本质是通过对泛函进行变分求解，求出泛函的最值或最优化解。
泛函是一类函数，它映射函数到实数集合，例如以 $y=f(x)$ 表示的函数 $f$，它的变分为 $y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其泛函表示为：$$J[f]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx$$其中 $L(x,y,y')$ 是 Lagrange 函数，$y'=\frac{dy}{dx}$。
对该泛函进行变分：$$\delta J=\delta\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx=\int_{a}^{b}\frac{\partialL}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'dx $$用分部积分法将第二项转换为：$$\delta J=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\deltaydx+\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y\right)\biggr|_{a}^{b} $$由于 $\delta y(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 的端点 $a$ 和 $b$ 处任意，因此求解泛函的变分问题可以转化为求解边界条件。
第七章 数学物理方程的变分原理
P(3)
其中T ： ={( x, y ) | x, y C1[ s1 , s2 ], x( s1 ) x( s2 ), y ( s1 ) y ( s2 )}.
解：设曲线 x x( s ) 的参数方程为 y y ( s )
S D
y
s1 s s2 ,
且满足(1)x( s1 ) x( s2 ), y ( s1 ) y ( s2 ), (2) 曲线周长为定值l , 即
s
0
s2
1
x1
x2
x
dx 2 dy 2 ( ) ( ) ds l. ds ds 条件
a b x0 x0
| x x0 | , others
C0 [ a, b]
uv0 ( x)dx 0 矛盾.
由变分法的基本引理，知 F d F ( ' ) 0 Euler方程 y dx y 这就是函数 y 在集合 K 内使泛函 J ( y ) 达到最小的 必要条件，通常称为Euler方程. 注：10 . 若函数 y f ( x) 在某一区间上可导，则 f ( x) 在 x 处的微分为 dy f ' ( x)dx f ' ( x)x f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) lim x lim 0 0 x
b ' y K , J ( y ) F ( x , y , y ) dx , 1 a 求 y , 使 得 J ( y ) J ( w ), w K 1 ,
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
数学物理方程第七章变分法{1}
考虑含参数 的函数族
y ( x) y0 ( x) ( x)
y ( x) y0 ( x) ( x)
J ( y) F ( x, y, y ' )dx （1.1）
Fy ( x, y, y ' ) Fy' x ( x, y, y ' ) Fy' y ( x, y, y ' ) y ' Fy' y' ( x, y, y ' ) y '' 0 （1.6）
若 F ( x, y, y ' ) 呈特殊形式，则 Euler 方程（1.6）可简化。当
F F ( x, y )
则 ( x) 在 [a, b] 上两次连续可微，且 (a) (b) 0
由假设，应有 但事实上
b a
b
a
M ( x) ( x)dx 0
2 1
M ( x) ( x)dx ( x 1 )4 ( x 2 )4 M ( x)dx 0
这就发生矛盾，表明存在 x0 使 M ( x0 ) 0 的假设是错误的。
i 0 a x b
k
d0 ( f , g ) max f ( x) g ( x) , d1 ( f , g ) max f ( x) g ( x) max f ( x) g ( x) ,
a xb a xb a xb
假设泛函 J ( y ) 的定义域为 D( J ) C[ a, b] ，如果对于 y0 D( J ) ，存在 0 ，使 得当 y D( J ) 且 d0 ( y, y0 ) 时，有 J ( y0 ) J ( y) ，则称泛函 J ( y ) 在 y0 ( x) 处取强 极小值，也称 y0 ( x) 是泛函 J ( y ) 的强极小函数。
经典物理学中的变分问题
经典物理学中的变分问题变分问题是数学中的一个重要分支，也是物理学中的一个基础性问题。
它通过一个函数的最大值或最小值来描述物理系统的性质。
变分问题的研究直接涉及到很多领域的问题，包括力学、电磁学、热力学等等。
本文将重点讨论经典物理学中的变分问题，介绍变分问题的基本定义和求解方法，同时介绍变分问题在物理学中的应用。
1. 变分问题的基本定义变分问题是一个在函数空间内的极值问题，它是一种求解特定函数的变化情况和性质的方法。
通常情况下，变分问题描述的是给定函数的最小值或最大值。
它的基本形式为：Minimize J(y) = ∫ a b f(x, y, y') dx其中，f(x, y, y')是与函数y及其导数有关的函数，a、b是区间端点。
变分问题不仅是数学中的一个重要问题，同时也是物理学中的一个基础性问题。
物理学中的变分问题主要源于拉格朗日力学和哈密顿力学，通过解决变分问题可以得到物理系统的规律和性质。
2. 变分问题的求解方法为了求解变分问题，需要采用数学中的一些工具和方法。
下面是求解变分问题的一些基本方法：2.1 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是用来求解变分问题的一种重要方法。
它的基本形式为：∂f/∂y- d/dx (∂f/∂y')=0其中 f(x, y, y')是拉格朗日量，y(x)是定义在区间[a,b]上的未知函数。
欧拉-拉格朗日方程的解是y(x)的一条光滑曲线。
2.2 经典极小化方法经典极小化方法是另一种用来求解变分问题的方法，它的基本思想是极小化给定函数J(y)。
此方法的优点是可以求解非线性、高阶和多维问题，但缺点是计算量较大。
2.3 线性变分法线性变分法是一种求解变分问题的特殊方法，仅适用于一些简单的线性问题。
线性变分法的基本思想是将变分问题转化为一个线性问题，然后再求解它。
3. 变分问题在物理学中的应用变分问题在物理学中有广泛的应用。
下面介绍几个典型的例子：3.1 悬链线问题悬链线问题是最早的变分问题之一。
数学物理中的变分方法
数学物理中的变分方法在数学和物理学中，变分方法是一种重要的数学工具，用于研究函数的极值问题。
它的基本思想是将问题转化为求解某个泛函的极值，通过变分运算来找到泛函的极值条件。
变分方法在许多领域中都具有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、力学以及最优控制等。
本文将介绍数学物理中的变分方法的基本原理和应用。
1. 变分运算的基本概念变分运算是对函数进行微小改变，并计算这种改变对泛函的变化量。
我们考虑一个函数f(x)，其中x是自变量。
对函数f进行微小变化，可以表示为f(x+δx)，其中δx是一个无穷小量。
定义变分算子为∂/∂x，它表示对函数f进行微小的变化。
通过计算变分算子作用在函数f上的结果，可以得到泛函的变化量。
2. 泛函的极值条件对于一个泛函J[f]，我们希望找到函数f的一个极值，使得J[f]取得最小或最大值。
为了得到这个极值条件，我们需要求解变分方程。
变分方程的一般形式为：δJ[f] = 0如果函数f满足这个方程，那么它就是泛函J的一个极值。
3. 单变量变分法单变量变分法是变分方法中最简单的一种形式。
它适用于只有一个自变量的函数。
假设我们有一个泛函J[f]，其中f=f(x)，x是自变量。
首先，我们引入辅助函数g(x)，其中g(x)在与f(x)相等的区域内任意变化，在其他区域内为零。
然后，考虑泛函J的一个线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)其中ε是一个无穷小量。
通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]现在，我们需要将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x)。
4. 多变量变分法多变量变分法适用于有多个自变量的函数。
假设我们有一个函数f=f(x1,x2,...,xn)，其中xi是自变量。
类似于单变量情况，我们引入辅助函数g(xi)，并考虑泛函J的线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)同样地，通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]类似于单变量情况，我们将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x1,x2,...,xn)。
变分法与变分方程的基本概念与应用
变分法与变分方程的基本概念与应用变分法和变分方程是数学中重要的概念和工具，在科学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍变分法和变分方程的基本概念，探讨其原理和应用，并列举一些实际问题中的案例。
一、变分法的基本概念1.1 变分的定义变分是函数对输入参数微小改变的响应，用于描述函数在其定义域上的变化情况。
1.2 变分的原理变分原理是变分法的核心思想，它基于极值原理，寻找函数使得变分为零的条件。
也就是说，通过变分法可以找到使得泛函（函数之间的映射）取得极值（最大值或最小值）的函数。
1.3 变分的求解变分的求解可以通过欧拉方程来实现，欧拉方程是变分法的求解工具。
通过求解欧拉方程，可以得到函数的极值条件。
二、变分方程的基本概念2.1 变分方程的定义变分方程是函数的导数方程，其中函数可以是标量函数、矢量函数或函数的集合。
变分方程描述了泛函的最小化问题，即在给定的约束下，找到使得泛函取得极值的函数。
2.2 变分方程的原理变分方程的原理是利用变分法求解方程，通过求解约束条件下使得泛函取得极值的函数，可以得到变分方程的解。
2.3 变分方程的求解变分方程的求解需要将方程转化成一个变分问题，然后使用变分法进行求解。
具体求解方法与问题的性质和约束条件有关。
三、变分法与变分方程的应用3.1 物理学中的应用在物理学中，变分法和变分方程有着广泛的应用。
例如，在经典力学中，变分法被用来推导和求解拉格朗日方程，描述物体在给定约束下的最小作用量原理。
此外，变分法还应用于量子力学、电磁学和热力学等领域。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法和变分方程被广泛应用于结构力学、电子学和材料科学等领域。
例如，在结构力学中，变分法可以用于求解复杂结构下的应力和位移分布，以及优化设计问题。
3.3 经济学中的应用在经济学领域，变分法和变分方程也有一些应用。
例如，在经济学中，变分法可以用来优化生产函数和成本函数，以及求解最优控制问题。
四、变分法与变分方程的案例分析4.1 案例一：自然界的最小作用量原理自然界的很多现象都可以通过最小作用量原理进行解释。
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在数学物理中能够精确求解的边值问题或固有值问题并不多。因此，在实际工作中，经 常采用各种近似的方法来解决具体的问题，变分法就是其中最有力的方法之一。所谓变分法 就是求函数极值的方法，下面先介绍什么是泛函以及泛函极值，然后再简要介绍求泛函极值 的方法以及它的一些应用。
7．1 泛函和泛函极值
∫ J[ y(x)] = x1 F (x, y, y′)dx x0
（7.1.3）
式中，被积函数 F (x, y, y′) 称为核。
在实际工作中，为了完成某项任务，我们首先要分析实际问题特殊现象与一般规律 之间的关系，然后建立数学上的表达式。如求连接两个定点的曲线段中弧长最短的曲线
方程 y(x) ，即求自变量 y = y* ，使泛函
1
=C
2gy 1+ y'2
y(1 +
y′2) =
1 2gC 2
= 2r
引入变量代换 x = x(θ ) ，并设
则由式（7.1.14）可得
y′ = cot θ 2
（7.1.12） （7.1.13） （7.1.14）
上式对θ 求导，得
即
所以
y = 2r sin 2 θ = r(1− cosθ ) 2
y′ dx = r sinθ dθ
J[ y(x) + εϕ(x)] ε =0
=
0
由于
J[
y(x)
+
εϕ ( x)]
=
J[ y(x)]
+
∫b ∂F [ a ∂y
εϕ ( x)
+
∂F ∂y′
εϕ ′(x)]dx
则有
∫b ∂F [
εϕ ( x)
+
∂F
εϕ ′(x)]dx
=
0
a ∂y
∂y ′
（7.1.10）
以 ε 乘式（7.1.10），且
δy(x) = εϕ(x)
r(1
−
cosθ
)
7.2 变分法在固有值问题中的应用
本节我们介绍利用变分法解决固有值问题。在第 2 章里我们学过，所谓固有值问题就是在一 定的边界条件下，求解含有参数的微分方程。为了表达上的方便，将需要求解的常微分方程 写为
L[ y(x)] = λy(x)
(7.2.1)
其中 L 是一个作用在函数 y(x) 上的线性微分算符，假定所讨论的固有值问题是劝函数
δy(x) = εϕ(x)
式中， ε 是任意小的实数；ϕ(x) 是充分光滑的任意函数，并且满足条件
ϕ(a) = 0, ϕ(b) = 0
这样，函数
y(x) + εϕ(x)
满足边界条件式（7.1.5）。因此，泛函
J[ y(x) + εϕ(x)]
当 ε = 0 时取最小值 J[ y(x)] ，从而有
d dε
y(x0 ) = y0 , y(x1) = y1
的一切可微函数 y(x) 的集合，这里的每一个元素对应着 xy 平面上由点 P0 (x0 , y0 ) 到点
P1(x1, y1) 的一条光滑曲线 y = y(x) 。用 L 表示曲线上 P0 P1 段的弧长，则
∫ L = x1 1+ y′2 dx x0
大（小）值、取极值的必要条件是 dy dx
x= x0
= 0 。下面我们仿照函数微分的概念来定义泛
函的变分概念，进而导出泛函极值存在的必要条件。
设 y, y0 是集合 C 的元素，称 δy = y − y0 为函数 y 在 y0 处的变分。
这里的 δy 是 x 的函数，它与 ∆y 的区别在于：变分 δy 反映的是整个函数的改变，
式（7.1.11）称为欧拉－拉格朗日方程，简记为 E-L 方程，这就是泛函 J[ y(x)] 有极限
的必要条件，也就是说， y = y(x) 使泛函式（7.1.6）取极小值，则 y = y(x) 一定使欧
拉－拉格朗日方程式（7.1.11）满足边界条件式（7.1.5）的解。
我们把满足 E-L 方程边值问题的解称为驻留函数，对应的积分曲线称为驻留曲线。 严格地讲，E-L 方程边值问题的解满足变分问题的必要条件，因此它是否是极值函数， 还需作进一步的判别。在实际问题中，极值的存在性通常给出问题时己经肯定了，这样，
件
y(0) = 0, y( p) = q
的所有连续函数 y(x) 中，求出一个函数 y* 使泛函式（7.1.4）取最小值。
对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称 为极值函数。
在微分学中，求函数 y = y(x) 的 极值是求自变量 x 的值，当 x 取这些值时， y 取极
而 ∆y 表示的是同一个函数 y(x) 因 x 的不同值而产生的差异。在本书，我们总是假定
y(x) 和 F (x, y, y′) 都是充分光滑的，且 y(x) 在两个端点处固定，即
y(a) = y1, y(b) = y2
式中， y1, y2 是两个常数。
下面我们考虑泛函
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′)dx a
L[ϕn (x)] = λnϕn (x)
这样，将线性微分算符 L ，同时作用在式（7.2.5）两侧，则
∑ ∑ L[ y(x)] = L[ Cnϕn (x)] = L[Cnϕn (x)]
n
n
以 y(x) 乘上式，同时作积分并记为 J[ y(x)] ，即
（7.2.7） （7.2.8） （7.2.9）
J[ y(x)] = ∫ y(x)L[ y(x)]dx
m
∫ ∑ ∑ J[ y(x)] = Cmϕm (x) ⋅ L[ Cnϕn (x)] n
∑∑ ∫ =
CnCm ϕn (x)L[ϕn (x)]dx
mn
∑∑ ∫ =
CnCmλn ϕm (x)ϕn (x)dx
我们以前研究的函数是指这样一种现象，对于数集 A 中的任一个元素 z ，数集 B 中存在
一个元素 w 与之对应，我们就说 w 是 z 的一个函数，记为 w(z) 。在自然现象中，不仅存在
这样的数与数的对应，还存在着其他种种性质不同的对应关系。我们看下面的问题。
设 C 为区间[x0 , x1] 上满足条件
y2 x2
− −
y1 x1
(x − x1) +
y1
∫ J[ y(x)] = p 1+ y′2 dx 0 2gy
且
y(0) = 0, y( p) = q
这样
F (x, y, y') = F( y, y') = 1+ y′2 2gy
其 E-L 方程为
由于 所以有
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
当函数 y(x) 有微小改变且变为 y(x) + δy(x) 时，利用
（7.1.5） （7.1.6）
上式可推出
F
(
x,
y
+
δy,
y′
+
δy′)
=
F
( x,
y,
y′)
+
∂F ∂y
δy
+
∂F ∂y′
δy′
∫ J ( y + ∆y) − J ( y) =
b
[
∂F
δy
+
∂F
δy′]dx
a ∂y ∂y′
上式称为 J ( y) 的变分，记为δJ ( y) ，即
J[ y(x)] 是 y(x) 的泛函，这样我们就引出一系列重要结论。
（7.2.10）
引理 1 泛函式（7.2.10）的极小值等于相应的固有值问题的最小固有值 λ1 ，而使
J[ y(x)] 取这一极小值的极值函数就是相应于固有值 λ1 所对应的固有函数ϕ1(x) 。
证明 将展开式（7.2.5）代入泛函式（7.2.10），则
当一个实际现象已知其有唯一的极值存在，而这时也只得到一个驻留函数，则可以判定
这个驻留函数就是极值函数。
下面我们来解决本章开始部分的两个例题。
例 1 最短距离问题
解
∫ J[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx x0
因为 F = 1− y′2 ，所以
E-L 方程为 则有
∂F = 0, ∂F = y′
∫ δJ ( y) =
b
[
∂F
δy
+
∂F
δy′]dx
a ∂y ∂y′
（7.1.7）
下面我们证明，泛函 J ( y) 取极值的必要条件是
δJ ( y) = 0
或者
∂F ∂y
−
d dx
⎜⎜⎝⎛
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
设 y = y(x) 使泛函 J ( y) 取极值，取函数 y(x) 变分的特殊形式为
（7.1.8） （7.1.9）
=
0
d [F ( y, y′) − y′ ∂F ]
dx
∂y′
=
∂F ∂y
y′ +
∂F ∂y′
y′′
−
y′′
∂F ∂y′
−
y′
d dx
⎜⎜⎝⎛ −
∂F ∂y′
⎟⎟⎠⎞
=
0
F(
y,
y′)
−
∂F ∂y′
=
C
将（7.1.2）代入式（7.1.13）
1+ y′2 − y'
y'
=C
2gy
2gy 1+ y'2
由此得
素 J 与之对应，称 J 是 y(x) 的泛函数，记作
J = J[ y(x)]
（7.1.2）