变分法
数学中的变分法
数学中的变分法变分法是一种数学方法，它在许多物理学原理的证明和应用中被广泛使用。
变分法的基本思想是将一个对象视为其可能的所有函数中一种函数。
例如，如果我们考虑曲线上的能量问题，我们将尝试确定曲线的最小能量。
在这种情况下，我们将使用变分法来确定能量的最小值，同时识别导致最小值的曲线。
变分法被广泛运用于许多科学和工程领域中的分析问题。
其中一些领域包括最优控制理论、力学、统计学、经济学和化学等。
变分法是这些领域的基础，并广泛应用于生物力学、流体力学、材料科学以及其他科学和工程领域的问题。
变分法的核心思想是通过应用变分运算符来寻找函数的极值。
对于一个实变函数f，它的变分是指通过对f进行微小调整来找到f的变化方向，例如δf。
对于函数f(x)，它的变分可以表示为如下形式：δf(x)=f(x+εv)-f(x)其中，v是任意的可微向量函数，而ε是一小的正实数。
变量v 被称为变分方向或测试函数。
此时，我们可以考虑将上式变化为以下形式：δf(x;v)=lim（ε -> 0）[f(x+εv)-f(x)] / ε当ε趋近于0时, δf(x;v)的极限被称为f在v方向的变分。
当δf(x;v)等于0时，我们可以说f在v方向上不变。
因此，我们可以通过使用变分法来确定f的最小值或最大值。
例如，如果我们要找到一条曲线，其起点和终点都已知，同时满足总长度最小的条件。
在这个问题中，我们需要确定曲线的形状来最小化熵函数。
最小化长度问题的变分形式可以表示为：L[y]=∫[a,b]L（y，y'）dx其中y是曲线的方程，L（y，y'）是曲线的弧长元素。
此时，我们需要找到这条曲线，其满足以下条件：∫L（y，y'）dx≤∫L（y0，y'0）dx其中y0和y'0是固定的曲线。
我们可以取v为x的变化方向，而L（y，y'）可以视为动能或势能。
因此，我们可以将上式改写为：∂L[y]/∂y- d/dx∂L[y]/∂y'=0这里的d/dx是导数。
变分法——精选推荐
变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。
这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。
变分法理论与应用
变分法理论与应用变分法是数学中的一个重要分支，通过对函数的变分求解，可以求出其最值或最优解，应用广泛，例如在物理学中经常用于研究粒子的运动，友情学中应用于最小能量曲线的求解，化学中应用于量子化学中分子的电子结构计算等等。
本篇文章将着重介绍变分法的理论基础以及其在各个领域中的应用。
一、变分法理论1.1 变分基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分中的一些基本概念。
函数是指把数域上的任意数 $x$ 映射到数域上的一个确定数$y$ 的规则，而变分则是指沿着某个函数进行微小的变化，并据此研究该函数的性质变化。
我们将一个函数 $y=f(x)$ 的变分记作$y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其中 $\varepsilon$ 是一个无穷小量，$g(x)$ 是一个任意函数。
1.2 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一种重要方程，它的本质是通过对泛函进行变分求解，求出泛函的最值或最优化解。
泛函是一类函数，它映射函数到实数集合，例如以 $y=f(x)$ 表示的函数 $f$，它的变分为 $y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其泛函表示为：$$J[f]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx$$其中 $L(x,y,y')$ 是 Lagrange 函数，$y'=\frac{dy}{dx}$。
对该泛函进行变分：$$\delta J=\delta\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx=\int_{a}^{b}\frac{\partialL}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'dx $$用分部积分法将第二项转换为：$$\delta J=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\deltaydx+\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y\right)\biggr|_{a}^{b} $$由于 $\delta y(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 的端点 $a$ 和 $b$ 处任意，因此求解泛函的变分问题可以转化为求解边界条件。
第2章变分法
第二章变分法变分法（Variational calculus ）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合，若对于每一个函数Ω∈)(t x ，都有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在Ω上的泛函，记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合，Ω∈)(t x 称为宗量。
例 1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x y x y x y J &π， 容许函数集合可表示为 })(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω.第一章中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也称麦耶（Mayer ）型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=，2）积分型性能指标还称拉格郎日（Lagrange ）型性能指标⎰=10))(),(,()(0t t dt t x t x t f x J &， 3）混合型性能指标也叫包尔查（Bolza ）型性能指标⎰+Φ=10))(),(,()),(()(011t t dt t x t x t f t t x x J &， 它们都是泛函，并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ，它是如下微分方程初值问题的解.0)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x && 则拉格郎日（Lagrange ）型性能指标就化为⎰=≡Φ10))(),(,()()),((01011t t dt t x t x t f t x t t x &， 变成麦耶（Mayer ）型性能指标。
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
第1章变分法
接近度的任何函数 y1(x) 上的值，即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ，
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域，(1.1.10)式总是成立，那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函，如果存在ε >0，使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1，以 A 点为坐标原点，Ox 轴取在水平方向，Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线，质点沿这条曲线下滑.因初速度为零，
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ，y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数，则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx ， x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函，记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定 义域，有时也称为泛函的容许函数.简言之，泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个 映射，映射的自变元是一个函数，而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读 者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分法
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
ห้องสมุดไป่ตู้
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
; u, u ; t )dt J [ x(t ), u(t )] F ( x, x
t0
tf
取极值的必要条件——欧拉方程为
d Fx 0 dt d Fu Fu 0 dt Fx
) | t t f [x(t f )]T x (t f ) (dt f ) T tf (dt f ) T H ( x, u, , t ) |t t f (dt f ) T (T x
[(x) T H x (u ) H u () T H () T x T x]dt
（6）
x ) Fx 于是， （5）式变为 [ F ( ]t t f dt f 0 由 dt f 的任意性，便得横截条件为 x ) Fx [ F ( ]t t f 0
横截条件（7）式有两种常见的特殊情况： ①当 x (t ) 是垂直横轴的直线时， t f 固定， x(t f ) 自由，并称 x(t f ) 自由端点。此时 （5）式中 dt f 0 及 x(t f ) 的任意性，便得自由端点的横截条件 Fx |t t f 0 （8） ②当 x (t ) 是平行 x 轴的直线时， t f 自由， x(t f ) 固定，并称 x(t f ) 为平动端点。此 （7）
J J [ x0 (t ) x(t )] J [ x0 (t )] 可表示为 J L[ x0 (t ) x(t )] R[ x0 (t ), x(t )] 。其中：
，则 L[ x0 (t ), x(t )] 称 L 是 x(t ) 的线性函数，R 是 x(t ) 的高阶项（当 x 0 时， R 0 ） 为泛函 J [ x(t )] 在 x0 处的变分，记为 J [ x0 (t )] L[ x0 (t ), x(t )] 这时，也称泛函 J [ x(t )] 在
变分法简介
变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法，有着广泛的应用。这里，根据以下列举的 控制问题的建模需要， 先介绍变分法的基本概念和基本结果， 然后介绍动态系统最优控制问 题求解的必要条件和最大值原理。 一、变分法的基本概念 1．容许函数集 满足条件 （1） x(t ) 在 [t 0 , t f ] 上逐段连续可导； （2）满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f 的一切函数 x(t ) 构成容许函数集。 适合不等式 | x(t ) x0 (t ) |
函数的极值，是相对局部领域而言的。可微泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处有极值的必要条件 是 J [ x0 ( g )] 0 ； n 元泛函在 ( x10 , x20 ,, xn0 ) 处有极值的必要条件是
J [ x10 , x20 ,, xn0 ] 0 。
6．变分法的基本引理 为了进一步研究科学家函极值的必要条件，需要引用如下引理。 引理设 M (t ) 在 [t 0 , t f ] 内连续，若对满足 (t 0 ) (t f ) 0 的 (t ) 在 [t 0 , t f ] 内具有连 续二阶导数，且使
tf
t0
, t )x dt Fx ( x, x
tf
t0
d , t )x dt 再代回到（2）式，并利用泛函取极值的必要条 Fx ( x,x dt
d Fx ]xdt 0 。因为 x 的任意性，及 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，所以由 t0 dt d Fx Fx 基本引理得到著名的欧拉方程 （3） 0 dt
d Fx )xdt Fx x | t t f F | t t f dt f dt
（5）
( Fx
t0
tf
再对（5）式做如下分析： （1）对每一个固定的 t f ， x(t ) 都满足欧拉方程，即（5）式右端的第一项积分为零； （2）为考察（5）式的第二、第三项，建立 t f 与 x(t f ) 之间的关系，因为
t0
tf
(dt f ) [ t f F ( x, u, , t ) |t t f ] [x(t f )]T [ x ]t t f
T tf (x) T [ H x ] () T [ H x] (u ) T H u dt t0
t0 tf
下面先对其求变分
J 1
{[ x(t f ) x(t f ), t f dt f ]
t f dt f
t0
x )]dt} | 0 [ H ( x x, u u, , t ) ( )T ( x
(t 0 t t f ) 的容许函数集， 称为函数 x0 (t ) 的
领域。 2．泛函概念 通俗地说，泛函就是“函数的函数” 。 设 S 为一个容许函数集， 若对于每一个函数 x(t ) S 都有一个实数 J 与之对应， 则称 J 是定义在 S 上的泛函，记为 J [ x(t )] 。 例如，函数的定积分 J [ x(t )]
t0
tf
（12）
的无条件极值，首先定义（10）式和（11）式的哈密顿函数为
H ( x, u, , t ) F ( x, u, t ) T f ( x, u, t ) ，（ 13 ） 将 其 代 入 （ 12 ） 式 ， 得 到 泛 函
]dt 。 （14） J1[ x, u, t ] [ x(t f ), t f ] [ H ( x, u, , t ) T x
问题的提法是：求最优控制 u (t ) 使泛函 J [ x(t )] 在条件（10）式下达到极值，并求极 值曲线 x (t ) 。 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 u (t ) 和最优轨线 x (t ) 的必要条件。 采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑
]}dt J1[ x, u, ] [ x(t f ), t f ] {F ( x, u, t ) T (t )[ f ( x, u, t ) x
(t ) 0 （7）式的横截条件变为 F x Fx 时， |t t f 0 （9）注意，横堆条件与欧拉方程联
立才能构成泛函极值的必要条件。 三、有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中， 常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题， 其典型形式是对动态系
(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] （10）寻找最优性能指标（目标函数） 统x
时，能使 | J [ x(t )] J [ x0 (t )] | 则称泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处是 k 阶接近的连续泛函。 4．泛函的变分 泛函的变分与函数的微分概念类似。 设 x(t ) 在 x0 (t ) 处的增量记为 x(t ) x(t ) x0 (t ) ，如果泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处的增量
x(t f dt f ) x(t f dt f ) (t f dt f ) 两端对 求导，并令 0 ，有
(t f )dt f 即 x(t f ) [ (t f ) x (t f )dt f x(t f ) (t f )]dt f x
J [u(t )] [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt ，
t0
tf
（11）
n m 其中：u (t ) 是控制策略， x(t ) 是轨线，t 0 固定，t f 及 x(t f ) 自由， x(t ) R , u(t ) R （不
m 受限，充满值曲线 R 空间） ， f , , F 连续可微。
J ( x x] J [ x] J [ x(t ) x(t )] 0 lim 0 L( x x] R[ x, x] lim
0
L[ x, x] J
同样，对 n 元泛函的变分为 J 5、泛函的极值
J [ x1 x, x2 x2 , , xn xn ] 0
t0
tf
T