数学建模变分法建模
数学建模方法模型
数学建模方法模型一、统计学方法1 多元回归1、方法概述:在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。
具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。
2、分类分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx可以转化为y=u u=lnx来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。
3、注意事项在做回归的时候，一定要注意两件事:(1)回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)(2)回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决)检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。
4、使用步骤:(1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程;(3)拟合回归参数;(4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验(5)进行后继研究(如:预测等)2 聚类分析1、方法概述该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas软件或者spss软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。
这种模型的的特点是直观，容易理解。
2、分类聚类有两种类型:(1)Q型聚类:即对样本聚类；(2)R型聚类:即对变量聚类；通常聚类中衡量标准的选取有两种:(1)相似系数法(2)距离法聚类方法:(1)最短距离法(2)最长距离法(3)中间距离法(4)重心法(5)类平均法(6)可变类平均法(8) 利差平均和法在具体做题中，适当选区方法;3、注意事项在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。
在数学建模中常用的方法
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。
用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。
其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
8.数学建模-变分法
如记泛函自变量在 x0( t ) 处的增量为： δx( t ) = x( t ) – x0( t ) ,
由它引起的泛函的增量记作 ΔJ = J ( x0( t ) + δx( t ) ) – J ( x0( t ) ) , 如果 ΔJ 可以表为：
若 J ( x ( t ) ) 在 “点 ” x ( t ) 处达到极大 (或极小 )值 , 则必 有 在该 “点 ” 处的变分为零 的 结论： J ( x(t )) 0
这是因为对任意的小参数 a ，总成立： J ( x(t ) a x(t )) J ( x(t ))
所以
= k( x( t ) ) · （a ∙ δx( t ) ）+ r ( x( t ) , a ∙δx( t ) )
2.设 S2 = { x ( t ) │ x ( t ) 为全体在区间 [ 0 ,1 ] 上可积的初等函数 } ，
G ( x (t )) x (t ) dt
0
1
即算出函数 x ( t ) 在区间 [ 0 ,1 ] 上的定积分之值。 例如，
G(e t ) e t dt e 1 , G(ln(t 1)) ln(1 t )dt 2 ln 2 1
一般而言，单位时间的生产费用应是生产率的函数，可以记作 f ( x’( t ) )；
而单位时间的储存费用是产品累积数的函数，可以记为 g(x(t))。
于是从 t = 0 到 t = T 的总费用是：
C ( x(t )) [ f ( x' (t )) g ( x(t ))]dt
0
数据建模目前有两种比较通用的方式
数据建模目前有两种比较通用的方式1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。
1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。
20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。
近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。
本文主要介绍了数学建模中常用的方法。
一、数学建模的相关概念原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。
模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。
一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。
数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。
数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。
二、教学模型的分类数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。
三、数学建模的常用方法1.类比法数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。
类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。
《数学建模(一)》课程教学大纲
《数学建模（一）》课程教学大纲课程名称：数学模型Mathematical Modeling课程编码：07241506 课程类型：专业必修课或选修课课程性质：数学应用课适用范围：适合于修过高等数学的任何专业学时数：36 先修课程：高等数学考核方式：考查或考试制定单位：数学与信息科学学院制定日期：2008年4月执笔者：冯永平一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务随着科学技术和计算机的迅速发展，数学向各个领域的广泛渗透已日趋明显，数学不仅在传统的物理学、电子学和工程技术领域继续发挥着重要的作用，而且在经济、人文、体育等社会科学领域也成为必不可少的解决问题的工具。
因此，设立数学建模课程是课程的主要目的是：提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力，大力培养应用型人才。
本课程是沟通实际问题与数学工具之间联系的必不可少的桥梁。
将数学方法应用到任何实际问题中去，主要是通过机理分析，根据客观事物的性质分析因果关系，在适当的假设条件下，利用合适的数学工具得到描述其特征的数学模型。
学习本课程的大部分内容只需要大学的微积分、线性代数、概率论等基本数学知识。
教材选用的是高教出版社出版，姜启源主编的《数学模型》等教材。
（二）教学目的及要求逐步培养学生利用数学工具解决实际问题的能力。
能够将实际问题“翻译”为数学语言，并予以求解，然后再解释实际现象，甚至应用于实际。
培养学生的综合能力，包括创造、数学、计算机应用、应变、写作、自学、领导等能力以及团队精神和献身精神等。
最终提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力。
掌握：应用数学解决实际问题。
理解：各种模型适用范围、条件和运用。
了解：数学建模的综合能力。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学采用讲授、讨论、多媒体和实验等方法。
教师讲授约占75%，10%为讨论课，15%为实验课。
讲授时可用多媒体或黑板，讨论课内容由教师提出，实验课主要是数学软件的上机实践。
（四）课程教学与其它课程的联系数学模型涉及到微积分、线性代数、微分方程、概率统计和运筹学等，因此在高等数学教学时应注意包含这些内容，否则要在讲授本课程时补上。
D_变分法建模
2.端点变动的情况(横截条件)
容许曲线在始端固定,在末端不固定,是沿给定曲线变动, 端点条件为
以参数形式表述为 仿照前面推导可得
n 对每一个固定的 ， 都满足欧拉方程，即上式右端 第一项积分为0.
n 对于上式第二项、第三项，建立 与 之间的关系 .
n 两端对 求导,并令
有
n即
n 于是,前面的式子变为
n 由于 的任意性,得到横截性条件为
n 两种常见情形 n (1)当 时垂直于横轴,且终端时刻固定,终端自由. 此
时 及 的任意性,得到横截性条件为
n (2)当 时平行于横轴,且终端时刻自由,终端固定. 此
时
,得到横截性条件为
三、有约束条件的泛函极值
n 基本思想：将条件极值转化为无条件极值. n 寻找最优性能指标(目标泛函)
(用于确定 ) (用(于用确于定确定 ) )
解最优控制问题的步骤： （１）解控制方程得u＊。
（2）将上述u＊代入 正则方程，即可求得 和
在考虑边值条件可得 和 。
（3）将（2）中求得的代入（1）即可得到u＊。
四、最大值原理
如果受控系统为
其控制策略u(t)在有界集U中，求u(t)使得性能指标最优 (达到最大值或者最小值)
都有一个实数J与之对应,则称定义在S 上的泛函,记为
.
例如,函数的定积分 是一个泛函.
4.泛函的连续性 如果对于任意给定的正数 ,存在正数 ,当
时,能使
,则称泛函 在
阶接近的连续泛函.
处是k
n 5.泛函的变分
设 在 处的增量记为
,
如果泛函 在 处的增量
可以表示为
其中，L是 线性函数，R是 的高阶无穷
最大值原理是：如果
数学建模变分法建模
条件极值 满足的方程
所需的时间最少(见图1)。
x0
x1
x
y0
y1
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
y
图6-1
由能量守恒定律，物体在曲线 轨道上任意一点处的速度为
ds v 2 gy dt
2
1 y ds dt dx 2 gy 2 gy
物体从A到B的 滑行时间为
T[ y ( x )]
第六讲
变分法建模
• 处理动态优化问题
• 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题
6.1 变分法简介
一 实例 最速下降问题
求一条曲线 y x S，使得物体在重力的作用下
(不计摩擦力)，由 A x0 , y0 沿着该曲线轨道滑到 B x1 , y1
2
y 2 ~ C1 2 y 1 y
y 1 y C1
2
y ' ctgt y 1 ctg 2 t C1
dy ctgt dx
y c1 si n2 t 或 dy dx ctgt
C1 2t s i n2t x C2 2 y C 1 1 co s 2t 2
I ( y( x ), u( x ))
x
x0
H y dx
哈密尔顿函数
H y H y
y u
d H y dx d H y dx
y u
0 0
H ( x ) 0 y H 0 u
变分法模型
分析与建模
ds 如果以 s 表示从 A 点到 P 点的弧长，则有 2 gy ，又弧 dt
微分 ds 1 y ' dx ，所以： dt
2
ds 2 gy
1 y'2 2 gy
dx
从而质点从 A 滑动到 B 点所用的时间为：
x 1 1 1 y '2 dx t[ y ( x)] 2g 0 y y (0) 0 , y ( x1 ) y1
1 变分法简介
• 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。 本节就变分法的基础知识作简要介绍，需 要深入了解的读者可阅读有关专著。
变分法的基本概念
1．泛函的定义 设 D 为一个函数集合，若对于每一个函数 y ( x ) D 都 有一个确定的实数 J 与之对应， 则称 J 为定义在 D 上的一个 泛函，记作 J [( y ( x )] 。D 称为泛函 J 的定义域。 简言之，泛函是以函数集为定义域的实值函数。 最简泛函的形式之一为
但并不是任何情形下欧拉方程都可求出有 限解来，常见可以求解的特殊情形如下： 情形 A 若函数 F 中不含 x 和 y ，则欧拉 方程变为
Fy ' y ' y ' ' 0
而 若 Fy ' y ' 0 ， 则 有 y ' ' 0 ， 于 是
y c1 x c2 ，即极值曲线均为直线。
情形 B
若函数 F 中不含 y ，则欧拉方程变为
d dx
Fy ' 0
积分便可得出表示极值曲线的一阶微分方程：
Fy ' ( x, y ' ) C1 ，其解法有两种：
（1） 解出 y ' f ( x, c1 ) ，再积分之即可得极值曲线
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欧拉方程组
d Fy F y 0 dx F d F 0 z z dx
最速下降问题的求解
F ( x , y , y ) 1 2g 1 y y
2
d ( F y Fy ) 0, 或F y Fy C dx
1 y y
I ( y( x ), u( x ))
x
x0
H y dx
哈密尔顿函数
H y H y
y u
d H y dx d H y dx
y u
0 0
H ( x ) 0 y H 0 u
x1 uU x0
s.t . y ( x ) f x, y( x ), u( x )
拉格朗 日乘子 法
化条件极值为无条件极值
I ( y( x ), u( x )) [F ( x, y, u) f x, y, u y ]dx
x1 x0
H ( x, y, u) F ( x, y, u) f ( x, y, u)
其中任意常数 C1 , C2 由边界条件 y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1 确定
例
J [ y] min [( y / )2 2 y cos x]dx
S y( x ) y( x ) C 1 [0, ], y(0) 0, y( ) 0
F ( x, y, y) ( y / )2 2 y cos x
变分问题
二
泛 函
变分法的基本概念
设S为一函数集合，若对S中的每一函数都 有 一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S 上的一个泛函，记作J[y(x)] 。S称为泛函 J[y(x)]的定义域。
J [ y( x )] F x, y, y dx , y( x ) S
x x0
最简泛 函的形 式
x1
1 y ' 2 gy
2
x0
dx
问题
求解
2 x1 1 y ' min dx x0 2 gy s. t . y ( x ) S
S y( x ) y( x ) C 1 [ x0 , x1 ], y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1
条件极值 满足的方程
J ( y( x ) ) J ( y0 ( x)) (J ( y( x)) J ( y0 ( x))
变分与极值的关系
J ( y0( x ) ) J ( y0( x ) y( x ) ) 0
泛函数极值的必要条件 若 J ( y0 ( x)) 在 y0 ( x) 达到极值(极小或极大)，则
所需的时间最少(见图1)。
x0
x1
x
y0
y1
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
y
图6-1
由能量守恒定律，物体在曲线 轨道上任意一点处的速度为
ds v 2 gy dt
2
1 y ds dt dx 2 gy 2 gy
物体从A到B的 滑行时间为
T[ y ( x )]
J ( y0 ( x )) 0
三 最简泛函取得极值的必要条件
d Fy F y 0 dx
或 Fy Fyx y Fy y y" Fyy 0
欧拉 方程
注：此最简泛函极值的必要条件可以推广到含有 两个及两个以上未知函数
J y x , z x F x, y, y , z, z dx
第六讲
变分法建模
• 处理动态优化问题
• 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题
6.1 变分法简介
一 实例 最速下降问题
求一条曲线 y x S，使得物体在重力的作用下
(不计摩擦力)，由 A x0 , y0 沿着该曲线轨道滑到 B x1 , y1
L y0 ( x),y( x) r ( y0 ( x),y( x))
泛函 J 在
而 r 是 y 的高阶项 其中L是y的线性项，
J ( y0 ( x)) L( y0 ( x),y( x))
y0 ( x) 的变分
泛函的极值
泛函 J ( y( x )) s 取得极小值(极大值)是指： 对于任意一个与 y0 ( x) 接近的 y( x ) s 都有
ys
0
Байду номын сангаас
解
Fy 2 cos x , Fy 2 y
y cos x 0
y cos x c1 x c2
y(0) y( ) 0
y cos x
2
x 1
四 条件极值
J (u( x )) mi n F x, y( x ), u( x ) dx
2
y 2 ~ C1 2 y 1 y
y 1 y C1
2
y ' ctgt y 1 ctg 2 t C1
dy ctgt dx
y c1 si n2 t 或 dy dx ctgt
C1 2t s i n2t x C2 2 y C 1 1 co s 2t 2
S y( x) y( x) C [ x0 , x1 ], y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1
泛函的变分
函数 y( x ) 在 y0 ( x) 的增量 y x y x y0 x 函数 的
变分
J J y0 ( x) y( x) J y0 ( x)