变分法简介(简单_明了_易懂)
变分法
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
ห้องสมุดไป่ตู้
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
变分法简介(简单_明了_易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分法简介
xB
L
xA
1
dy dx
2
dx
y=y(x)不同，曲线的长度就会不同，也就是说L是曲线y=y(x)的 函数，这就是泛函。
下面不加证明的给出泛函问题的一些定义:
一、泛函 其值由一个或几个函数确定的函数称为泛函。简单记： 泛函-函数的函数。 对前述例题，记为:
xB
L y x
建立控制方程；然后结合具体的定解条件(边界条件和初始条件)求 解控制方程。显然，问题的物理实质不同，控制方程和定解条件也 就不同。然而，它们可被一般地表示为(图2．2)
A1 u
A
u
A2
u
0
M
B1 u
B
u
B2
u
0
M
结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领 域。 前面以弹性力学平面问题为例，阐释了有限单元法的 基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏系统性和深刻 性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述 有限单元法的基本原理，
内容包括： (1)介绍定解问题的微分方程提法； (2)根据微分方程的等效积分形式，推导虚位移原理及势能变
其中，C，D，E，F是微分算子。通常上式称为微分方程的弱形式(weakform)， 相对而言，定解问题的微分方程称为强形式(strong form)。
由于分部积分的缘故，场函数u的导数的阶次在弱形式中比在等效积分形 式中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续性。当然，
降低对u的连续性要求是以提高 v和 v的连续性要求为代价的。不过，由 于原来对 v和 并v 无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。
通俗简易讲解变分问题ppt课件
• 世界上有两个学术中心，引起各国学者的 注意，一个是美国麻省理工学院的赖斯纳、 日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人， 另一个就是钱伟长等一批中国的科学家。
• 以往的变分原理工作，大都是凑出来的，即首先写 出泛函，再取驻值验证。所以每一个新原理的出现 都是一项重要成果。钱伟长试图找到系统的做法， 他首先从最小位能原理和最小余能原理出发，把约 束条件利用拉格朗日乘子引入泛函，从而先放松条 件，得到相应广义化的变分原理。在变分中可以把 待定的拉氏乘子确定下来，这是对建立广义变分原 理的泛函提出合乎逻辑的数学方法，无疑是一个重 要成果。
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C·钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
补充几个概念
1
y'2 dx
l
，泛函
a 0
Fl
(x,
y,
y' )dx
ydx
0
•构造一个新函数 F y 1 y'2
λ —拉格朗日乘子。
根据降阶欧拉公式 ：
F
y
'
F' y
'
C
y 1 y '2 y ' 2y '
C
2 1 y '2
y (1 y'2 ) y'2 C
1 y'2
数值的总个数）的待定问题，具有按分布 形式的节点及其一定的节点参数子区域 e称 为单元。
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季泉生 jiquansheng1163
2019.12.13
• 由于60至70年代有限元方法的发展及其在 工程上的广泛应用，变分原理作为其理论 基础，显示出重要性。
• 世界上有两个学术中心，引起各国学者的 注意，一个是美国麻省理工学院的赖斯纳 、日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人 ，另一个就是钱伟长等一批中国的科学家 。
y(1y'2)y'2 C
1 y'2
y
1 y'2
C1
• 设 y' tg
y C 11 tg2 C 1se c C 1 co s
dy dx
tg
dxtdgyssiinndcosd xC2sin
cos
x y
1
C
2gy1y'2 2gy1y'2
• 设 y' ctg
1
C
2gy 1ctg2
1
C
2gy csc
sin C
2 gy
yC s2i2 2 n g1 4c go 2 C 2sC 21(1co 2s )
dy ctg
dx
dx
dy ctg
(C 1 2
数值的总个数）的待定问题，具有按分布 形式的节点及其一定的节点参数子区域 e称 为单元。
几个概念
• 泛函—函数的函数，表达式： F(x,y,y')dx； F(x,y,y')dx称为变分； F(x,y,y')dx0泛函的极值条件。
几个实例
• 1. 最大速降问题
• 坐标原点到某点M（a,b）时间最短，是走
什么轨道（轨迹）。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分法简介
西南交通大学峨眉校区基础部 2009—2012年
泛函的极值
【泛函极值的必要条件】
【定理 1】 使 J [ y] a F ( x, y, y)dx 取得极值的函数 y=y(x)且满足固定边界条件
y(a) y0 , y(b) y1
b
Variational Methods
d F 0 dx y
所以，立即就可以得到它的首次积分：
（1.3）
F 常量C 。 y
【2】泛函中的 F F ( y, y) 不显含 x 可以证明，
F d F d F F d F F F y F y y y y y y dx y dx y dx y y y y
f ( x , y, z ) 0
（2）
由高等数学知识知道，曲线(1)的长度为
L
x1
x0
1 y2 ( x) z2 ( x)dx
（3）
这样，短程线问题可归结为在满足约束条件（2）在，寻求过 A、B 两点的方程（1） ，使得积分（3）取得最小值。
短程线的变分问题称为约束极值问题或条件极值问题。
x x(t ), y y(t ) , (t0 t t1 )
（1）
其中，函数 x(t ), y(t ) 连续可微，且 x(t0 ) x(t1 ) , y(t0 ) y(t1 ) 。再设闭曲线的长度是 L，即
L
t1
0
x2 (t ) y2 (t )dt
（2）
根据格林公式，这条曲线所围成的面积是
1 y 2 y 2 c1 2 gy 2 gy (1 y2 )
令c
变分法基础 老大中
变分法基础老大中变分法是数学和物理学中一种重要的数值计算方法，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍变分法的背景和重要性。
变分法源于数学中的变分计算问题，最早起源于的变分问题。
它是一种求函数最值的方法，旨在寻找函数的极值点或稳定点。
变分法的发展历程经过了数学家们的不断研究和推导，逐渐形成了现代变分法的基础理论。
在物理学中，变分法广泛应用于解决各种力学和场的问题。
通过将物理问题转化为最值问题，可以用变分法来求解微分方程和泛函方程，从而获得物理系统的稳定解、极值解或最优解。
变分法在力学、电磁学、量子力学等领域起到了重要的作用。
在工程学中，变分法常用于优化设计问题和界面问题的求解。
通过对设计参数进行变分，可求解出具有最优性能的工程结构或系统。
变分法的应用可以降低系统的能耗、提高系统的效率，并优化系统与环境的交互效果。
总之，变分法作为一种重要的数值计算方法，在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用和重要的意义。
通过变分法的运用，可以获得优化问题的解析解或近似解，为各个领域的研究和实践提供有力的支持和指导。
泛函泛函是一个函数的集合，其中每个函数都将一个输入映射到一个输出。
在变分法中，我们将研究泛函的性质和优化问题。
变分变分是指对函数的微小变化。
在变分法中，我们将通过对函数进行变分来研究泛函的性质和优化问题。
变分法公式变分法公式是一种用于求解泛函优化问题的数学工具。
它涉及将变分应用于泛函，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
变分法公式可以表示为：对于给定的泛函J[y]，寻找函数y 使得J[y]取极值应用变分运算符，通过对函数y 进行变分，得到变分问题求解变分问题，得到泛函J[y]的极值函数y变分法是一种数学方法，广泛应用于不同领域，包括物理学和工程学。
下面列举了一些变分法在这些领域中的应用示例：物理学量子力学：变分法可以用于求解量子系统的基态能量和波函数形式。
经典力学：变分法可以用于求解约束系统的最小作用量路径。
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泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数：
（4）
这是因为当变分存在时，增量
根据 和 的性质有
所以
1.2泛函极值的相关结论
1.2.1泛函极值的变分表示
利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。
泛函极值的变分表示：若 在 达到极值（极大或极小），则
（5）
， （6）
泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程
（7）
欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：
对上式右端第二项做分部积分，并利用 ，有
，
所以
利用泛函极值的变分表示，得
因为 的任意性，及 ，由基本引理，即得（7）。
（7）式也可写成
（8）
通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。
泛函的极大值可以类似地定义。其中 称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 在 的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
如果 可以表为
其中 为 的线性项，而 是 的高阶项，则称 为泛函在 的变分，记作
1.1.2泛函极值问题
考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：
在所有连接定点 的平面曲线中，试求长度最小的曲线。
即，求 ，使
取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，
称泛函 在 取得极小值，如果对于任意一个与 接近的 ，都有 。所谓接近，可以用距离 来度量，而距离可以定义为
现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。
1.1变分法的基本概念
1.1.1泛函的概念
设 为一函数集合，若对于每一个函数 有一个实数 与之对应，则称 是定义在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。
§1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
解此方程并适当选取参数，得
（1）
即为悬链线。
悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
证明：对任意给定的 ， 是变量 的函数，该函数在 处达到极值。根据函数极值的必要条件知
再由（4）式，便可得到（5）式。
变分法的基本引理： ， ， ，有
，
则 。
证明略。
1.2.2泛函极值的必要条件
考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。
例如，在 上光滑曲线y(x)的长度可定义为
（2）
考虑几个具体曲线，取 ，
若 ，则
若y(x)为悬链线，则
对应 中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合 上的一个泛函，此时我们可以写成
我们称如下形式的泛函为最简泛函
（3）
被积函数 包含自变量 ，未知函数 (t)及导数 (t)。如，上述曲线长度泛函即为一最简泛函。
1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程
( ) 不依赖于 ，即
这时 ，欧拉方程为 ，这个方程以隐函数形式给出 ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
( ) 不依赖 ，即
欧拉方程为
将上式积分一次，便得首次积分 ，由此可求出 ，积分后得到可能的极值曲线族
( ) 只依赖于 ，即
这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题
(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程