变分法PPT
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通俗简易讲解变分问题ppt课件
• 由于60至70年代有限元方法的发展及其在 工程上的广泛应用，变分原理作为其理论 基础，显示出重要性。
• 世界上有两个学术中心，引起各国学者的 注意，一个是美国麻省理工学院的赖斯纳、 日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人， 另一个就是钱伟长等一批中国的科学家。
• 以往的变分原理工作，大都是凑出来的，即首先写 出泛函，再取驻值验证。所以每一个新原理的出现 都是一项重要成果。钱伟长试图找到系统的做法， 他首先从最小位能原理和最小余能原理出发，把约 束条件利用拉格朗日乘子引入泛函，从而先放松条 件，得到相应广义化的变分原理。在变分中可以把 待定的拉氏乘子确定下来，这是对建立广义变分原 理的泛函提出合乎逻辑的数学方法，无疑是一个重 要成果。
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C·钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
补充几个概念
1
y'2 dx
l
，泛函
a 0
Fl
(x,
y,
y' )dx
ydx
0
•构造一个新函数 F y 1 y'2
λ —拉格朗日乘子。
根据降阶欧拉公式 ：
F
y
'
F' y
'
C
y 1 y '2 y ' 2y '
C
2 1 y '2
y (1 y'2 ) y'2 C
1 y'2
数值的总个数）的待定问题，具有按分布 形式的节点及其一定的节点参数子区域 e称 为单元。
• 世界上有两个学术中心，引起各国学者的 注意，一个是美国麻省理工学院的赖斯纳、 日本著名学者鹫津久一郎、卞学鐄等人， 另一个就是钱伟长等一批中国的科学家。
• 以往的变分原理工作，大都是凑出来的，即首先写 出泛函，再取驻值验证。所以每一个新原理的出现 都是一项重要成果。钱伟长试图找到系统的做法， 他首先从最小位能原理和最小余能原理出发，把约 束条件利用拉格朗日乘子引入泛函，从而先放松条 件，得到相应广义化的变分原理。在变分中可以把 待定的拉氏乘子确定下来，这是对建立广义变分原 理的泛函提出合乎逻辑的数学方法，无疑是一个重 要成果。
• 一直到1977年，国外的文献上才有这一方面的 论述。O.C·钦科维奇（Zienkiewicz）在《有限元 法》一书中明确地把Courant和Hilbert的经典著 作中有关变分约束条件，待定拉格朗日乘子法 加以讲解，应用到弹性力学变分原理中。比起 钱伟长1964年的工作已晚了13年。
补充几个概念
1
y'2 dx
l
，泛函
a 0
Fl
(x,
y,
y' )dx
ydx
0
•构造一个新函数 F y 1 y'2
λ —拉格朗日乘子。
根据降阶欧拉公式 ：
F
y
'
F' y
'
C
y 1 y '2 y ' 2y '
C
2 1 y '2
y (1 y'2 ) y'2 C
1 y'2
数值的总个数）的待定问题，具有按分布 形式的节点及其一定的节点参数子区域 e称 为单元。
变分法
σ x τ yx τ zx (l1τ zx + l2τ zy + l3σ y )δ w] d S x + y + z δ u σ y τ xyx τ zy σ z τ xz τ yz + y + z + x δ v + z + x + y δ w d x d y d z
∫∫∫
及
px= l1σx+l2τyx +l3τzx py= l1τxy+l2σy+l3τzy pz= l1τxz +l2τyz+l3σz
或
Pi = σij lj
而这正是平衡方程和边界条件,这样我们从 虚位移原理或最小势能原理的变分方程,就包含 了平衡方程和边界条件.如果我们给出的位移是 坐标的连续函数(自然满足形变连续方程)满足弹 性体的几何约束,并且也满足最小势能原理或虚 位移原理,则求得的应力也满足平衡方程和边界 条件,也就是说他们是弹性问题的解.
δ = ∑ umδ m u A
m
δ = ∑ vm δBm v
m
δ = ∑ wmδ m w C
m
应变能的变分为
U U U δ = ∑( U δm+ A δm+ B δ m) C Am Bm C m
外力势能的变分为
δ = V
∑ ∫∫∫ ( F
m x m
bx m
u δ m + Fb y vm δBm + Fb z wmδ m ) d x d y d z A C
有 δU =
∫∫∫ ο = x δ u + ... + γ ∫∫∫
x
U 0 U 0 δ ε x + ... + δ γ yz + ... d x d y d z ε γ yz x δ w+ δ yz z y v + ... d x d y d z
第三章变分法泛函极值问题ppt课件
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（3-2）中第二项 为零，由（3-4）式可得
F (x)ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（3-5） （3-6）
因为这里讨论 x(t)是标量函数的情况，x(t0) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（3-5）、（3-6）可化 为
tt0 f F xx F xx o (x )2 ,(x )2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2]是高阶项。
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x dt
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
udvuvtt0f
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
xn (t)
x 1 ( t )
X
x
2
(
t
)
x
n
(
t
)
(3-9) (3-10)
泛函变分由（3-2）式改为
解 这是终端自由的情况。欧拉—拉格朗日方程为
d(2x3x2)0 dt
即
2x3x2 常数
于是 x 是常数，x则是时间的线性函数，令
x(t)A tB
由 x(0)0可得 B0，又终端是自由的，由式 （3-7）可得横截条件为
( F x )t1(2x 3x 2)t10
变分法PPT教学课件
主义道路上。今天的中国，是一个改革开放与和平崛
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
变分法
18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae
x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2
e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值
H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx
e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2
1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j
ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j
j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将 代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2
9
变分法简介剖析课件
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
变分法求基态能量的步骤课件
相对于其他方法，变分法 具有更高的计算效率和精 度，能够处理更复杂的物 理系统。
04
变分法求基态能量 的具体步骤
建立物理模型
确定系统的哈密顿量
01
首先需要确定所研究系统的哈密顿量，包括粒子的动能和势能
等。
确定边界条件
02
根据系统的实际情况，确定边界条件，如粒子在边界上的行为
等。
确定基态能量
03
基态能量是系统最低可能的能量状态，需要通过变分法求解。
02
变分的计算方法包括一阶变分、 二阶变分等，用于研究函数的极 值和稳定性等问题。
泛函的极值与变分法
泛函的极值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的 应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
理论发展
随着变分法的不断完善和发展，它 已经成为一种成熟的数学工具，为 解决复杂问题提供了有力支持。
变分法的发展历程
起源
变分法的起源可以追溯到17世纪，当 时微积分学刚刚兴起，一些数学家开 始研究用微积分的方法解决最优化问 题。
发展
应用
随着各领域的实际问题需要解决，变 分法的应用越来越广泛，推动了各领 域的发展。
将基态波函数代入哈密顿量中，求解 得到基态能量。
验证结果
验证求解得到的基态能量是否符合实 际情况，如不符合则需重新进行变分 求解。
05
变分法求基态能量 的实例分析
一维无限深势阱的基态能量求解
一维无限深势阱是一个理想模型，用于描述粒子在一维空间 中的运动。通过变分法，我们可以求解出粒子在一维无限深 势阱中的基态能量。
04
变分法求基态能量 的具体步骤
建立物理模型
确定系统的哈密顿量
01
首先需要确定所研究系统的哈密顿量，包括粒子的动能和势能
等。
确定边界条件
02
根据系统的实际情况，确定边界条件，如粒子在边界上的行为
等。
确定基态能量
03
基态能量是系统最低可能的能量状态，需要通过变分法求解。
02
变分的计算方法包括一阶变分、 二阶变分等，用于研究函数的极 值和稳定性等问题。
泛函的极值与变分法
泛函的极值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的 应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
理论发展
随着变分法的不断完善和发展，它 已经成为一种成熟的数学工具，为 解决复杂问题提供了有力支持。
变分法的发展历程
起源
变分法的起源可以追溯到17世纪，当 时微积分学刚刚兴起，一些数学家开 始研究用微积分的方法解决最优化问 题。
发展
应用
随着各领域的实际问题需要解决，变 分法的应用越来越广泛，推动了各领 域的发展。
将基态波函数代入哈密顿量中，求解 得到基态能量。
验证结果
验证求解得到的基态能量是否符合实 际情况，如不符合则需重新进行变分 求解。
05
变分法求基态能量 的实例分析
一维无限深势阱的基态能量求解
一维无限深势阱是一个理想模型，用于描述粒子在一维空间 中的运动。通过变分法，我们可以求解出粒子在一维无限深 势阱中的基态能量。
变分法原理与技术 PPT
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利 曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向 数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂 的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水 珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是 悬链线（catenary）。
q
2. 离散系统 Jx2(i)2u2(i) i1
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ，
x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 间的弧长为：
解一个二阶常微分方程
d2y
dy
a 1 ( )2
dx2
y(0)
dx y0
y (0) 0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努 利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在 所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
x
x(t)
x0(t)
o t1 图2－3 t2
t
一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 数 x ( t ) 和 x 0 ( t ) 之差的绝对值，即
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变分法
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
x2 x1
F
x,
y1,
y2
,
yn
,
y1,
y2
,
,
yn
dx
F d F 0
含有高阶导数： yi dx yi
i=1,2,3,…,n
I F x2 x, y, y, y,, y(n) dx x1
I x2 F x, y, ydx x2 F x, y a, y adx a
x1
x1
I
I
a0
dI da
a0
a
d2I da2
a0
a2 2!
I
I
dI da
a0
a
d2I da2
a0
a2 2!
a=0时， 为极值的必要条件为：
dI da
a0
0
x2 F
为函数的其他函数（因变量）； 3) 泛函中，除一阶导数外，还可以包含有高阶导数。
经典变分问题
最速落径问题
在垂直平面内，两点p1、p2间确定一滑槽，使一物体在 自重作用下，以最短时间由p1下降到p2。
最短线程问题
给定曲面g(x,y,z)上确定一条曲线，使其在曲面上的两 点之间的长度最短。
等周问题
函数求极值
y=f(x)
局部最大值
拐点
局部最小值
x
f
x
f
a
df dx
xa
x
a
1 2!
d2 f dx2
xa
x
a2
1 3!
d3 f dx3
xa
x a3
f
x
f
a
f
a
x
a
1 2!
f
a
x
a2
1 3!
f
a
x
a
3
一阶变分
I x2 F x, y, ydx x1
函数F对变量x,y和y`二次可微；
泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选择的路径， 即函数y(x)。
设存在函数y(x)，使泛函I达到极值，其相邻路径为 y(x)。
y(x)称为“极值曲线”或“极值函数y”(x，)
路径”
称为“可变
y(x) y(x) a(x)
η(x)是一可微函数，a为一微量的参变数。 η(x1)＝η(x2)＝0
1 cos t 2
2
x C 2 t sin t
y
C
2
1
cos
t
(7)
方程(7)表示一条旋轮线，它是直径为C的圆轮滚动 时，轮周上一固定点的轨迹方程。
变分运算
引入“δ算子”，定义 y x y x y x
δ算子表示当独立变量x为一固定值时，因变量函数y 的任意微小变化。
yy
yx
F y
y
F y
y
dx
O
2
I
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
I
x2 F
x1
y
d dx
F y
ydx
F y
y
x2 x1
I
x2 x1
F y
d dx
F y
ydx
(T)I I O 2
x2 F
x1
y
d dx
F y
ydx
O
2
2I
x2 x1
d dx
F y
y1 2
1 y2
1
2y
1
y
y2
0
2y 1 y2
y
(5)
2 y
2
dy dx
d ydx
y
2
d dy
y2
d
y2
1 y2
1 y
dy
(6)
y
1
y
2
C
y dy dx Cy
y C 2 1 cos t
dy C 2 sin tdt
1 cos t C sin tdt dx C 1 cost dt dx
x1
y
dy F da y
dy
da
dx a0
0
注意到 dy da ，dy da
x2 x1
F y
F y
dx
0
x2 F dx F
x1 y
y
x2
x1
x2 x1
d dx
F y
dx
在两端点 0
x2 x1
F
y
d dx
F y
dx
0
∵ (x)为任意函数
∴
F y
在所有的封闭平面曲线中，若这些曲线有固定长度L，确 定一条曲线，使其所围成的面积A最大。
变分法
经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答，其求解 过程为“最优化”过程。
经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法
和过程。
研究泛函极值的方法就是所谓变分法，研究泛函极值 的近似方法就是所谓变分方法。
式(2)简化为： T
1 x2 2g x1
1 y2
dx y
(3)
F(x, y, y)
1
y2
12
y
(4)
将式(4)直接代入欧拉－拉格朗日方程
F 1 y3 2 1 y2
y 2
F y
1
y2
1
2
yy1
2
d dx
F y
1 2
y 3
2
y2 1 y2
y1 2
y
1
y
2
3
2
F y
Euler－Poisson方程：
F y
d dx
F y
d2 dx 2
F y
1n
dn dx n
F y ( n )
0
变分的算法
(1)
dy dx
d dx
y
,
y(n) y (n)
(2)
F1 F2 F1 F2
(3)
F1F2 F2 F1 F1 F2
(4)
F1 F2 F2 F1 F1 F2 F22
d dx
F
y
0
欧拉－拉格朗日方程
最速落径问题
T
2 ds
2
dx2 dy2
x2
1 y2
dx
1V 1
V
x1
V
(1)
根据能量守恒原理
mV12 2
mgy1
mV 2
2
mgy
V
[V12
2g y
1
y1 ] 2
T
x2 x1
[V12
1 y2
2
g
y
y1
]
1 2
dx
(2)
设物体从零点静止开始下落
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
x2 x1
F
x,
y1,
y2
,
yn
,
y1,
y2
,
,
yn
dx
F d F 0
含有高阶导数： yi dx yi
i=1,2,3,…,n
I F x2 x, y, y, y,, y(n) dx x1
I x2 F x, y, ydx x2 F x, y a, y adx a
x1
x1
I
I
a0
dI da
a0
a
d2I da2
a0
a2 2!
I
I
dI da
a0
a
d2I da2
a0
a2 2!
a=0时， 为极值的必要条件为：
dI da
a0
0
x2 F
为函数的其他函数（因变量）； 3) 泛函中，除一阶导数外，还可以包含有高阶导数。
经典变分问题
最速落径问题
在垂直平面内，两点p1、p2间确定一滑槽，使一物体在 自重作用下，以最短时间由p1下降到p2。
最短线程问题
给定曲面g(x,y,z)上确定一条曲线，使其在曲面上的两 点之间的长度最短。
等周问题
函数求极值
y=f(x)
局部最大值
拐点
局部最小值
x
f
x
f
a
df dx
xa
x
a
1 2!
d2 f dx2
xa
x
a2
1 3!
d3 f dx3
xa
x a3
f
x
f
a
f
a
x
a
1 2!
f
a
x
a2
1 3!
f
a
x
a
3
一阶变分
I x2 F x, y, ydx x1
函数F对变量x,y和y`二次可微；
泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选择的路径， 即函数y(x)。
设存在函数y(x)，使泛函I达到极值，其相邻路径为 y(x)。
y(x)称为“极值曲线”或“极值函数y”(x，)
路径”
称为“可变
y(x) y(x) a(x)
η(x)是一可微函数，a为一微量的参变数。 η(x1)＝η(x2)＝0
1 cos t 2
2
x C 2 t sin t
y
C
2
1
cos
t
(7)
方程(7)表示一条旋轮线，它是直径为C的圆轮滚动 时，轮周上一固定点的轨迹方程。
变分运算
引入“δ算子”，定义 y x y x y x
δ算子表示当独立变量x为一固定值时，因变量函数y 的任意微小变化。
yy
yx
F y
y
F y
y
dx
O
2
I
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
I
x2 F
x1
y
d dx
F y
ydx
F y
y
x2 x1
I
x2 x1
F y
d dx
F y
ydx
(T)I I O 2
x2 F
x1
y
d dx
F y
ydx
O
2
2I
x2 x1
d dx
F y
y1 2
1 y2
1
2y
1
y
y2
0
2y 1 y2
y
(5)
2 y
2
dy dx
d ydx
y
2
d dy
y2
d
y2
1 y2
1 y
dy
(6)
y
1
y
2
C
y dy dx Cy
y C 2 1 cos t
dy C 2 sin tdt
1 cos t C sin tdt dx C 1 cost dt dx
x1
y
dy F da y
dy
da
dx a0
0
注意到 dy da ，dy da
x2 x1
F y
F y
dx
0
x2 F dx F
x1 y
y
x2
x1
x2 x1
d dx
F y
dx
在两端点 0
x2 x1
F
y
d dx
F y
dx
0
∵ (x)为任意函数
∴
F y
在所有的封闭平面曲线中，若这些曲线有固定长度L，确 定一条曲线，使其所围成的面积A最大。
变分法
经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答，其求解 过程为“最优化”过程。
经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法
和过程。
研究泛函极值的方法就是所谓变分法，研究泛函极值 的近似方法就是所谓变分方法。
式(2)简化为： T
1 x2 2g x1
1 y2
dx y
(3)
F(x, y, y)
1
y2
12
y
(4)
将式(4)直接代入欧拉－拉格朗日方程
F 1 y3 2 1 y2
y 2
F y
1
y2
1
2
yy1
2
d dx
F y
1 2
y 3
2
y2 1 y2
y1 2
y
1
y
2
3
2
F y
Euler－Poisson方程：
F y
d dx
F y
d2 dx 2
F y
1n
dn dx n
F y ( n )
0
变分的算法
(1)
dy dx
d dx
y
,
y(n) y (n)
(2)
F1 F2 F1 F2
(3)
F1F2 F2 F1 F1 F2
(4)
F1 F2 F2 F1 F1 F2 F22
d dx
F
y
0
欧拉－拉格朗日方程
最速落径问题
T
2 ds
2
dx2 dy2
x2
1 y2
dx
1V 1
V
x1
V
(1)
根据能量守恒原理
mV12 2
mgy1
mV 2
2
mgy
V
[V12
2g y
1
y1 ] 2
T
x2 x1
[V12
1 y2
2
g
y
y1
]
1 2
dx
(2)
设物体从零点静止开始下落