泛函和变分法PPT课件
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第五章 有限元法-1-泛函与变分(课堂PPT)
是构成各种先进、实用计算软件包的基础。
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5.1 概述
基本思想：传统的有限元法以变分原理为基础。
首先把所要求解的微分方程数学模型——边值问题， 转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；
然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数 的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组；
解之即得待求边值问题的数值解。
(4)从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一 个重要分支，很小有其它方法应用得这样广泛。
它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算 方法的发展。
11
有限元法的内涵也在不断延拓：
自从1969年以来，在流体力学领域中，通过运用加权余量法导 出的伽辽金法或最小二乘法同样得到了有限元方程。
例如，鉴于三维静态磁场分析的需要，由有限元法与数值积分 法相组合而成的单标量磁位法，校正了三十余年来简化标量法 有误的构造模式。
数学理论的发展也为有限元法注入了新的活力，
1970年，以A. M. Arthurs为代表提出了互补变分原理， 形成了泛函的所谓双边值问题，产生了互补、对偶有限元法。 这样，通过泛函极大与极小值问题的近似数值解，简单地求其 算术平均值，即可获得充分逼近真实解的理想计算结果。
热传导、渗流、
流体力学、空气动力学、土壤力学、
机械零件强度分析、
电磁场工程问题等。
4
电气工程领域的应用
1965年Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题，
1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。
至今
有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量 分析与优化设计的主导数值计算方法，
不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；二、三类边界条 件不必作单独的处理。
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5.1 概述
基本思想：传统的有限元法以变分原理为基础。
首先把所要求解的微分方程数学模型——边值问题， 转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；
然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数 的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组；
解之即得待求边值问题的数值解。
(4)从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一 个重要分支，很小有其它方法应用得这样广泛。
它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算 方法的发展。
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有限元法的内涵也在不断延拓：
自从1969年以来，在流体力学领域中，通过运用加权余量法导 出的伽辽金法或最小二乘法同样得到了有限元方程。
例如，鉴于三维静态磁场分析的需要，由有限元法与数值积分 法相组合而成的单标量磁位法，校正了三十余年来简化标量法 有误的构造模式。
数学理论的发展也为有限元法注入了新的活力，
1970年，以A. M. Arthurs为代表提出了互补变分原理， 形成了泛函的所谓双边值问题，产生了互补、对偶有限元法。 这样，通过泛函极大与极小值问题的近似数值解，简单地求其 算术平均值，即可获得充分逼近真实解的理想计算结果。
热传导、渗流、
流体力学、空气动力学、土壤力学、
机械零件强度分析、
电磁场工程问题等。
4
电气工程领域的应用
1965年Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题，
1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。
至今
有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量 分析与优化设计的主导数值计算方法，
不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；二、三类边界条 件不必作单独的处理。
泛函极值及变分法
第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。
泛函与变分简介 ppt课件
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泛函的极值――变分法
对于不同的自变量函数
，与此相应的泛函
也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数
，使泛函
具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大
值统称为泛函的极值．
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引入泛函的概念后，对于上述的最速降线问题变为泛函 的极小值问题．物理学中常见的有光学
中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿 (Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题．
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变分法的基本概念
泛函 变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．
为了说明泛函概念先看2个例题：
பைடு நூலகம்
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泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的公式．更为一般而又典型的泛函定义为
其中
称为泛函的核．
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即为
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不显含 ，故其E-L方程为（17.2.7）式
令
，故有
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令 再令
，分离变量得到 ，代入上式得到
即得到
此即为摆线的参p数pt课方件 程，积分常数可由初始位置28
．由(17.1.8)，有
，即
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（17.2.3）
变分法PPT
变分法
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
力学中的泛函分析和变分原理第十二讲
������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������
其中，������������������ = 2 ������������,������ + ������������,������ , ������������������ = ������������ , in ������; ������������ = ������������ , on ������������ .
用方程(6.1.10)式，试探函数用分片线性函数，可得有限元方程，这与Ritz法相
同。具体如下：
令：������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, 则有 ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)
Ritz法的可取函数是������ 0 类，即函数本身连续即可，但直接用(b)式，则需������ 1 类
函数，因������������������,������ 中包含位移的二阶导数。为使本方法也用������ 0 类函数，可用分部
积分，在(b)式中： ������������������,������ ������������ ������������ −
第1章变分法
接近度的任何函数 y1(x) 上的值，即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ，
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域，(1.1.10)式总是成立，那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函，如果存在ε >0，使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1，以 A 点为坐标原点，Ox 轴取在水平方向，Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线，质点沿这条曲线下滑.因初速度为零，
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ，y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数，则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx ， x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函，记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定 义域，有时也称为泛函的容许函数.简言之，泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个 映射，映射的自变元是一个函数，而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读 者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.
有限元基础(泛函、变分与变分法)
因此
aT K a ＝ aT K a
＝ aT( Ka - P ) ＝ 0 由 a 的任意性，就得到(1.3.6)式：
Ka — P ＝ 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零，即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函： 而问题的解 u 使泛函取驻值，即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹（Ritz）法
选择试探函数：
其中N为已知函数，a为待定参数
代入泛函积分式，泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件： J = 0
充分条件：J = 0 且：2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理：
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数，y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的，则有如下关系：
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理：
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函，因为此泛函中u的最高 次为二次，所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件：
1.算子L是偶数（2m）阶的；
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关，所以
(53页幻灯片)泛函分析PPT课件
泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作 希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方
泛函分析导 引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支 从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发 展而来 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析
研究内容
无限维向量空间上的函数，算子和极限理论 研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各 种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<)，x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生 了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化 几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系 统 过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统
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捷线问题：T = T [y(x)]
最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函
其中 F ( x, y, y' ) 的称为核函数
√
泛函和变分的基本概念(3/4)
函数的变分和泛函的变分
定义：设 y(x) 是泛函 J [y(x)] 的定义域内任意函数，如果 y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x)，则 Y(x) 与 y(x) 之
√
其它类型泛函的极值问题(1/4)
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式
J[ y1, y2,, ym ] = 欧拉方程
x1 x0
F
(
x,
y1
,
y2
,,
ym
,
y1,
y2
,,
ym
)dx
F - d ( F ) = 0, i = 1,2,, m yi dx yi
例：求解以下泛函的极值问题
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分，d 2J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零：d J = 0
√
最简泛函的极值问题(1/9)
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小
通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程
√
最简泛函的极值问题(8/9)
求解以下泛函的极值函数
J[ y(x)] =
1
(
y2
-
y
2
-
4xy)dx,
y(0) = y(1) = 0
0
取满足边界条件的基函数：w i = x i (1-x)
只取前面 n 项，作为 y 的近似
√
最简泛函的极值问题(9/9)
瑞利-里兹法的关键：选择合适的基函数 幂函数：{1, x, x2, … } = { x i } 三角函数：{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … } 其它：尽量同时满足边界条件
J[ y, z] = /2 ( y2 z2 2 yz)dx 0
y = 0, y = -1, z = 0, z = 1
x=0
x= / 2
x=0
x= / 2
解：
√
其它类型泛函的极值问题(2/4)
计算物理
泛函和变分法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
泛函和变分法
泛函和变分的基本概念 最简泛函的极值问题 其它类型泛函的极值问题 泛函和变分用于微分方程边值问题
√
泛函和变分的基本概念(1/4)
泛函的定义
例(最短路径)：设 C 为定义在 [a, b] 上、 y
例：如下泛函(不是最简泛函)的极值问题
J (u) = 1 [(u )2 (u )2 ]dxdy f (x, y)dxdy - quds
2 D x
y
D
2
u(x,
y) 1
=
u0 (x,
y)
等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程
2u x2
2u y 2
=
f
差 d y = Y(x) - y(x) 称为函数 y(x) 的变分
函数变分和微分的比较 变分和微分都是自变量 x 的函数 微分是同一个函数 y(x)，由于自变量 x 的取值不同而导 致函数值 y 的变化；变分是由于函数形式的不同而导 致函数值的变化
函数求导和求变分可以交换次序
√
泛函和变分的基本概念(4/4)
OA
x
所需的时间 T 取决于曲线的形状(如右图
所示)，T = T [y(x)]
y
问题：沿哪一条路径的下落时间最短
B
函数的形式 y(x) 不同
√
泛函和变分的基本概念(2/4)
定义：设 C 是函数(形式)的集合，B 是实数集合；如果对 C 中的任一元素 y(x)，在 B 中都有一个元素 J 与之对应， 则称 J 为 y(x) 的泛函，记为 J [y(x)] 泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量 最短路径：L = L[y(x)]
瑞利-里兹法的步骤
选一组相对完备的基函数
{w0,
w1,
…,
wn,
…}，线性展开
y
y = iwi (x), i 为待定系数
i =1
只取前面 n 项，作为 y 的近似，代入泛函，积分
n
n
J[ y] = F (x, y, y)dx = F (x, iwi (x),iwi(x))dx
i =1
i =1
= I (1,2 ,,n )
J[y] = I(1, 2,… ,n) 按多元函数取极值方法
I = 0, i = 1,2,, n
i
求解以上 即可得到
n y
的个近关似于，再i 的计方算程可，得得到到J系[y数]
i，代入展开式
取前面 n1 项，重复以上2和3步，直至 J[y] 收敛
√
最简泛函的极值问题(3/9)
例：求解捷线问题
√
最简泛函的极值问题(4/9)
欧拉方程的其它算法
如果 F 中不显含 y'，不满足边界条件，则极值函数不存在 如果 F 中不显含
例：再求解捷线问题
√
SUCCESS
THANK YOU
满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可 微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段
曲线的长(如右图所示)，L = L[y(x)]
O a bx
问题：沿哪一条路径的路程最短
函数的形式 y(x) 不同
例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一 条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运动，
(x,
y),
u(x, y) 1 = u0 (x, y),
u = q(x, y) n 2
√
最简泛函的极值问题(2/9)
例：求以下最简泛函的极值问题
J ( y) =
1
(
y2
xy)dx,
y
= 0, y
=1
0
x=0
x=1
核函数和微分方程
满足边界条件的极值函数
例：求解最短路径问题
2019/8/5
最简泛函的极值问题(6/9)
yA 例(最小旋转面)：光滑曲线以点 A(x0, y0)
和 B(x1, y1) 为端点(如右图)，求一条曲线 使它绕 Ox 轴旋转时所得曲面的面积最小
以 y(x) 表示任意曲线，得旋转面面积
B x
从欧拉方程的极值问题求曲线方程
√
最简泛函的极值问题(7/9)
最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函
其中 F ( x, y, y' ) 的称为核函数
√
泛函和变分的基本概念(3/4)
函数的变分和泛函的变分
定义：设 y(x) 是泛函 J [y(x)] 的定义域内任意函数，如果 y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x)，则 Y(x) 与 y(x) 之
√
其它类型泛函的极值问题(1/4)
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式
J[ y1, y2,, ym ] = 欧拉方程
x1 x0
F
(
x,
y1
,
y2
,,
ym
,
y1,
y2
,,
ym
)dx
F - d ( F ) = 0, i = 1,2,, m yi dx yi
例：求解以下泛函的极值问题
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分，d 2J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零：d J = 0
√
最简泛函的极值问题(1/9)
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小
通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程
√
最简泛函的极值问题(8/9)
求解以下泛函的极值函数
J[ y(x)] =
1
(
y2
-
y
2
-
4xy)dx,
y(0) = y(1) = 0
0
取满足边界条件的基函数：w i = x i (1-x)
只取前面 n 项，作为 y 的近似
√
最简泛函的极值问题(9/9)
瑞利-里兹法的关键：选择合适的基函数 幂函数：{1, x, x2, … } = { x i } 三角函数：{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … } 其它：尽量同时满足边界条件
J[ y, z] = /2 ( y2 z2 2 yz)dx 0
y = 0, y = -1, z = 0, z = 1
x=0
x= / 2
x=0
x= / 2
解：
√
其它类型泛函的极值问题(2/4)
计算物理
泛函和变分法
http://125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
泛函和变分法
泛函和变分的基本概念 最简泛函的极值问题 其它类型泛函的极值问题 泛函和变分用于微分方程边值问题
√
泛函和变分的基本概念(1/4)
泛函的定义
例(最短路径)：设 C 为定义在 [a, b] 上、 y
例：如下泛函(不是最简泛函)的极值问题
J (u) = 1 [(u )2 (u )2 ]dxdy f (x, y)dxdy - quds
2 D x
y
D
2
u(x,
y) 1
=
u0 (x,
y)
等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程
2u x2
2u y 2
=
f
差 d y = Y(x) - y(x) 称为函数 y(x) 的变分
函数变分和微分的比较 变分和微分都是自变量 x 的函数 微分是同一个函数 y(x)，由于自变量 x 的取值不同而导 致函数值 y 的变化；变分是由于函数形式的不同而导 致函数值的变化
函数求导和求变分可以交换次序
√
泛函和变分的基本概念(4/4)
OA
x
所需的时间 T 取决于曲线的形状(如右图
所示)，T = T [y(x)]
y
问题：沿哪一条路径的下落时间最短
B
函数的形式 y(x) 不同
√
泛函和变分的基本概念(2/4)
定义：设 C 是函数(形式)的集合，B 是实数集合；如果对 C 中的任一元素 y(x)，在 B 中都有一个元素 J 与之对应， 则称 J 为 y(x) 的泛函，记为 J [y(x)] 泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量 最短路径：L = L[y(x)]
瑞利-里兹法的步骤
选一组相对完备的基函数
{w0,
w1,
…,
wn,
…}，线性展开
y
y = iwi (x), i 为待定系数
i =1
只取前面 n 项，作为 y 的近似，代入泛函，积分
n
n
J[ y] = F (x, y, y)dx = F (x, iwi (x),iwi(x))dx
i =1
i =1
= I (1,2 ,,n )
J[y] = I(1, 2,… ,n) 按多元函数取极值方法
I = 0, i = 1,2,, n
i
求解以上 即可得到
n y
的个近关似于，再i 的计方算程可，得得到到J系[y数]
i，代入展开式
取前面 n1 项，重复以上2和3步，直至 J[y] 收敛
√
最简泛函的极值问题(3/9)
例：求解捷线问题
√
最简泛函的极值问题(4/9)
欧拉方程的其它算法
如果 F 中不显含 y'，不满足边界条件，则极值函数不存在 如果 F 中不显含
例：再求解捷线问题
√
SUCCESS
THANK YOU
满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可 微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段
曲线的长(如右图所示)，L = L[y(x)]
O a bx
问题：沿哪一条路径的路程最短
函数的形式 y(x) 不同
例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一 条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运动，
(x,
y),
u(x, y) 1 = u0 (x, y),
u = q(x, y) n 2
√
最简泛函的极值问题(2/9)
例：求以下最简泛函的极值问题
J ( y) =
1
(
y2
xy)dx,
y
= 0, y
=1
0
x=0
x=1
核函数和微分方程
满足边界条件的极值函数
例：求解最短路径问题
2019/8/5
最简泛函的极值问题(6/9)
yA 例(最小旋转面)：光滑曲线以点 A(x0, y0)
和 B(x1, y1) 为端点(如右图)，求一条曲线 使它绕 Ox 轴旋转时所得曲面的面积最小
以 y(x) 表示任意曲线，得旋转面面积
B x
从欧拉方程的极值问题求曲线方程
√
最简泛函的极值问题(7/9)