变分法简介(简单明了易懂)(可编辑修改word版)
? §1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：
约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比· 伯努利（ Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ， 1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线， 从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在 1646 年（当时 17 岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到 1691 年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程
? d 2 y ? dx 2 a 1+ ( dy )2 dx ?
y (0) = y ?
? ?
解此方程并适当选取参数，得
y '(0) = 0
即为悬链线。
y = 1 2a
(e ax
+ e -ax )
（1）
悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变
= 0
? 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 ? 0 0 0
分法来证明！
现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种： 古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 1.1
变分法的基本概念 1.1.1 泛函的概念
设 S 为一函数集合，若对于每一个函数 x (t ) ∈ S 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是定义 在 S 上的泛函，记作 J ( x (t )) 。 S 称为 J 的容许函数集。
例如，在[x 0 , x 1 ] 上光滑曲线 y(x)的长度可定义为
J = x 1
x 0
1 + y '2
dx
（2）
考虑几个具体曲线，取 x 0 = 0, x 1 = 1， 若 y (x ) = x ，则
1
若 y(x)为悬链线，则
J ( y (x )) = J (x ) = ?0 1 + 1dx = e x
+ e - x
1
1
e x
+ e
- x
e - e -1
J ( 2 ) = ?0 dx = ?0
dx = 2 2 对应C 1[x , x ] 中不同的函数 y(x)，有不同曲线长度值 J ，即 J 依赖于 y(x)，是定义在
函数集合C 1[x , x ] 上的一个泛函，此时我们可以写成
J = J ( y (x ))
我们称如下形式的泛函为最简泛函
t f
J (x (t )) = ?t
F (t , x (t ), x
(t ))dt （3）
被积函数 F 包含自变量t ，未知函数 x (t)及导数 x
(t)。如，上述曲线长度泛函即为一最简泛函。
1.1.2 泛函极值问题
考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：
在所有连接定点 A (x 0 , y 0 )和B (x 1 , y 1 ) 的平面曲线中，试求长度最小的曲线。即，求 y (x ) ∈ {
y (x ) y (x ) ∈ C 1[x , x ], y (x ) = y , y (x ) = y }
，使
J ( y (x )) = x 1
x 0
1 + y '
2 d x
取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为， 称
泛函 J ( x (t )) 在 x 0 (t ) ∈ S 取得极小值，如果对于任意一个与 x 0 (t ) 接近的 x (t ) ∈ S ， 都有 J ( x (t )) ≥ J ( x 0 (t )) 。所谓接近，可以用距离d ( x (t ), x 0 (t )) < 来度量，而距离可以定
义为
d (x (t ), x (t )) = max{| x (t ) - x (t ) |,| x (t ) - x (t ) |} t 0 ≤t ≤t f
2
(e x
- e -x ) 2
1 + 4 0
x (t ) = x (t ) - x 0 (t )
泛函的极大值可以类似地定义。其中 x 0 (t ) 称为泛函的极值函数或极值曲线。
1.1.3 泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 x (t ) 在 x 0 (t ) 的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
?J = J ( x 0 (t ) +x (t )) - J ( x 0 (t ))
如果?J 可以表为
?J = L ( x 0 (t ),x (t )) + r ( x 0 (t ),x (t ))
其中 L 为x 的线性项，而 r 是x 的高阶项，则称 L 为泛函在 x 0 (t ) 的变分，记作
J ( x 0 (t )) 。用变动的 x (t ) 代替 x 0 (t ) ，就有J ( x (t )) 。
（4）
这是因为当变分存在时，增量
?J = J ( x (t ) +x ) - J ( x (t )) = L ( x (t ),x ) + r ( x (t ),x )
根据 L 和 r 的性质有
L ( x (t ),x ) =L ( x (t ),x ) lim r ( x (t ),x ) = lim r ( x (t ),x )x = 0
→0
所以
→0 x ?
J ( x +x ) = lim J ( x +x ) - J ( x ) ?
=0
→0
= lim L ( x ,x ) + r ( x ,x ) = L ( x ,x ) = J ( x ) →0
1.2 泛函极值的相关结论
1.2.1 泛函极值的变分表示
利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示：若 J ( x (t )) 在 x 0 (t ) 达到极值（极大或极小），则
J ( x 0 (t )) = 0
（5）
证明：对任意给定的x ， J ( x 0 +x ) 是变量的函数，该函数在= 0 处达到极值。根
据函数极值的必要条件知
J ( x (t )) = ?
J ( x (t ) +x (t ))
?
=0
1 ? ? t f
? x t
?
J ( x +x ) = 0
? 0
=0
再由（4）式，便可得到（5）式。
变分法的基本引理：
( x ) ∈C [x 1 , x 2 x 2
( x )( x )dx ≡ 0 ，
x 1
]， ?( x ) ∈C 1[x , x ] ，( x 1) =( x 2
) = 0 ，有
则 ( x ) ≡ 0, 证明略。
x ∈[x 1, x 2 ] 。 1.2.2 泛函极值的必要条件
考虑最简泛函（3），其中 F 具有二阶连续偏导数，容许函数类 S 取为满足端点条件为
固定端点（6）的二阶可微函数。
x (t 0 ) = x 0 ， x (t f ) = x f
泛函极值的必要条件：设泛函（3 x(t)满足欧拉方程
（6）
（7）
欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：
J = ?
J ( x (t ) +x (t ))
? = t f ? t =0
F (t , x (t ) +x (t ), x (t ) +x (t )) =0 dt 0
= t f
t 0
? [F x (t , x , x )x + F x (t , x , x )x ]dt 对上式右端第二项做分部积分，并利用x (t 0 ) = x (t f ) = 0 ，有
t f
d
?t F x (t , x , x
)x dt = - F (t , x , x
)xdt ， 0
dt
所以
J = t f
[F t
x
- d F dt
x
]xdt
利用泛函极值的变分表示，得
t f
[F t 0
x
-
d
F dt
x
]xdt = 0
因为x 的任意性，及x (t 0 ) = x (t f ) = 0 ，由基本引理，即得（7）。
（7） 式也可写成
通常这是关于 x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。
1.2.3 几种特殊形式最简泛函的欧拉方程
（8）
(i) F 不依赖于 x
，即 F = F (t , x ) F x - F tx - F xx x - F x x x = 0 F - d
F = 0 x dt
x
?
? ?
2
d
这时 F x ≡ 0 ，欧拉方程为 F x (t , x ) = 0 ，这个方程以隐函数形式给出 x (t ) ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
(ii) F 不依赖 x ，即 F = F (t , x
)
欧拉方程为
dt
F x (t , x
) = 0 将上式积分一次，便得首次积分 F x (t , x
) = c 1 ，由此可求出 x = (t , c 1 ) ，积分后得到可能的极值曲线族
x = ?
(t , c 1 )dt
(iii) F 只依赖于 x
，即 F = F ( x )
这时 F x = 0, F tx = 0, F xx = 0 ，欧拉方程为
x F x x = 0
由此可设 x = 0 或 F x x = 0 ，如果 x
= 0 ，则得到含有两个参数的直线族 x = c 1t + c 2 。另外若 F x x = 0 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c 的直线族
x = kt + c ，它包含于上面含有两个参数的直线族况下，极值曲线必然是直线族。
（iv ） F 只依赖于 x 和 x
，即 F = F ( x , x )
这时有 F tx = 0 ，故欧拉方程为
F x - x F xx - x F x x = 0
此方程具有首次积分为
x = c 1t + c 2 中，于是，在 F = F ( x ) 情
事实上，注意到 F 不依赖于t ，于是有
d d d
dt (F - x F x ) = F x x + F x x - x F x - x dt F x = x (F x - dt
F x ) = 0
。 1. 3 几个经典的例子
1.3.1 最速降线问题
最速降线问题 设 A 和 B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从 A 滑行至 B 的时间最短。
解 将 A 点取为坐标原点，B 点取为 B(x 1,y 1)，如图 1。根据能量守恒定律，质点在曲
F - x F x = c 1
1 + y '2
2gy
1 + y '
2 2gy
?
ds
线 y ( x ) 上任一点处的速度
满足（ s 为弧长）
dt
1 ? ds ?2
m ? = mgy 2 ? dt ?
将ds = 1 + y '2 ( x ) dx 代入上式得
dt = dx
图 1 最速降线问题
于是质点滑行时间应表为 y ( x ) 的泛函
端点条件为
J ( y (x )) =
x 2
dx 0
y (0) = 0, y (x 1 ) = y 1
最速降线满足欧拉方程，因为
F ( y , y ' ) =
不含自变量 x ，所以方程（8）可写作
F y - F yy ' y '-F y ' y ' y ' ' = 0
等价于
作一次积分得
d
(F - y ' F dx
y '
) = 0 y (1 + y '2 ) = c
令 y ' = ctg
, 则方程化为
2
y = c 1 = c sin 2 = c
1 (1 - cos )
1 + y '
2 1 2 2
又因
dx = dy y '
积分之，得
= c 1 sin 2 cos 2 d ctg
2
= c
1 (1 - c os )d
2 x = c (
- sin
) + c
2
2
1 + y '2
y
A(0, 0)
x
B(x 1,y 1)
1
1 + y '
2 ( x ) 1 + y '2
=
?
x
1 2 1 1 2 2
c 1
= 由边界条件 y (0) = 0 ，可知c 2 = 0 ，故得
?x = c 1
(- sin ) ? 2 ? c ? y = 1 (1 - cos ). ?? 2
这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数c 1 可利用另一边界条件 y (x 1）= y 1 来确定。 1.3.2 最小旋转面问题
最小旋转面问题 对于 xy 平面上过定点 A ( x 1 , y 1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) 的每一条光滑曲线
y ( x ) ，绕 x 轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线 y ( x ) 的泛函 J ( y ( x )) ，易得
容许函数集可表示为
x 2
J ( y ( x )) 2 y ( x ) dx 1
解 因 F = y S = {y (x )|y (x ) ∈ C 1[x ,x ],y (x ) = y , y (x ) = y } 不包含 x ，故有首次积分
F - y ' F y ' = y - y ' y
y ' c
化简得
y = c 1
令 y ' = sht ，代入上式， y = c 1 = c 1cht
由 于 dx =
dy = c 1shtdt
= c dt
y ' sht 1
积分之，得 x = c 1t + c 2 消去t ，就得到 y = c ch x - c 2
。 1
这是悬链线方程，适当选择条件（令该悬链线过（0，1/a ）点，且该点处的切线是水平的） 就可得到（1）。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕 x 轴旋转所得旋
转体的侧面积最小的是悬链线！
1.3.3 悬链线势能最小
1691 年，雅可比·伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。
考虑通过 A 、B 两点的各种等长曲线。令曲线 y ＝f(x)的长度为 L ，重心坐标为(x , y ) ，
1 + y " 1 + y '
2 1 + y '2
1 + sh 2t 1
k b
b
=
则
L = ? ds = ?
dx
由重心公式有
a
a
x =L
，
y =L
由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明 L 是常数，不难看出重心的纵坐标是 y(x)的最简泛函，记作
J ( y (x )) = ?a y (x ) 1 + ( y ') 2 dx
此时对应的欧拉方程（8）可化为
yy ' - ( y ') 2 - 1 = 0
dy
令 p 解得 dx
y 2 = k (1 + p 2 ), k > 0 ，进而得
y = 1
ch [ k (x + c )] 。
此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称之为最小势能原理。 1.4 泛函极值问题的补充 1.4.1 泛函极值的几个简单推广
（ⅰ）含多个函数的泛函使泛函
取极值且满足固定边界条件
y ( x 1 ) = y 1 , y ( x 2 ) = y 2 , z ( x 1 ) = z 1 , z ( x 2 ) = z 2 .
的极值曲线 y = y ( x ), z = z ( x ) 必满足欧拉方程组
（ii ） 含高阶导数的泛函
使泛函
取极值且满足固定边界条件
J ( y ( x )) = F ( x , y , y ', y ")dx
? x 2
x 1
J ( y ( x ), z ( x )) = F ( x , y , y ' , z , z ' )dx
? x 2
x 1
?
? f
+ F y - dx F y ' + dx
2 F y " = 0
d
d 2 J (z ( x , y )) = ?? F ( x , y , z , z x , z y )dxdy
D
F - ? F - ? F = 0 z
?x z x ?y
z y y ( x 1 ) = y 1 , y （x 2）= y 2，y '( x 1 ) = y '1 , y '( x 2 ) = y '2
的极值曲线 y = y ( x ) 必满足微分方程
（iii ） 含多元函数的泛函
设 z ( x , y ) ∈ c 2 ,( x , y ) ∈ D ，使泛函
取极值且在区域 D 的边界线l 上取已知值的极值函数 z = z ( x , y ) 必满足方程
上式称为奥式方程。
1.4.2 端点变动的情况（横截条件）
设容许曲线 x (t ) 在t 0 固定，在另一端点t = t f 时不固定，是沿着给定的曲线 x =
(t )
上变动。于是端点条件表示为
?x (t 0 ) = x 0
?
x (t ) =(t ) 这里t 是变动的，不妨用参数形式表示为
t = t f +
dt f
寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有
0 = J = ?
t f +dt f t F (t , x +x , x +x )dt =0
? （9）
再对（9）式做如下分析：
（i ） 对每一个固定的t f ， x (t ) 都满足欧拉方程，即（9）式右端的第一项积分为零； （ii ） 为考察（9）式的第二、第三项，建立dt f 与x t =t 之间的关系，因为
x (t f +dt f ) +x (t f
+dt f ) =(t f +dt f )
对
求导并令
= 0 得
x (t f )dt f
x t =t f
= (t f )dt f 即
= (F - F )xdt + F x ? t f d t 0 x dt
x x t =t f + F t =t f dt f
= 0 f f t
t t =t f
= 0
[F + ( - x
)F x ] x t =t f
= [ (t f ) - x (t f )]dt f （10）
把（10）代入（9）并利用dt f 的任意性，得
（11） 式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。
横截条件有两种常见的特殊情况：
（11）
（i ）当 x =
(t ) 是垂直横轴的直线时， t f 固定， x (t f ) 自由，并称 x (t f ) 为自由端点。
此时（9）式中dt f 0 及 x 的任意性，便得自由端点的横截条件
t =t f
（12）
（ii ）当 x =
(t ) 是平行横轴的直线时， t f 自由， x (t f ) 固定，并称 x (t f ) 为平动端点。
此时 = 0 ，（11）式的横截条件变为
* （13）
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
1.4.3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系 统
x
(t ) = f (t , x (t ), u (t )) 寻求最优性能指标（目标函数）
t f
* （14）
J (u (t )) = (t f , x (t f )) + ?t
F (t , x (t ), u (t ))dt
* （15）
其中u (t ) 是控制策略， x (t ) 是轨线， t 固定， t 及 x (t ) 自由， x (t ) ∈ R n ， u (t ) ∈ R m
（不受限，充满 R m 空间）， f ,, F 连续可微。
下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u * (t ) 和最优轨线 x * (t ) 的必要条件。
采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑
t f
T
J 1 ( x , u ,) = (t f , x (t f )) + ? [F (t , x , u ) + (t )( f (t , x , u ) - x )]dt （16）
的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton ）函数为
H (t , x ,u ,) = F (t , x ,u ) +
T
(t ) f (t , x ,u )
将其代入（16）式，得到泛函
（19）（17）
J 1( x , u ,) = (t f , x (t f )) + ?t f
[H (t , x , u ,) - T x
]dt （20）(18)
t =t f = 0
F x t =t f = 0
F - x F x 0
t 0
])
t ?
t )] ?
t x ? 0 0 f t f
f
下面先对其求变分
J = ?
{(t +dt , x (t ) +x (t )) 1 ? f
f f
f
+ ?
t f +dt f
[H (t , x +x , u +u ,+) - (+)T ( x
+x )]dt }
=0
= [x (t
T
x (t f ) +
(dt f )T
f
+ (dt f )T
H (t , x , u ,) t =t f - (dt f )T (T
x
)
t =t f
+
t f
[(x )T H
t 0
x
+
(u )T H + ()T
H
- ()T x
- T x ]dt = (dt f )T
[ f + F (t , x , u , t ) t =t f ] + [x (t f
T
x (t f )
（注：第一项利用公式（14）化简后） +
t f
[(x )T H
t 0
x
+ (u )T H + ()T
H
- ()T x
]dt - T
(t )x
t =t f +
t f
(x )T dt
t 0
（注意最后两项是根据等号前最后一个积分项利用分部积分法得到。） 同时注意到x t =t
≠ x (t f ) ，x t =t
= x (t f ) - x
(t f )dt f ，因而
J 1 = (dt f )T [ f
+ H (t , x , u ,) t =t f ] + [x (t f )]T
( - ) t =t f + t f
[(x )T
(H t
x
+ ) + ()T (H - x ) + (u )T H ]dt 再令J 1 = 0 ，由dt f ,x (t f ),x ,u ,的任意性，便得
（i ） x *,* 必满足正则方程：
① 状态方程 x = H
=
f (t , x , u )
② 协态方程 = -H x 。
（ii ） 哈密顿函数 H (t , x *,u ,* ) 作为u 的函数，也必满足
H u = 0
并由此方程求得u * 。
（iii ） 求 x *,*, u * 时，必利用边界条件
① x (t ) = x ，
（用于确定 x * ）
② (t f ) =
x (t )
，
（用于确定
*
）
③
= -H (t , x , u ,) t =t ， （确定t f ）
1.4.4 最大（小）值原理
如果受控系统
?
f
f
f
u u f u
= + ?t x = f (t , x , u ) ， x (t 0 ) = x 0
其控制策略u (t ) 的全体构成有界集U ，求u (t ) ∈U ，使性能指标
t f
J (u (t )) (t f , x (t f )) 0
F (t , x , u )dt
达到最大（小）值。
最大（小）值原理：如果 f (t , x , u ) ，
(t f , x (t f )) 和 F (t , x , u ) 都是连续可微的，那么
最优控制策略u * (t ) 和相应的最优轨线 x * (t ) 由下列的必要条件决定：
（i ） 最优轨线 x * (t ) ，协态向量
*
(t ) 由下列的必要条件决定：
dx =
dt
f (t , x , u ) ， u (t ) ∈U ， d = - ?H
dt ?x
（ii ） 哈密顿函数
H (t , x *, u ,* ) = F (t , x *, u ) + *T (t ) f (t , x *, u )
作为u (t ) 的函数，最优策略u * (t ) 必须使
H (t , x *, u *,* ) = max H (t , x *, u ,* )
u ∈U
或使
H (t , x *, u *,* ) = min H (t , x *, u ,* ) (最小值原理)
u ∈U
（iii ） 满足相应的边界条件
① 若两端点固定，则正则方程的边界条件为
x (0) = x 0 ， x (t f ) = x f 。
② 若始端固定，终端t f 也固定，而 x (t f ) 自由，则正则方程的边界条件为
x (0) = x 0 ，(t f ) = x (t f ) (t f , x (t f )) 。
③ 若始端固定，终端t f , x (t f ) 都自由，则正则方程的边界条件为
x (0) = x 0 ，(t f ) = x (t f ) (t f , x (t f )) ，
H (t f , x (t f ), u (t f ),(t f )) +
t f
(t f , x (t f )) = 0 。
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则
个人简历模板—word版可编辑
某某市 xxxxxxxxxx 语言技能 基本资料 English Spanish French German 英语四级证书 普通话二级证书 校优秀毕业生 校级三好学生 获得证书 掌握技能 教育背景 工作经历 Photoshop Illustrator Office Excel 2003 - 2007 本科 北京某某大学 设计专业 介绍下学到的东西，可以是在校获得荣誉情况等。介下学到的东西，可以是在校获得荣誉情况等。 简历设计师 某某 姓名：王阳 年龄：24岁 民族：汉族 籍贯：山东 学历：本科 专业：设计 888888888 2010 - 2013 某某设计服务有限公司 负责企业画册设计、标志设计、产品包装设计、杂志广告跨页设计。修改为自己工作内容介绍。修改为自己工作内容介绍。修改为自己工作内容介绍。 2010 - 2013 某某设计服务有限公司 负责企业画册设计、标志设计、产品包装设计、杂志广告跨页设计。修改为自己工作内容介绍。修改为自己工作内容介绍。修改为自己工作内容介绍。 2003 - 2007 本科 北京某某大学 设计专业 介绍下学到的东西，可以是在校获得荣誉情况等。介下学到的东西，可以是在校获得荣誉情况等。
xxxxxxxxxx 888888888 某某市 尊敬的领导： 您好！ 我是一名即将毕业的本科毕业生。我很荣幸有机会向您呈上我的个人资料。在投身社会之际,为了更好地发挥自己的才能,谨向各位领导作一下自我推荐。 伴着青春的激情和求知的欲望，我即将走完四年的求知之旅， 美好的大学生活，培养了我科学严谨的思维方法，更造就了我积极乐观的生活态度和开拓进取的创新意识.课堂内外拓展的广博的社会实 践、扎实的基础知识和开阔的视野，使我更了解社会；在不断的学习和工作中养成的严谨、踏实的工作作风和团结协作的优秀品质，使我深信自己完全可以在岗位上守业、敬业、更能创业！我相信我的能力和知识正是贵单位所需要的，我真诚渴望，我能为单位的明天奉献自己的青春和热血！ 我一定会尽职尽责地用实际行动向您证明：您的过去，我来不及参与；但您的未来，我愿奉献我毕生的心血和汗水！ 再次致以我最诚挚的谢意! 此致 敬礼！ 简历设计师 某某 自荐信
Word文字处理软件练习题及答案
Word文字处理软件练习题 一、选择题 1、在Word 2010文字编辑中，不能实现的功能是（）。 A. 把文档的标题文字设置成不同的颜色 B. 把选定的英文单词翻译成相应的中文词 C. 打开一个低版本的文档 D. 把当前文档保存成一个低版本的文档 2、在Word中，打开文档是指（）。 A. 为指定的文档创建一个空白文档窗口 B. 为指定的文档开辟一块硬盘空间 C. 把文档的内容从内存中读出并且显示出来 D. 将指定的文档从硬盘调入内存并且显示出来 3、在Word的文档编辑中，如果选定的文字块中含有几种不同字号的汉字，则在工具栏的“字号”下拉列 表中，显示出的字号是（）。 A. 选定文字块中的第一个汉字的字号 B. 选定文字块中最后一个汉字的字号 C. 文字块中使用最多的字号 D. 空白 4、启动Word有多种方式，在下列给出的几种方式： （1）在桌面上双击Word快捷方式图标 （2）在“快速启动”栏中单击Word快捷方式图标 （3）在“开始”菜单的“所有程序”级联菜单中单击Word程序名 （4）通过“开始”菜单的“搜索程序和文件”找到Word应用程序后，单击该程序图标 正确的说法是（） A. 只有（1）是正确的 B. 只有（2）、（3）是正确的 C. 只有（2）、（3）、（4）是正确的 D.（1），（2）、（3）、（4）都正确 5、在Word中，要把整个文档中的所有“电脑”一词修改成“计算机”一词，可能使用的功能是（）。 A. 替换 B. 查找 C. 自动替换 D. 改写 6、Word的主要功能是（）。 A. 文档的编译 B. 文档的编辑排版 C. 文档的输入输出 D. 文档的校对检查 7、在Word的“页面设置”对话框中，不能设置的选项为（）。 A. 字体 B. 页边距 C. 纸张方向 D. 纸张大小 8、在Word 2010中，要在文档中加入页眉，页脚，应该使用（）选项卡中的相关命令按钮。 A. “插入” B. “开始” C. “页面布局” D. “文件” 9、在Word中输入文本时，当输入满一行时会自动换到下一行，这样的换行是插入了一个（）。 A. 硬回车符 B. 分页符 C. 分节符 D. 软回车符 10、在Word 2010中，在“字体”对话框的“高级”选项卡中不能实现的功能是（） A.缩放 B. 间距 C. 位置 D. 字形 11、在Word中，能将剪贴板上的内容拷贝到“插入点”处的操作是（） A. 单击“开始”选项卡中的“剪切”按钮 B. 单击“开始”选项卡中“复制”按钮 C. 单击“开始”选项卡中“替换”命令 D. 按Ctrl＋V键 12、在Word 的“字体”对话框中，不能设置的字符格式是（） A. 上标 B. 加下划线 C. 字符间距 D. 首行缩进 13、下面哪种方法可以选择一个矩形的文字块( )。 A. 按住Ctrl键，再按下鼠标左键，并拖动到矩形字块的右下角 B. 不能一次选定，只能分步来选 C. 按住Alt键，再按下鼠标左键，并拖动到矩形字块的右下角 D. 按住Shift键，再按下鼠标左键，并推动到进行字块的右下角 14、在Word主窗口中，要给一段选定的文本加上边框，应从（）选项卡中选择“边框和底纹”命令。 A. “插入” B. “视图” C. “开始” D. “文件” 15、在编辑Word文档中，“Ctrl+A”表示( )。
(完整word版)个人简历样本
个人简历样本 个人简历 姓名：林源籍贯：广东省###市出生年月：###年##月 攻读：硕士专业：历史地理性别：男身高：166CM 政治面貌：党员培养方式：统招研究方向：城市历史地理 学历经历： 在河南淅川县第一高中读高中 在清华大学历史系读本科 1997至今在清华大学人文科学历史地理所读研 通讯地址： 清华大学人文科学院历史地理研究所研究生信箱 邮编：100081 电话：8765#### 传呼：191－###### 192－###### 爱好与特长：
新闻写作和编辑策划：在中央电视台、《人民日报》、《光明日报》、《中国青年报》、《中国大学生》、《知音》、《爱情婚姻家庭》、《年轻人》等报刊杂志发表消息、评论、通讯、纪实、散文、诗歌等体裁文章一百多篇20余万字。在《自然科学》、《清华大学》、《清华大学研究生学报》等刊物发表学术论5篇，参编《现代家庭知识》七万余字，《北京趣闻》三万余字，《共铸的丰碑－北京军民共建五十年纪实》十余万字。 任职及社会活动： 清华大学学生社团联合会秘书长兼学生综合学术刊物《北大论坛》副主编任清华大学研究生会副秘书长兼《清华大学研究生报》主编 至今任北京研究生记者团团长兼《清华大学研究生学报》副主编、《北大经纬》报副主编 任职期间参与组织各项社团活动。尤其读研以来，作为《清华大学研究生学报》和《清华大学经纬》副主编，积
极采、组、改、编、审稿，付出了大量的精力和汗水。同时，在担任校研究生会副秘书长和《研究生简报》主编时，经常写、贴海报，积极向校内外媒体投稿，负责对内对外宣传，参与组织北大每年一度的研究生红枫杯辩论赛、各类晚会、讲座等研究生文体活动。本人以热情、勤奋、务实、创新的工作作风受到清华大学师生的好评。 获奖情况： 97－98年度清华大学“优秀研究干部”称号 97－98年度清华大学优秀研究生奖学金 97－98年度清华大学学术成果甲等奖 98－99年度《清华大学》优秀通讯员 98－99年度清华大学优秀研究生专项奖 98－99年度《清华大学研究生学报》优秀编辑
变分法简介(简单明了易懂)(可编辑修改word版)
? §1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比· 伯努利（ Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ， 1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线， 从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在 1646 年（当时 17 岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到 1691 年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 ? d 2 y ? dx 2 a 1+ ( dy )2 dx ? y (0) = y ? ? ? 解此方程并适当选取参数，得 y '(0) = 0 即为悬链线。 y = 1 2a (e ax + e -ax ) （1） 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变 = 0
变分法的发展与应用
变分法的发展与应用 应用数学11XX班XXX 104972110XXXX 摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 关键词：起源；发展；应用 1.引言 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研
究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。 近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 2.变分法的起源 物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。 费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。 受费尔马的影响，约翰伯努利研究了“最速降线”问题：给 定空间中的两个点,a b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。 变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。 3.变分法的发展 18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯
个人求职简历WORD最全模板(完整版)
个人简历 (一) 个人简历 (二)
个人简历 (四)
个人简历 (五)应聘单位及职位: 个人简历 (六) （供应届毕业生参考）
个人概况: 求职意向：__________________ 姓名: _______________性别: ________ 出生年月: ____年__ 月日健康状况: ___________ 毕业院校: _______________专业: _____________ 电子邮件: _______________传真: ____________ 联系电话: _______________ 通信地址: _______________邮编: ____________________ 教育背景: ______年月______年月___________ 大学__________专业(根据个人情况酌情增减) 主修课程: ________________________________________________(注:如需要详细成绩单,请联系我) 论文情况: ____________________________________________________(注:注明是否已发表) 英语水平: 基本技能:听、说、读、写能力 标准测试:国家四、六级;TOEFL;GRE..... 计算机水平: 编程、操作应用系统、网络、数据库......(请依个人情况酌情增减) 获奖情况: ________________ 、________________、________________ (请依个人情况酌情增减) 实践与实习: ____年____月____年____月_________公司__________工作 ____年____月____年____月_________公司__________工作(请依个人情况酌情增减) 工作经历: ____年____月____年____月_________公司__________工作(请依个人情况酌情增减) 个性特点: ___________________________________（请描述出自己的个性、工作态度、自我评价等）另： (如果你还有什么要写上去的，请填写在这里！) 附言:(请写出你的希望或总结此简历的一句精炼的话!) 例如:相信您的信任与我的实力将为我们带来共同的成功! 或希望我能为贵公司贡献自己的力量! 个人简历 (七) （供有工作经验人员参考） 个人概况: 求职意向: ____________________ 姓名: ________________ 性别: 出生年月: ____年__月__日健康状况: 学历:毕业院校: _______________ 专业:参加工作时间: ____年月 联系方式: 电子邮件: _______________ 手机: ____________________ 家庭电话: _______________ 传真: ____________________ 通信地址: _______________ 邮编: ____________________ 教育背景:
变分法简介(简单_明了_易懂)
§1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数，得 )(21ax ax e e a y -+= （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变???????='=+=0)0()0()(10222y y y dx dy a dx y d
Matlab建模教程-变分法简介
§1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数，得 )(21ax ax e e a y -+= （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变 ???????='=+=0)0()0()(102 2 2y y y dx dy a dx y d
变分原理与变分法
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
个人简历模板大全word版80747
个人简历姓名: 性别: 专业: 学历: E-mail: 电话: 家庭住址: 教 育 情 况 技 能 水 平 个 人 经 历 获 奖 情 况 自我 评价 求职 意向
个人简历 就业方向 个人资料 姓名: ****性别: 男民族: 汉年龄: 21 籍贯: 专业: 政治面貌: 爱好: 电子邮箱: 联系电话: 个人评价 本人热心、善良、自信、自律、上进心强，有较强的组织、管理能力。工作认真负责，勇于承担任务与责任，能够快速接受新知识和快速适应新环境，具有良好的团队合作精神以较好的个人亲和力。良好的综合素质，具备复合型人才的条件。 教育背景 个人能力 1，语言能力: 具有较强的英语听说读写能力。 CET-4:合格 CET-总分428 具有初级日语听说读写能力 普通话流利具有较强语言表达能力 2，计算机能力: 通过四川省计算机等级考试1级 熟悉Excel, PowerPoint等Office软件 3，主修课程: 现代汉语，法律基础，主要英语国家社会与文化，高级语言程序设计，日语，教育学，教育心 理学，英美文学史，英美文学阅读，英语教学法，高级英语，英语语言学， 社会及校内实践 所获证书及奖项
个人简历 基本资料 姓名*** 性别男年龄身高 现居住地 毕业学校 个人信条：做事先做人 能力+努力+机会=成功 计算机技能 技能?学过计算机应用基础、数据库原理、操作系统、计算机网络与应用、VC++ 、 SQL Server2000 、软件工程 ?能进行电脑硬件、软件的安装以及局域网的维护 ?精通Photoshop等图像平面处理软件的使用 ?熟悉各类操作系统，并熟练运用Word, Excl及其它Office系列办公软件 ?熟悉FrontPage、Dream weaver网页编辑软件的使用 ?熟练地运用SPSS11统计软件进行数据统计 个人经历 学习经历
普通个人简历模板(word版四套)
个人简历 (模板一) （供有工作经验人员参考） 个人概况: 求职意向: ____________________ 姓名: ________________ 性别: 出生年月: ____年__月__日健康状况: 学历:毕业院校: _______________ 专业:参加工作时间: ____年月 联系方式: 电子邮件: _______________ 手机: ____________________ 家庭电话: _______________ 传真: ____________________ 通信地址: _______________ 邮编: ____________________ 教育背景: ____年月____年月___________大学__________专业(根据个人情况酌情增减) ____年月____年月___________ 大学__________专业(可将在学的业余课程写上) 工作经验: ____年__月____年__月___________ 公司__________部门__________工作 ____年__月____年__月___________ 公司__________部门__________工作 (依个人情况酌情增减) 此处应为整篇简历的核心内容,应聘者可以着重叙述此项,并根据个人工作情况不同而重点突出说明工作具体内容与经历，尤其是与求职目标相关的工作经历；一定要说出最主要、最有说服力的工作经历和最具证明性的为公司获取的利润和相关成绩；说明的语气要坚定、积极、有力；具体的工作、能力等证明材料等；写工作经验时，一般是先写近期的，然后按照年代的顺序依次写出。最近的工作经验是很重要的。在每一项工作经历中先写工作日期，接着是工作单位和职务。在这个部分需要注意的一点是，陈述了个人的资格和能力经历之后，不要太提及个人的需求、理想等。 英语水平: 基本技能:听、说、读、写能力...... 标准测试:国家四、六级;TOEFL;GRE...... 计算机水平: 编程、操作应用系统、网络、数据库......(请依个人情况酌情增减) 业余爱好: 个性特点: __________________________（请描述出自己的个性、工作态度、自我评价等） 另： (如果你还有什么要写上去的，请填写在这里！) 附言:(请写出你的希望或总结此简历的一句精炼的话!) 例如:相信您的信任与我的实力将为我们带来共同的成功! 个人简历 (模板二)
第四章 Word文字处理软件习题及答案
第四章WORD文字处理软件习题 一、选择题 1、中文Word 2010 编辑软件的运行环境是（）。 A. DOS B. WPS C. Windows D.高级语言 2．在Word的编辑状态下，当前输入的文字显示在（）。 A.鼠标光标处 B.插入点 C.文件尾 D.当前行尾 3．有关Word文本行的说法中正确的有（）。 A.输入文本内容到达屏幕右边界时应按回车键换行 B.在Word中，文本行的宽度就是显示器的宽度 C.Word文本行的宽度与页面设置有关 D. Word 文本行的宽度用户无法控制 4．以下关于选定操作的说法中正确的有（）。 A.Ctrl+A键可以选定整个文档 B.按下鼠标左键并拖动鼠标，可选定扫过的文本 C.同时按下Alt键和光标移动键，可以选定扫过的文本 D.按下Alt键同时拖动鼠标可选定矩形块 5. 以下关于Word删除操作的正确说法为（）。 A.可以使用键 B.不能使用“剪切”命令 C.可以使用菜单命令 D.只能恢复在最后一次删除的内容 6．关于“在Word中复制一段文本”的正确说法为（）。 A、可以使用剪贴板 B、必须首先选定需要复制的文本 C、用鼠标拖动 D.用鼠标右键无法操作 8.在Word2010中文档的缺省扩展名为（）。 A.·WRD B.·RTF C.·DOCX D.·TXT 9.在Word中,想用新名字保存文件应( )。 A.选择“文件/另存为”命令 B.选择“文件/保存”命令 C.单击工具栏的“保存”按钮 D.复制文件到新命名的文件中 10、在编辑Word文档时，用鼠标拖曳完成文字或图形的复制时，应使用的按键为（）。 A. Ctrl B. Alt C. Shift D. F1 11.在Word中，要将8行2列的表格改为8行4列，应（）。 A.择要插入列位置右边的一列，单击工具栏上的“插入列”按钮 B.单击工具栏上的表格按钮，拖动鼠标以选择8行4列 C.择要插入列的位置左边的一列，单击工具栏上的“插入列”按钮 D.选择要插入列位置右边已存在的2列，单击“布局”选项卡下“在左侧插入”按钮。 12 在Word选定文字块时，若块中包含的文字有多种字号在格式工具栏的“字号”框中将显示.（） A.块中最大的字号 B.块中最小的字号 C.块首字符的字号 D. 空白 13.在Word2010中删除文本或图形对象后，下列说法正确的是（） A可从“回收站”恢复删除的文本 B.删除以后不能恢复 C.可以随时用“撤消”命令撤消“删除” D.在该文档关闭前可以撤消“删除” 14关于Word打印操作的正确说法有（） A.印格式由Word自已控制，用户无法调整 B.在Word开始打印前可以进行打印预览 C.Word的打印过程一旦开始，在中途无法停止打印 D. Word每次只能打印一份文稿 15.在Word中使用标尺可以直接设置缩进，标尺的顶部三角形标记代表（）。
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茉莉花 邮箱：0000000@000000000 电话：0351-********地址：太原市小店区2345号哈市大院 求职意向：学前教育，育婴师等与本专业或特长相关行业。 教育背景 2008.09 - 2013.07 学前教育太原师范学院大专 体智能教师资格证：2013.10 蒙台梭利教师资格证：2014.04 个人经历 实习幼教小太阳甜甜幼儿园2013.05 - 2013.06负责对儿童进行初步全面发展的教育； 教授音乐课、认知课、数学课；根据气温变化随时给儿童增减衣服，调节好室温做好家长工作，掌握儿童家庭情况，经常向家长汇报幼儿在园表现 与家长商议符合幼儿特点的教育措施，共同配合完成教育工作 实习幼教蒙台梭利幼儿园2013.09 - 2013.12引导孩子主动学习、快乐学习、引导孩子主动学习、快乐学习； 定期向园领导汇报工作，接受其检查和指导； 文体活动 学院宣传部干事师院幼师学院学生会2013.06 - 2013.10擅长绘画、写作，文章多次发表在校刊 善于沟通，具有团队精神，有毅力，不惧困难与失败 获学院“预备党员”奖（2012-2013学年）、获院“优秀班干”称号 朗诵在2012年学院元旦朗诵大赛，获学院三等奖 舞蹈2013年师院学院“拉丁舞蹈”编舞，获院二等奖 兴趣爱好 唱歌在2010年学院元旦汇演中，获“优秀演唱”二等奖 跳舞在2011年学院舞蹈编舞大赛中，获“优秀表演”奖 说课在2013年学院PPT说课大赛中，获优秀“说课”一等奖 英语和IT 计算机办公软件熟练使用、国家计算机一级证书 其他证书 自我评价 本人除了精通艺术方面以外,同时对计算机也有一定认识及了解。同时获得了全国计算机信息高新技术办公软件应用操作员考试证书。虽然是一张很不起眼的证书.但是还是希望贵单位能给我一个机会,不论在任何的岗位上，我都会认真的去努力。在这里我不敢跟您保证我一定能成为最好的一个，但是我可以肯定的是只要我努力了，我就一定能够做好我的工作的。
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求职者：赵大至中国科技大学
基 本 资 料 姓名 赵大志 性别 男 籍贯 出生年月 1990.2.2 学历 本科 专业 英语教育 政治面貌 党 员 健康状况 良好 外语水平 英语四级 联系电话 10000000 目前住址 邮政编码 000000 邮 箱 0000000000 教 育 经 历 - 2010 /9—2014 - 北京工商大学 财务管理 辅修 - 2012/9—2014 - 华北科技学院 会计学 本科 技 能 专 长 - 土建施工员证 土建安全员证 驾驶证 风光好风光很风光好规范化规范化 - AUTO-CAD 绘图员证、奖学金证、分割很风光好风光好风光好规范化 - CET-4、CET-6、 规范化风光好法国很干净的国际化梵蒂冈很 - 湖南省计算机二级、国家计算机二级、符合法规和规范化规范化规范化 获 奖 经 历 - 2010--2011春季学期获得二等奖学金 - 2010--2011年秋季学期获得专业奖学金**奖 - 2011--2012年秋季学期获得三等奖学金 - 2011--2012年被评为优秀团员 - 2011--2012年被评为院级三好学生 - 2013—2014年被评为校级三好学生 工作经历 - 2012/07 -- 2013/05 单位：方式工程公司 职位：施工员、技术员 - 工作描述：作为施工员，主要负责施工及测量工作，能熟练使用经纬仪、水准仪，解到施工的专业性和施工员要有丰富的专业技术知识和实际经验，并且作为资料员做施工现场的资料。跟着领导在实际施工中学到了很多知识。真切的感受到处处留心皆学问的真谛。 - 2013/6-- 至今 单位：安抚工程公司 职位：施工员、技术员 - 工作描述：我的工作是负责现编制各项施工方案，让施工现场有具体施工依据，通过对各 种不同方案的编制，使我的施工技术经验和知识更加完美的结合。 自我 评价 - 做事认真，责任感强。 - 最大特点是学习新事物的能力强，喜欢接受有挑战性的工作，具有好的沟通能力和管理能力。 - 富有团队协作精神和能力，同时也敢于负责，可以胜任独立工作。 - 善于和中外人士沟通，短时间内建立起良好关系。 - 明白成就一番事业的艰难，愿意从零做起。
最优控制讲义
第一章 绪论 §1.1最优控制问题 静态最优化问题：输入—输出—代数方程 动态最优化问题：输入—输出—微分方程 确定性最优控制：系统参数确定，无随机输入 随机性最优控制：系统参数确定，有随机输入 ?? ?=+=) ()()()()(t Cx t Y t Bu t Ax t x ?? ?+=++=) ()()()()()()(t v t Cx t Y t w t Bu t Ax t x 例：飞船的月球软着陆问题 推力 dt dm k f -= 运动方程 m g dt dm k mg f dt x d m --=-=22 )()(][00f t t t m t m dt dt dm J f -=- =?
初始条件 ? ? ?======0)(,)(,00f f t x x t t h t x x t t 约束条件为 0≤≤-dt dm α 求min J §1.2最优控制的数学模型 一 控制系统的数学模型(集中参数系统) 直接法建立：动力学、运动学的基本定律，即解析法. 间接法建立：通过“辩识”的途径确定系统的结构与参数. )),(),(()(t t u t x f t x = 其中 T n t x t x t x t x )](,)(),([)(21 =,T r t u t u t u t u )](,)(),([)(21 =,],,[21n f f f f = )(t x 为n 维状态向量,)(t u 为r 维控制向量,f 为n 维函数向量. 二 目标集 通过)(t u 使)(t x 由)(0t x 到)(f t x ，其中)(0t x 为初始状态，并且通常为已知；)(f t x 为终端状态，即控制所要求达到的目标。一般来说对终端状态的要求可用如下的约束条件表示： 0)),((,0)),((21≤=f f f f t t x g t t x g . 三 容许控制 i u 具有不同的物理属性，一般有r 1,2i u i ,,=≤α，即在控制域U 内.凡在闭区间 ],[0f t t 上有定义，且控制域U 内取值的每一个控制函数)(t u 均称为容许控制。 四 性能指标 主要取决于问题所要解决的主要矛盾。 表达式为： ? + =?f t t f f dt t u x L t t x S u J 0 ),,()),(()]([ 其中)(t x 是动态系统起始于00)(x t x =，对应于)(t u 的状态轨线。)(f t x 是此轨线在终端时刻的值。 五 最优控制的提法 受控系统的状态方程及给定的初态 00)(),),(),(()(t t x t t u t x f t x == 规定的目标集为 }0)),((,0)),((,)(:)({11≤=∈f f f f n f f t t x g t t x g R t x t x M