变分法的一个应用
泛函分析中的变分法应用实例
泛函分析中的变分法应用实例泛函分析是数学中研究无限维空间上函数的一种方法。
变分法是泛函分析的重要工具之一，可以用于求解最值问题和微分方程等。
在实际应用中，泛函分析的变分法有着广泛的应用。
本文将通过几个实例介绍泛函分析中的变分法在不同领域的应用。
一、弦的振动考虑一根固定在两端的弦的振动问题。
假设弦的形状可以用一个实数函数表示，记为y(x)，其中x表示弦上的位置。
变分法可以用来求解弦的振动形态。
首先，我们需要定义一个能量泛函来描述弦的振动状态。
一个自然的选择是弦的动能和势能的和。
弦的动能正比于线密度，速度的平方和长度元素之积的积分。
弦的势能正比于势能密度和长度元素之积的积分。
因此，我们可以定义弦的能量泛函为：E[y] = ∫(1/2)(ρy'^2 - T y'^2)dx其中，ρ表示线密度，T表示张力，y'表示y关于x的导数。
接下来，我们要求解使得能量泛函E[y]取得最值的函数y(x)。
为了求解这个问题，我们可以考虑函数y(x)的变分δy(x)。
利用变分的概念，我们可以得到能量泛函的变分表示为：δE[y] = dE[y+εδy]/dε其中，ε是一个任意小的实数。
利用分部积分的方法，我们可以将能量泛函的变分表示为：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx由于δy(x)是一个任意的函数，我们可以得到导数的变分表示为：δy' = d(δy)/dx将上述结果带入能量泛函的变分表示中，可以得到：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx = 0由于δy(x)的任意性，我们可以得到使得能量泛函最值的条件为：ρy'' - T y' = 0这就是弦的振动方程，利用这个方程可以求解弦的振动形态。
二、量子力学中的变分法在量子力学中，变分法可以用来求解波函数的本征值和本征函数。
变分法解薛定谔方程
变分法解薛定谔方程量子力学中的薛定谔方程是描述微观粒子的运动的基本方程之一。
薛定谔方程的解决需要使用变分法，这是一种数学方法，用于寻找使得函数取得极值的情况。
本文将介绍变分法如何应用于解薛定谔方程。
薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间的演化。
它的一般形式如下：$$\hat{H}\psi = E\psi$$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，描述粒子的能量和势能；$\psi$是波函数，描述粒子的位置和动量分布；$E$是粒子的能量。
为了解决薛定谔方程，我们需要找到使得波函数取得极值的情况。
变分法是一种能够解决这类问题的数学方法。
首先，我们引入一个变分函数$\delta\psi$，表示波函数的微小变化。
我们的目标是找到使得$\delta\psi$为零的情况，即波函数的极值点。
为了达到这个目标，我们可以通过最小化波函数的能量来寻找波函数的极值点。
波函数的能量可以通过以下公式计算：$$E[\psi] = \int \psi^* \hat{H} \psi dV$$其中，$\psi^*$表示波函数的共轭复数，$dV$表示微元体积。
通过对能量泛函$E[\psi]$求导，并令导数为零，我们可以找到波函数的极值点。
我们首先对波函数的变分进行展开：$$\delta\psi = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \delta\psi_n$$其中，$\delta\psi_n$是基函数的变分，$c_n$是系数。
将波函数的展开形式代入能量泛函的表达式，我们可以得到：$$E[\psi] = \sum_{n=1}^{\infty} c_n^* \int \psi_n^* \hat{H} \psi dV$$我们可以看出，能量泛函$E[\psi]$的极值点只依赖于波函数的展开系数$c_n$，而与基函数的形式无关。
因此，我们可以选择适当的基函数，将波函数展开为有限项的形式，从而简化计算。
接下来，我们对能量泛函$E[\psi]$求导，并令导数为零，即$\frac{\partialE}{\partial c_n^*} = 0$。
泛函分析中的变分法应用实例
泛函分析中的变分法应用实例泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间和变量的关系。
其中，变分法是泛函分析中的一种重要方法，用于求解极值问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学等领域，本文将介绍一些泛函分析中变分法的应用实例。
一、最小曲率问题最小曲率问题是变分法应用的一个经典问题，用于求解平面曲线问题中的最小曲率曲线。
假设有一条曲线C，其自变量为弧长s，函数表达式为y=f(x)。
我们的目标是寻找一个函数f(x)，使得曲线C的曲率最小。
为了求解最小曲率问题，我们需要构建一个能量泛函，定义如下：J(f)=∫√(1+(f'(x))^2)dx其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
我们的目标是求解泛函J(f)的极小值。
通过变分法，我们可以得到极值条件：- d/dx[(f'(x))/√(1+(f'(x))^2)]=0求解上述方程，可得最小曲率曲线。
二、最小作用量问题最小作用量问题是经典力学领域中的一个重要问题，用于描述物体在给定条件下的最优运动轨迹。
假设物体的运动轨迹为函数y=f(x)，我们的目标是找到一个函数f(x)，使得物体的作用量最小。
为了求解最小作用量问题，我们需要构建一个作用量泛函，定义如下：S(f)=∫(L-f'(x))dx其中，L是拉格朗日函数，f'(x)表示函数f(x)的导数。
我们的目标是求解泛函S(f)的极小值。
通过变分法，我们可以得到欧拉-拉格朗日方程：- d/dx(dL/df'(x))+dL/df(x)=0求解上述方程，可得物体的最优运动轨迹。
三、最小表面积问题最小表面积问题是几何学中的一个经典问题，用于寻找能够连接给定边界条件的曲面中面积最小的曲面。
假设曲面的参数方程为S(u,v)，我们的目标是找到一个曲面S(u,v)，使得其表面积最小。
为了求解最小表面积问题，我们需要构建一个表面积泛函，定义如下：A(S)=∬√((S_u)^2+(S_v)^2+1)dudv其中，S_u和S_v是曲面S(u,v)的偏导数。
泛函方程及其解法
泛函方程及其解法泛函方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数与函数之间的关系。
泛函方程的解法是研究泛函方程的一个关键问题，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍泛函方程的基本概念和解法，并以几个具体的例子来说明。
一、泛函方程的基本概念泛函方程是指未知函数是函数的方程。
一般形式的泛函方程可以写成如下形式：F[y(x)] = 0其中，y(x)是未知函数，F是一个泛函，它是一个函数对函数的映射。
泛函方程的解是使得方程成立的函数。
二、泛函方程的解法泛函方程的解法有多种方法，下面介绍几种常用的解法。
1. 变分法变分法是求解泛函方程的一种常用方法。
它通过对泛函进行变分，得到泛函方程的欧拉-拉格朗日方程，然后再求解欧拉-拉格朗日方程，得到泛函方程的解。
2. 迭代法迭代法是求解泛函方程的另一种常用方法。
它通过迭代的方式逐步逼近泛函方程的解。
迭代法的关键是选择一个适当的初始值，并通过迭代计算逐步逼近解。
3. 数值方法数值方法是求解泛函方程的一种有效方法。
它通过将泛函方程离散化为有限个代数方程，然后利用数值计算方法求解代数方程组，得到泛函方程的近似解。
三、泛函方程的例子下面以几个具体的例子来说明泛函方程的解法。
1. 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的一个重要应用。
它描述了自然界中的物理系统在运动过程中所遵循的规律。
最小作用量原理可以用泛函方程的形式表示为：∫L(y, y', x)dx = 极小值其中，L是拉格朗日函数，y是未知函数，y'是y关于x的导数。
通过变分法可以得到欧拉-拉格朗日方程，然后再求解欧拉-拉格朗日方程，得到泛函方程的解。
2. 热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它可以用泛函方程的形式表示为：∂u/∂t - α∇²u = 0其中，u是温度分布函数，α是热扩散系数。
通过数值方法可以将热传导方程离散化为有限个代数方程，然后利用数值计算方法求解代数方程组，得到泛函方程的近似解。
变分法证明等周定理
变分法证明等周定理摘要：一、引言1.等周定理的定义2.变分法的概念二、变分法证明等周定理1.变分法的应用背景2.变分法证明等周定理的步骤3.关键公式推导4.结论三、总结1.变分法在等周定理证明中的意义2.对其他数学问题的启示正文：一、引言等周定理，是数学上关于封闭曲线形状的一个定理，它表明：给定一个封闭曲线，若将其所有点的切线都朝同一方向旋转，那么旋转后的曲线周长将保持不变。
换句话说，对于给定的周长，封闭曲线的形状是唯一的。
变分法，是一种数学方法，通过极值原理来研究最优化问题。
本文将介绍如何利用变分法证明等周定理。
二、变分法证明等周定理1.变分法的应用背景为了证明等周定理，我们可以采用变分法。
首先，我们需要找到一个泛函（泛函：是数学中的一种概念，用于描述和比较函数空间中的函数），使得曲线的周长作为泛函的参数。
然后，我们需要找到这个泛函的最小值，这个最小值对应的曲线就是等周定理中所描述的曲线。
2.变分法证明等周定理的步骤（1）定义泛函我们定义泛函J(C)为曲线C的周长，其中C是封闭曲线。
即J(C) = L(C)，其中L(C)表示曲线C的长度。
（2）求泛函的最小值我们需要求解泛函J(C)的最小值。
为了做到这一点，我们考虑所有可能的曲线C，并计算它们的泛函J(C)。
然后，我们找到使J(C)最小的曲线C*。
（3）关键公式推导为了找到使J(C)最小的曲线C*，我们需要求解一个最优化问题。
根据泛函的定义，我们有：J/C = 0这个方程表明，当曲线的微小变化使得泛函J(C)最小化时，曲线的长度L(C)将保持不变。
这个方程称为等周方程。
（4）结论通过求解等周方程，我们可以得到等周定理的证明。
等周定理表明，对于给定的周长，封闭曲线的形状是唯一的。
三、总结本文介绍了如何利用变分法证明等周定理。
变分法在等周定理证明中的应用具有重要意义，它提供了一种新的视角来看待和证明数学定理。
此外，变分法在许多其他数学问题中也有广泛的应用，例如求解微分方程、研究波动方程等。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
变分法的概念与应用
变分法的概念与应用变分法是数学分析的一个重要分支，它主要研究函数的极值问题。
变分法的概念和应用在物理学、工程学以及经济学等领域中都有广泛的运用。
本文将介绍变分法的基本概念、变分问题的一般形式以及变分法在不同领域中的应用。
一、变分法的基本概念变分法是数学中研究最值问题的一种方法，它主要依赖于变分和泛函的概念。
在变分法中，我们不仅仅研究函数的值，而是研究由函数组成的集合的性质。
1. 变分变分是指函数的微小改变。
在变分法中，我们考虑函数在其定义域内的某个小区间上的变化情况。
通过对函数进行微小的变化，我们可以得到函数的变分。
2. 泛函泛函是指由函数所组成的对象。
与函数不同，泛函是将函数映射到一个实数上的规则。
泛函可以被看作是函数的函数，它描述了函数集合中的某种性质。
二、变分问题的一般形式在变分法中，我们通常关注泛函的极值问题。
这类问题可以表示为：找到一个函数使得某个泛函取得最大或最小值。
1. 极小值问题极小值问题是变分问题中最常见的一类问题。
对于一个给定的泛函，我们希望找到一个函数使得该泛函取得最小值。
2. 极大值问题与极小值问题类似，极大值问题是指在给定的泛函下找到一个函数使得该泛函取得最大值。
三、变分法在不同领域中的应用变分法在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
以下将分别介绍其中的几个典型应用。
1. 物理学应用在物理学中，变分法被广泛用于描述自然界中的各种物理现象。
其中最著名的应用之一是费马原理，它描述了光的传播路径满足光程最短的原理。
通过使用变分法，可以导出折射定律和反射定律等光学定律。
2. 工程学应用在工程学领域，变分法被应用于结构力学、流体力学以及电磁学等问题的求解。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解桥梁和建筑物等结构的最小曲线和最小表面形状。
3. 经济学应用变分法在经济学中的应用主要集中在最优控制问题的求解上。
在经济学中，我们经常关注如何通过制定最优决策来达到特定的目标。
通过变分法，可以求解出最优控制策略，从而实现最大化利润或最小化成本等经济目标。
变分法 求最短距离
变分法求最短距离以变分法求最短距离最短距离问题在物理学和工程学中非常常见，例如光的传播路径、流体的最短路径等。
在数学中，我们可以使用变分法来求解最短距离问题。
变分法是一种使用变分和变分运算来解决极值问题的数学方法。
在本文中，我们将使用变分法来解决最短距离问题。
在变分法中，我们首先需要定义一个泛函。
泛函是一个函数，它将一个函数映射到一个实数上。
在最短距离问题中，我们可以定义一个泛函来描述路径的长度。
假设我们的路径是由一个函数y(x)表示的，其中x是路径上的一个点的坐标，y(x)是该点的纵坐标。
我们可以定义路径的长度L为：L = ∫[a,b] √(1 + (y'(x))^2) dx其中，y'(x)是y关于x的导数。
这个泛函表示了路径上每个微小路径段的长度之和。
我们的目标是找到一条路径，使得泛函L取得最小值。
为了求解这个极值问题，我们可以使用欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程是变分法的基本方程，它描述了泛函的极值条件。
对于我们的最短距离问题，欧拉-拉格朗日方程可以写为：d/dx (∂f/∂y') - ∂f/∂y = 0其中，f是被积函数√(1 + (y'(x))^2)。
这个方程可以被视为一个微分方程，我们需要找到满足这个微分方程的函数y(x)。
为了解决这个微分方程，我们可以使用变分法的基本原理。
我们假设y(x)是一个满足边界条件的函数，并引入一个扰动函数η(x)。
然后，我们将y(x)替换为y(x) + εη(x)，其中ε是一个小的正数。
我们将这个新的路径代入泛函，然后对ε进行展开。
在展开的过程中，我们保留一阶项，并且忽略高阶项。
然后，我们可以对ε进行因果求导，得到泛函的变分表达式。
通过令这个变分表达式等于零，我们可以得到欧拉-拉格朗日方程。
解决这个微分方程的方法取决于具体的边界条件和问题的形式。
通常来说，我们可以使用分离变量法、拉普拉斯变换或其他数值方法来求解这个微分方程。
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则 f ( x , y ) ≡0 , ( x , y ) ∈D [ 2 ] 1 引理 4 ( 泛函取得极小值的必要条件) 定义在线性 赋范空间 D 上的泛函 J [ y ] , 若在 y 值 , 且在 y
3 3
∈D 处取得极 且
…
y m = φm ( x , y m +1 , …, y n )
( i) 9 yj 9 ( G1 , …, Gm ) Jj = =9 yi 9 ( y 1 , …, y i , …, y m ) J
( 6)
处泛函的变分存在 , 则有 3 [2 ] δ J[ y ] = 0 1
定理 1 设对于端点固定的 n 元泛函的极值问题 :
J [ y 1 , y 2 , …, y n ]
x1 x0
唐旭清等 : 变分法在最优控制问题中的一个应用
523
m
∫
x0
x1
F ( x , y 1 , y 2 , …, y n ,
m
3 Fy i
d 3 d F i = ( Fyi F i) + d x y′ d x y′
k =1
λ ( x) ∑
k
9 Gk =0 9 yi
∫F ( x ,φ , …, y
T =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d s/ v ( M ) ∫
l
( 1)
收稿日期 :2003 - 06 - 06 ; 修订日期 :2003 - 10 - 161 基金项目 : 江南大学自然科学基金项目 ( 214000 - 52212047) 资助课题 1 作者简介 : 唐旭清 ( 1963 - ) ,男 ,安徽安庆人 ,理学硕士研究生班毕业 ,副教授 1
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第2卷 522
1 基本理论
定义 1 设 S 为 Ω 上的函数空间 , D < S , 若任给函 数 y ∈D , 按照一定的法则都有确定的数值 J 与之 对应 , 则称 J 是函数 y ( x ) 在 D 中的泛函 ( 或一元泛 函 ) , 记作 J = J [ y ( x ) ] , 其中 D 称为泛函的定义域 , 一般地可定义 n 元泛函 J [ y 1 , …, y n ] [ 2 ] 1 定义 2 设 y 0 ( x ) ∈S ,D < S , J [ y ] 是在 D 上的一 个泛函 1
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第 2 卷第 5 期 Vol. 2 No. 5 Nov. 2003 年 11 月 2003 Journal of Southern Yangtze University( Natural Science Edition)
文章编号 :1671 - 7147 ( 2003) 05 - 0521 - 05
变分法在最优控制问题中的一个应用
唐旭清1 , 翁昊年2
( 1. 江南大学 理学院 ,江苏 无锡 214064 ; 2. 上海市经济管理学校 ,上海 200060)
摘 要 : 在一般变分法理论基础上 ,给出了在整约束条件下泛函极值问题解存在的必要性的严格 的数学证明 ,并研究了最速下降问题在无阻尼自由下落与有阻尼自由下落过程中最优控制问题的 模型及求解方法 1 关键词 : 泛函变分 ; 泛函极值 ; 整约束 ; 非整约束 中图分类号 :O 17613 文献标识码 : A
则由隐函数存在定理知 , 函数方程组 Gj ( x ,
y 1 , y 2 , …, y n ) = 0 ( j = 1 , 2 , …, m ) 存在唯一函
κ
D
f ( x , y ) η( x , y ) d x d y = 0
数组解 :
y 1 = φ1 ( x , y m +1 , …, y n ) y 2 = φ2 ( x , y m +1 , …, y n )
1
i
,φm +1 , …, y n ,
9 y1 + 9x
n
i = m +1
∑ 9 y y′, …,
i
9 yi
9 ym + 9x
n
i = m +1
∑
9 ym y′, y′ m +1 , 9 yi i
故结论成立 1 定理 3 ( 两端点固定的非整约束条件下泛函极值的 必要条件) 对非整约束条件泛函问题 :
题 : 确定一个连接空间两定点 A , B 的曲线 , 使质点 在曲线上用最短的时间由 A 运动至 B 1 设质点的速度场为 v ( M ) , 其速率为 v ( M ) = | v ( M ) | , 该曲线 l 是从 A 到 B 的有向弧 , 则 v =
d s/ d t ( 其中 s 是以 A 为基点的有向弧) , 可得 d t = d s/ v ( M ) , 于是 , 即需时间
An Application of Variation Calculus on Optional Control
TAN G Xu2qing1 , WEN G Hao2nian2
( 1. School of Science , Sout hern Yangtze University , Wuxi 214064 , China ; 2. Shanghai School of Economic Administration , Shanghai 200060 , China)
的变分 , 记为 δ y ,即 δ y = y - y0
2 ) 泛函 J [ y ] 相对于 y 从 y 0 的增量 δ y 的增量 :
Δ J [ y0 ] = J [ y ] - J [ y0 ] = J [ y0 + δ y ] - J [ y0 ] 如果能表示成下列形式 : Δ J [ y 0 ] = L [ y 0 ,δ y ] +β [ y 0 ,δ y ] , 其中泛函 L [ y 0 , δ y ] 关于 δ y 是线性的 , 而泛函 β [ y 0 ,δ y ] 是关于 ρ( y 0 , y ) = max | y - y 0 | 的高阶无穷小 , 则称
( 7)
J
其中 j = 1 , 2 , …, m , i = m + 1 , …, n ,
1
=
∫F ( x , y
x0
x1
, y 2 , …, y n , y′ 1 , …y′ n) d x
( 2)
Jj J
( i)
是 J 中第 j 列换成 G1 , …, Gm 分别对 y i 的偏导数 由泛函的变分知 : y m +1 , …, y n 都是 x 的函数 ,
最优控制问题一直是现代科学技术中经常遇 到的问题 ,而这类问题常可归结为泛函极值问题 1
1696 年瑞士数学家约翰・ 见努利提出了速降线问
从而 ,速降线问题即为 : 求连接两定点的光滑 曲线 l 使目标函数 T 最小 1 可归纳为泛函极值的这类问题具有一定的普 遍性 , 如著名物理学家牛顿曾提出过 , 运动于介质 中一定体积的旋转体具备怎样的形状才能使阻力 最小的问题 ; 更一般地 , 在高空运行的一定体积的 航天器具备怎样的形状才能使阻力最小的问题等 等1 变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法 , 也是动态系统最优控制问题求解的一种行之有效 的数学方法 1
m
L [ y 0 ,δ y ] 为泛函 J [ y ] 在 y 0 ( x ) 时的变分 , 记为
δ J ,即δ J = L [ y 0 ,δ y ] [2 ]1 关于一元泛函的变分计算有如下结论 : 引理 1 如果泛函 J [ y ] 收敛 , 则 9 [1 ] δ δ J[ y] = J [ y +ε y ] | ε= 0 1 9ε 引理 2 ( 变分法基本引理 1) 任给 η( x ) ∈C1 [ x 0 , x 1 ] , 且 η( x 0 ) = η( x 1 ) = 0 , 若对于 f ( x ) ∈C [ x 0 ,
x ∈[ x 0 , x 1 ]
1
设
J =
引理 3 ( 变分法基本引理 2) 设 D 为平面区域 , 9D 为 D 的边界 , 任给 η( x , y ) ∈C1 ( D) , 且 η| 9D = 0 , 若对于 f ( x , y ) ∈C - 1 ( D) 均有
9 ( G1 , …, Gm ) ≠0 9 ( y 1 , …, y m )
Abstract : Based on general variation calculus t heory , t he paper present s t he st rictly mat hematical proof about necessity of norm f unctional maximum2minimum value existence in condition of integral item rest riction , develops optimal mat hematical model on t he question of t he speediest fall in condition of non2obst ructing f ree fall and obst ructing f ree fall , and shows how to solve t hem. Key words : norm f unctional variation ; norm f unction maximum2minimum value ; integral item rest riction ; non2integral item rest riction.
Ω x∈
当 Gj ( j = 1 , 2 , …, m ) 互相独立 , 即至少有一个 m 阶 J acobi 行列式 9 ( G1 , …, Gm ) ≠01 9 ( y i 1 , …, y im ) 其中 i 1 , …, i m 为 1 , 2 , …, n 中选取 m 个数的一个 排列 , 则存在 m 个函数λ k ( x ) , ( k = 1 , 2 , …, m ) , 作