第一章 变分法的基本问题
变分法练习题掌握变分法的最小化问题与变分方程
变分法练习题掌握变分法的最小化问题与变分方程变分法练习题: 掌握变分法的最小化问题与变分方程在数学和物理学中，变分法是一种重要的数学工具，用于解决函数的最小化问题和变分方程。
变分法通过将一个函数作为变量，并在其上进行微小变化，来找到使某个泛函达到最小值的函数。
本文将介绍变分法的基本概念以及应用，并通过练习题来加深对变分法的理解。
一、最小化问题在最小化问题中，我们希望找到一个函数，使得某个泛函达到最小值。
泛函是定义在函数空间上的函数，通过将一个函数映射到一个实数来描述函数的性质。
最小化问题可以用以下形式的泛函来表示：$$ J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y')dx $$其中，$y$是定义在区间$[a, b]$上的函数，$y'$表示$y$关于自变量$x$的导数，$F(x, y, y')$是一个给定的函数。
我们的目标是找到一个函数$y$，使得$J[y]$达到最小值。
为了解决最小化问题，我们首先要假设函数$y$在区间$[a, b]$上有足够的光滑性，即$y$满足一定的边界条件。
然后，我们引入变分法的基本概念——变分。
二、变分变分是指在一个函数上进行微小变化。
对于给定的函数$y(x)$，我们可以引入一个新的函数$y(x)+\epsilon \eta(x)$，其中$\epsilon$是一个趋近于零的常数，$\eta(x)$是任意函数。
函数$\eta(x)$称为变分函数，它的选择可以是任意的，只需满足边界条件。
三、变分法的基本原理通过变分的引入，我们可以构造一个新的函数：$$ J[y+\epsilon \eta] = \int_{a}^{b} F(x, y+\epsilon \eta, (y+\epsilon\eta)')dx $$然后，我们对上述函数关于$\epsilon$求导，再让$\epsilon$趋近于零，即可得到泛函$J[y]$的变分。
泛函$J[y]$的变分可以表示为：$$ \delta J(y, \eta) = \frac{dJ}{d\epsilon}|_{\epsilon=0} = \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\eta + \frac{\partial F}{\partial y'}\eta'\right) dx $$利用分部积分法，我们可以将上式转化为：$$ \delta J(y, \eta) = \int_{a}^{b} \left(\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right) \eta dx +\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\eta\right]_{a}^{b} $$根据变分法的基本原理，当$\delta J(y, \eta) = 0$时，函数$y$使得泛函$J[y]$达到极值。
变分法PPT
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
第1章变分法
接近度的任何函数 y1(x) 上的值，即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ，
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域，(1.1.10)式总是成立，那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函，如果存在ε >0，使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1，以 A 点为坐标原点，Ox 轴取在水平方向，Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线，质点沿这条曲线下滑.因初速度为零，
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ，y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数，则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx ， x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函，记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定 义域，有时也称为泛函的容许函数.简言之，泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个 映射，映射的自变元是一个函数，而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读 者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.
变分法原理
变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。
在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。
首先，让我们来看一下变分法的基本原理。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。
为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。
现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。
我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。
那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。
为了实现这一目标，我们引入变分。
对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。
然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。
通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。
这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。
通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。
解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。
这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。
这就是变分法的基本原理。
除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。
例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。
在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。
在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。
课件_ch01变分法简介_v1
第三个变分问题：等周问题
在满足 x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 和条件
L(x (s ), y(s )) =
ò
s2
s1
ædx (s )ö ædy(s )ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ 1+ç + ds = constant (a) ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ds ds è ø è ø
注 1：有两个可以选取的函数 x = x (s ), y = y(s ) 注 2：也是边界已定的变分， x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 注 3： y = y(x ), z = z (x ) 之间必须满足的条件(a)也是一个泛函
1.2
变分的基本概念
变分原理 variational principle： 把一个物理学问题 （或其他学科的问 题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题。 如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的 某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束 条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 1964 年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日成子（ Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变 分原理的方法。 日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等 都是这方面的世界级大师。
这里假定 y(x ) 是在某一函数类（容许函数）中任意的改变。
2 微分与变分
所谓很小的改变量系指变量函数 y(x ) 与 y1(x ) 的接近程度。 当 dy = y1(x ) - y(x ) 的模很小 时，称 y(x ) 与 y1(x ) 有零阶接近度。当下面诸模都很小时
《变分法》课程教学大纲
《变分法》课程教学大纲
课程名称：变分法学分：2学时：32 实验学时：0
适用（学科）专业：应用数学执笔人：王杰
学科负责人签字：单位负责人签字：
一、课程目的
本课程主要是系统学习变分法的基本理论和方法，用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题，建立弹性力学的几个变分原理，从这些变分原理出发，用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。
二、课程学习要求
了解变分方法在工程实际问题中的应用，建立弹性力学的边值问题的数学模型。
为进一步学习有限元理论，塑性力学等奠定必要的理论基础
三、教学内容与学时分配
第一章绪论（2学时）
第一章变分问题与泛函极值（6学时）
第三章变分极值问题解答（2学时）
第四章含有多个未知数的变分问题（4学时）
第五章依赖于多元函数的泛函（4学时）
第六章弹力的变分方法（4学时）
第七章虚功原理综述（2学时）
第八章位移、应力变分法（8学时）
四、教材及主要参考资料
教材:自编讲义。
参考书: 《弹性力学》徐芝纶编著高等教育出版社
《弹性和塑性力学的变分法》鹫津久一郎著《广义变分原理》钱伟长著。
经典物理学中的变分问题
经典物理学中的变分问题变分问题是数学中的一个重要分支，也是物理学中的一个基础性问题。
它通过一个函数的最大值或最小值来描述物理系统的性质。
变分问题的研究直接涉及到很多领域的问题，包括力学、电磁学、热力学等等。
本文将重点讨论经典物理学中的变分问题，介绍变分问题的基本定义和求解方法，同时介绍变分问题在物理学中的应用。
1. 变分问题的基本定义变分问题是一个在函数空间内的极值问题，它是一种求解特定函数的变化情况和性质的方法。
通常情况下，变分问题描述的是给定函数的最小值或最大值。
它的基本形式为：Minimize J(y) = ∫ a b f(x, y, y') dx其中，f(x, y, y')是与函数y及其导数有关的函数，a、b是区间端点。
变分问题不仅是数学中的一个重要问题，同时也是物理学中的一个基础性问题。
物理学中的变分问题主要源于拉格朗日力学和哈密顿力学，通过解决变分问题可以得到物理系统的规律和性质。
2. 变分问题的求解方法为了求解变分问题，需要采用数学中的一些工具和方法。
下面是求解变分问题的一些基本方法：2.1 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是用来求解变分问题的一种重要方法。
它的基本形式为：∂f/∂y- d/dx (∂f/∂y')=0其中 f(x, y, y')是拉格朗日量，y(x)是定义在区间[a,b]上的未知函数。
欧拉-拉格朗日方程的解是y(x)的一条光滑曲线。
2.2 经典极小化方法经典极小化方法是另一种用来求解变分问题的方法，它的基本思想是极小化给定函数J(y)。
此方法的优点是可以求解非线性、高阶和多维问题，但缺点是计算量较大。
2.3 线性变分法线性变分法是一种求解变分问题的特殊方法，仅适用于一些简单的线性问题。
线性变分法的基本思想是将变分问题转化为一个线性问题，然后再求解它。
3. 变分问题在物理学中的应用变分问题在物理学中有广泛的应用。
下面介绍几个典型的例子：3.1 悬链线问题悬链线问题是最早的变分问题之一。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
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)e t
公式（2.19）给出了具体的必要条件： 0 [欧拉方程] 2 j ( j ) 0 其中 2 1 由于这个方程是齐次的，它的通解为：
* (t ) A1er1t A2er 2t
（2.14）
T T dV 以上推导得到： Fy p (t )dt Fy p(t )dt 0 0 0 d 步骤2
根据分部积分公式：
t b
t a
vdu vu t a udv
t a
t b
t b
（2.15）
令 v Fy 和 u p(t ) 。于是我们得到：
2
V ( y) (ty y2 )dt
0
T
F ty y
因为y(0) y(1) 1, 所以c1 1 4 和c2 1,
1 2 1 因此，极值曲线为：y t t 1 4 4
*
第二节 欧拉方程的推广
一、多个状态变量的情况
当给定问题中具有 n 1 个状态变量时，泛函变为：
( n1) 设y x1, y x2 ,, y xn1
那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:
dt V y, x1,, xn 1 T 0 F [t , y , x1 ,, xn 1 , xn 1 ]
第三节 应用——通货膨胀和失业之间的折衷
d Fy 0 (2.18) 以上推导得到欧拉方程： Fy dt
步骤4 因为F是一个具有三个自变量 (t , y, y) 的函数， 所以偏导数 Fy 也是具有三个同样自变量的函数。
dFy
Fy dy Fy dy dt t y dt y dt Fty Fyy y(t ) Fyy y(t )
dt V y1 ,, yn T 0 F [t , y1 ,, yn , y1 ,, yn ]
并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。
n 个变量的欧拉方程组为： d Fyj Fyj 0 对于所有 t [0, T ] dt
( j 1,2,, n)
特征方程(9.43)的解称为特征根或特征值.
显然 , 函数 y=eλx 是方程 (9.42) 的解的充分必要
条件是,常数λ为特征方程(9.43)的解,即λ为特征根. 由上述分析可知 , 求方程 (9.42) 特解的问题转 化为求特征方程(9.43)的根的问题. λ2+aλ+b=0 (9.43)
因特征方程(9.43)是λ的二次代数方程,故可能 有两个根,记为λ1, λ2.下面根据判别式 > △=a2－4b< =0 (9.44)
例：垄断企业的利润函数
垄断企业的动态需求函数： Qd D( P, P)
Qs D( P, P) 垄断企业的总收益函数：R PQ R( P, P) 垄断企业的总成本函数：C C (Q) C[ D( P, P)]
Qs Qd
垄断企业的总利润函数：
R C R( P, P) C[ D( P, P)] ( P, P)
T
0
d p(t ) Fy Fy dt 0 dt
（2.17)
步骤3 由于p(t ) 是任意的，因此可以得到： d Fy Fy 0 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt 欧拉方程 d 或 Fy Fy 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt
*
(2.27)
*
这几个方程与边界条件一起,可以确定解 y1 (t ), , yn (t )
二、高阶导数的情况
考虑一个含有 y ( t ) 的高阶导数的泛函，即：
(n) V y T F [ t , y , y , y , , y ]dt 0
( n 1) 并且 y, y , y ,, y 都有一对初始条件和终结条件,即 共有 2 n 个边界条件。 可以转化为含有 n 个状态变量及其一阶导数的一个等 价函数：
s.t.
y (0) A y (T ) Z
y(t ) y* (t ) p(t )
* y (t ) y ' (t ) p(t )
dt V ( y ) T 0 F [t , y (t ), y (t )]
变为：
V ( ) F[t , y* (t ) p(t ), y* ' (t ) p(t )]dt
的三种不同情况,分别进行讨论.
(1) △>0时,特征根为相异实根:
1 1 (a ), 2 ( a ) 2
这时齐次方程(9.42)有两个特解
(9.45)
y1 e ,
1x
y2 e
x
2 x
y1 ( 1 2 ) x e e 因 y2
为
常数
故特解y1和y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解
[通解]
1 2 , r 4 其中 r 1 2 2 并且可知， r 1 0和 r 2 0 设 t 0 和 t T ，并利用边界条件得： r1T r 2T A A2e 0 A 1e 1 A 2 0 r 2t r1t e e 解这两个方程，得： A1 r1t 0 r 2 t A2 r1t 0 r 2 t e e e e r 1 0, r 2 0 A 1 0, A 2 0
dFy du dv dt p(t )dt dv dt dt 和 du dt dt dt
把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到： T d T T d T p(t ) Fydt F p ( t ) dt F p ( t ) p ( t ) F dt y y y 0 0 0 0 dt dt
（2）开始状态
t y(t )
y(t )
（3）弧的前进方向
y(t ) dy / dt
存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧 (曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：F[t , y(t ), y' (t )]
目标泛函就是弧值之和：V [ y]
t
T
0
F[t , y(t ), y' (t )]dt
具有边界条件：y(0) y(1) 1
Fy t 2 y Fy 0 d d Fy ，可得： Fy 0 根据欧拉方程 Fy dt dt Fy 常数 t 2 y 常数 1 y t c1 2 1 2 * 根据直接积分，得 y 4 t c1t c2
T F T F dy dV F dy dt ( )dt 0 0 d y d y d T Fy p(t ) Fy p(t ) dt
y(t )
y(t )
0
我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：
T T dV Fy p (t )dt Fy p(t )dt 0 0 0 d
附录：二阶常系数齐次线性方程的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式为
y'' ay' by f ( x )
(9.41)
其中a,b为已知常数,f(x)为已知函数 .称f(x)为方程
(9.41)的非齐次项.方程(9.41)的对应齐次方程为
y'' ay' by 0
(9.42)
加总T期的总利润函数，得到目标泛函：
T
0
( P, P)dt
如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：
T
0
(t , P, P)dt
第一节 欧拉方程
一、欧拉方程的推导
变分法的基本问题
最大化或最小化 V ( y )
T 0
F [t , y (t ), y(t )]dt ( A给定) (T , Z给定)
一、社会损失函数 2 2 社会损失函数为： (Y f Y ) p ( 0) (2.39) 其中， Y 为实际收入，Y f 为理想实际收入，p 为实际 通货膨胀率。 Y f Y与 p 的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示： p (Y f Y ) ( 0) (2.40) 其中， 表示预期通货膨胀率。 预期通胀率 的形成被假定为自适应的： (2.41) ( d dt) j( p ) (0 j 1) 由（2.40)式和(2.41)式，得： j (Yf Y ) 重新整理，得： (Y f Y ) j (2.42) （2.42)式代入(2.40)式，得： p ( j ) (2.43) （2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数： ( , ) ( j )2 ( j )2 (2.44)
第一章 变分法的基本问题
主要内容： 一、欧拉方程 二、欧拉方程的推广
允许的路径集合 （曲线）
路径值集合 （实线）
泛函的概念
通常函数：从实数到实数的映射。 泛函：从路径（曲线）到实数的映射。
目标泛函的概念
无限小的 一条弧
连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息： (t ) y （1）开始时间
二、问题 政策制定者的目标： 最小化 ( , )et dt 0 满足 (0) 0
T
(T ) 0 (T给定) 和 三、解路径 被积函数为： F ( , )e t
j 1 2 t F 2( ) e 2 2 j j 2 t 1 2 t F e 二阶导数： F 2( )e 2 2 j j 1 2 t Ft 2 ( ) e 2 j2 j