3[1].变分法与Hamilton原理
哈密顿原理
（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事 实，力学的任务是对运动作出正确的描 述。矢量力学的理论是指出一切真实运 动所应服从的规律，并以此为依据，去 论断各个具体运动的特征。可是分析力 学并不这样。分析力学研究约束所允许 的一切可能运动，设法在可能运动所构 成的集合中把真实运动挑选出来。由此 可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一 种数学理论，它是由力学中最 速落径问题的诱导而发展起来 的。由伊凡· 贝努力提出来的最 速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连 接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无 初速的质 点在重力作用下沿哪一条 曲线轨道从A滑到B所需时间最短？ 显然，下滑时间与曲线形状有 关。
欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '
理论力学7 变分法
轨道的变化 导致宏观量S 的变化，其数值远大于 ， 由此导致偏离经典轨道的所有轨道对几率的贡献为0。 对经典轨道 S = 0，因此， cos(DS / ) 经典轨道附近很小邻域内 的轨道对几率的贡献是 互相加强的。 由此得到经典粒子 q(t)- q(c)(t) 是沿经典轨道运动的结论。 这与Hamilton原理得到的结论完全相同。 对微观粒子，虽然偏离经典轨道时S ≠ 0， 但微观量S 的大小一般可以与 相比， 从而导致偏离经典的轨道对几率仍然有明显的贡献。
16
在A点发射一个粒子， 如果在B点测到该粒子的几率为P， Feynman路径积分的理论认为， P 不是粒子沿某一条特定路径的几率，q (t) (c) 而是所有可能的路径的几率的叠加， 2 即： A
B
P
all q ( t )
e
iS [ q ( t )]/
,
= h / 2 , h 是Planck常数， 这里， 其量纲与作用量（或角动量）相同, 用SI单位，其大小约为10-34，非常小。 如果体系是一个经典粒子，当粒子运动的轨道不是经典 轨道时，由于S ≠ 0，
8
对稳定值：
F [ x] =
=
t2 t1
t2
t1
eg , t )dt f ( x, x , t )dt f (x e g, x
t1
t2
e1
f f e dt g g d f = g g , x 1 dt x dt x
t1
t2
19
修正的Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ； q1 ( t1 ) ， … , q s ( t 1 ) ； p 1 ( t 1 ) ， … , p s ( t 1 ) 到 t2 ；q1 ( t2 ) ，… , qs ( t2 ) ； p1 ( t2 ) ，… , ps ( t2 ), 真实运动使作用量I 取稳定值。 令： f (q, q ; p, p , t) = q a pa H (q, p, t ), 则I 取稳定值的充要条件是: d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a qa dt q
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
变分方法与无穷维Hamilton系统
第二章至第四章的内容是关于变分方法的基础知识。第二章介绍了变分法的历 史发展和基本概念，如泛函、临界点等。第三章详细阐述了Euler-Lagrange 方程及其在最小作用原理中的应用。第四章则进一步讨论了变分法在约束力学 系统中的应用和Legendre变换。
第五章至第七章聚焦于无穷维Hamilton系统的相关理论。第五章概述了 Hamilton系统的基本概念和性质，第六章详细介绍了无穷维Hamilton系统的 形成和基本性质，第七章则讨论了无穷维Hamilton系统的应用领域和实例。
在这本书中，作者详细介绍了无穷维Hamilton系统的基本原理和性质，以及 如何使用这个系统来描述各种自然现象和社会现象。通过阅读这本书，我不仅 学到了很多关于数学和物理的知识，也更加明白了这个世界是如何运作的。
《变分方法与无穷维Hamilton系统》是一本非常值得一读的书。通过阅读这 本书，我不仅学到了很多关于数学和物理的知识，也更加明白了数学在描述世 界中的重要性。这本书的写作风格清晰易懂，使得即使是没有深入了解过这两 个领域的读者也能感兴趣的普通人来说，这本书都会是一本非常有价值的读物。
“在处理无穷维Hamilton系统时，变分方法的应用不仅能够帮助我们找到系 统的稳定状态，还能揭示出系统在演化过程中的重要特征。这为解决实际问题 提供了有效的理论支持。”
“无穷维Hamilton系统的变分方法涉及许多高阶微分方程和积分方程的求解。 这些方程的解不仅有助于我们理解系统的基本性质，还能为设计高效的数值算 法提供指导。”
变分方法与无穷维Hamilton系统
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
变分法推导
j
(3)
(3)式中，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。
(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移
中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得：
k r i mi ai qj q j 1 j n
m a r
由此，可得另外一个关系式：
d ri dt q
ri ri q j q t j 1 q q j
2 k 2
i r r d i q j dt q j
(8)
i r ri j q j q
k
L q j qj 0 q j (11a)
V Qj 广义力： 代入(11a)式中，而拉格朗日 q j 函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又可以写为：
d L j 1 dt q j
ri ri (q1, q2 ,, qk , t )
(i 1,2,n)
(1)
n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的 虚位移δri表示为广义坐标的变分 q j ( j 1,2,, k， )
求(1)式的变分：
ri ri q j j 1 q j
k
(i 1,2,, n)
(5)
为推导拉氏方程，先证明 ri 与 d ri 之间 的两个关系式:
q j
dt q j
k r ri (1) i i j (ri ri (q1 , q2 ,, t ) r q t j 1 q j (6)
j 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率， q
变分法
18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae
x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2
e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值
H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx
e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2
1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j
ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j
j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将 代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2
9
变分原理名词简答
变分有限元
名词简答
宫HaBiblioteka ilton 原理：当质点不受外力作用时，处于静止或匀速直线运动状态。 39. 应变能：应力应变曲线和横坐标轴所围的面积。
应变余能：是外力作用下，加载设备所做的功 支撑系统的余势：当弹性系统的支撑边界允许有位移时，被支撑系统所吸收或通过支撑 系统传递给其他物体的那部分多余能量。 40. 弹性系统：由弹性体，载荷系统和支撑系统组成的弹性系统 弹性系统的总势能：弹性体的应变能和荷载系统的外力势之和。 弹性系统的总余势能：弹性体的应变余能和支撑系统的余势之和。 41. 保守力系：若某力系所做的功仅和位移的最终值有关，而与达到位移最终值的路径无关 42. 虚功原理：力系保持平衡的充分必要条件 如果物体在某种力系作用下处于平衡状态，则当从平衡位置发生约束允许的任意微小位 移（即虚位移或位移变分）时，所有外力的总虚功等于零。 虚位移： 从一种可能位移到邻近另一种可能位移的无限小该变量。 虚应力： 从一种可能应力到另一种可能应力的无限小改变量。 43. 虚位移原理： 对于一给定变形体，由某一应力场与给定外力组成的静力系统，如果该静力系统在变形 体的一切可能位移及相应的可能应变上所作的虚功都满足虚功方程，则此应力场必定是 给定外力下平衡许可的可能应力。（=平衡方程和外力条件） 虚应力原理： 在给定外力作用下的变形体，对于某一位移场及相应的应变长，如果已知外力和任何平 衡许可的可能应力都能使虚功方程成立，则此位移场必定是几何许可的位移场。（=几何 方程和位移边界条件） 44. 功的互等定理： 作用在弹性体上第一种状态的外力在第二种状态的位移上所作的功，等于作用在弹性体 上第二种状态的外力在第一种状态的位移上所作的功。 45. 可能位移： 满足变形连续条件（=几何条件）和位移边界条件的位移场，称为几何许可位移。满足 几何方程（=可能位移通过几何方程得到的）应变，称为可能应变 可能应力： 满足平衡方程和力边界条件的应力场，也称为静力许可应力。 真实解：从预先已经满足部分条件的众多解中，找到满足余下条件的解，即为全部基本 关系的精确解 46. 最小势能原理： 对于给定外力作用下处于平衡状态的小变形弹性系统，在一切可能位移场中，同时满足 平衡条件的真实位移场，使弹性系统的总势能取最小值。 （在一切可能的位移场中，使弹性系统总势能取最小值的必是真实位移场） 最小余能原理： 整个弹性系统在真实状态下所具有的余能（见应变能），恒小于与其他可能的应力相应 的余能。 47. 减缩积分：高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数的积分方案称为 减缩积分。
理论力学7 变分法
t2
19
修正的Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ； q1 ( t1 ) ， … , q s ( t 1 ) ； p 1 ( t 1 ) ， … , p s ( t 1 ) 到 t2 ；q1 ( t2 ) ，… , qs ( t2 ) ； p1 ( t2 ) ，… , ps ( t2 ), 真实运动使作用量I 取稳定值。 令： f (q, q ; p, p , t) = q a pa H (q, p, t ), 则I 取稳定值的充要条件是: d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a qa dt q
d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a pa dt p
20
上面的2组方程就是： a = H / qa , a = 1 ,2 ,… , s . p
a H / pa , a = 1 ,2 ,… , s . 0=q
这2组方程正是正则方程。 ∴ 修正的Hamilton原理 Hamilton正则方程
17
轨道的变化 导致宏观量S 的变化，其数值远大于 ， 由此导致偏离经典轨道的所有轨道对几率的贡献为0。 对经典轨道 S = 0，因此， cos(DS / ) 经典轨道附近很小邻域内 的轨道对几率的贡献是 互相加强的。 由此得到经典粒子 q(t)- q(c)(t) 是沿经典轨道运动的结论。 这与Hamilton原理得到的结论完全相同。 对微观粒子，虽然偏离经典轨道时S ≠ 0， 但微观量S 的大小一般可以与 相比， 从而导致偏离经典的轨道对几率仍然有明显的贡献。
21
§2、正则变换 1、全微分 2、正则变换与生成函数
22
1、全微分 s个变量 q1 , q2 , … , qs组成 s 维空间， f1 (q) , f2 (q) , … , fs (q)为q的函数， A 以下4种说法互为必要充分条件： （1） fa dqa = 0;
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；
泛函Φ 的自变量为
定义域 ，自变量的变分
,
数的无穷小改变。
，即函
小参量法的定义为
，其中 为任意无穷小量， 为任意连续有界函数。类似于数
学分析中的 ‐ 语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
3. 泛函的变分
函数的微分
,,,
,
,,
,,, .
泛函的变分 Φ
Φ
Φ.
1 / 40
例Φ
解出 , ，得
⁄
0.562551 0.422487 π θ θ 0.211530 π θ θ 0.0604328 π θ θ
⁄
0.0173699 π θ θ 0.00202953 π θ θ
0.000561428 π θ θ
⁄
0.00164894 π θ θ
1 绳长不变，得约束条件
0
1
由于有约束， 不独立。引进拉氏乘子，得 0
10 / 40
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
01
0 1
可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，
1 1
1
,
1 1
1
ln cosh
3 个待定常数（2 个积分常数，1 个来自拉氏乘子）由代数方程
,
,
1
1 sinh
2 cosh
点为原点，设 0, 0。 , 两点之间用曲线
连接，一个质点被束缚在曲线上运
动，在重力作用下自由下降，初速为 0。什么样的曲线形状可以使质点从 到 所花的时间最少？
解 机械能守恒， 通过这段弧所需的时间为
2 ；弧长
1，
从 到 所花的时间为
1 2
1 2
取极值的必要条件为
,,
0.
5 / 40
注意上式无需对端点成立，因为端点处
13 / 40
在微分方程中令
0
0
0
0
/2，得隐藏的另外一个边界条件，
2
0
2
2
0 2
其几何意义是，上表面正中间的点切面和水平面夹角为 0。
求解微分方程后，代入约束条件
cos
，可确定参数 λ 。
图 1 用 RUNGE‐KUTA 法做数值计算，求出的水银滴在水平玻璃上的形状。计算中取 水银与玻璃的接触角为 ，水银的质量为 0.1 克。左图中横轴 的单位是度，竖轴 的形状，单位是毫米。
1
2
1 1
21
1
|
|
另一种计算方法：
12
Φ
12
1
1
2
1
2
1
3 / 40
2 例S
1 √1
,,
S
1
2
121Βιβλιοθήκη 216. 变分的运算规则
与微分法则类似，可以证明，
ΦΦ
Φ
ΦΦ
Φ Φ Φ Φ,
Φ （线性）
Φ
Φ Φ ΦΦ
Φ
Φ
Φ
Φ Φ,
Φ , ,Φ
7. 变分可以与微分、积分交换次序
按定义，
Φ Φ
lim
lim
lim
, , Δ, , lim
Δ
, ,, ,
,, ,
泛函的导数定义为
Φ Φ
2 / 40
按习惯， 一般写成 。
例Φ
，Φ
Φ
Φ
，
Φ Φ
0
这里δ~ ，由 Lagrange 引理，
例Φ
，
Φ
例 Φ, Φ 0
Φ
其中 是阶跃函数（Heaviside function）。
例Φ
12
Φ
1
2
2 1
1
1 1 12
上面用了 函数的性质
则水银的表面可以用广义坐标
描述，其中 是表面上的点 P 到原点的距离， 是 P 点与原
点的连线对桌面的夹角， 0, /2 。
按虚功原理，水银的形状应该使得势能最低，同时还必须满足体积为 的约束条件，
sin
2
势能分为重力势能和表面能两部分，
2
cos
3
cos
。重力势能为
sin
sin
1
2
sin cos
4
总表面能为液气表面积 和液固表面积 的表面能之和
lim
这一步交换求和顺序不严格，对病态函数可能不成立
因此对虚位移，
，在分析力学中称为等时变分或简单变分。
分析力学中还有其它方式定义的变分，一般说来等价于 与平移的混合运算，此时Δ
Δ。
对于积分，
lim
Δ
lim
Δ lim
Δ
lim
Δ 这一步交换求和顺序不严格，对某些病态函数可能不成立
8. 泛函的高阶变分
4 / 40
1
。把第一式代入第二式，
1
sinh
sinh
.
,
cosh
;
cosh
,
,
11 / 40
(2) 水银滴的表面形状 一滴水银静止于水平桌面上，求它的表面形状。
设水银的密度为 ，体积为 ；水银与空气之间的表面张力系数为 ，水银与桌面间的表面 张力系数为 ，桌面与空气之间的表面张力系数为 。
由对称性，水银的表面旋转对称。取坐标原点为桌面上水银滴的中心点，桌面为 ‐ 平面，
0 Euler 方程
,
0，应视为独立的变分，得自然边界条
0,
0
(3) EULER方程的首次积分
①
, ，“广义能量”
constant
②
, ，“广义动量” constant
③
, ，得代数方程 0，可直接解出 。
7 / 40
例 最速降线的另一种解法（沈 p219）设
，
有“广义能量积分”，……
(4) 多变量泛函的固定边界驻值
2 sinh 2
确定。 注：将坐标原点平移，总可以把悬链线方程写成
cosh 。
沈、金教材上由于没有严格地按条件极值来处理，得到的是特解。如果以绳子中心点即最
低点为坐标原点，则绳子的形状为
cosh 1 ，显然没有包含于课本给出的解中。
此问题也可以用牛顿力学来解。设张力为 ，水平方向力的平衡：
0
1
；垂直方向力的平衡：
11. 固定边界的泛函极值
在历史上，对最速降线问题（the brachistochrone problem）的分析导致了变分法（calculus of variation）的发明。（Fermat 原理比 Bernoulli 的最速降线更早了几十年）
(1) 最速降线
例 （J. Bernoulli, 1696 年）垂直平面上有两个固定的点 , 。以水平方向为 轴，向下方向为 轴，
sin ,
2 22
sin
arcsin
1
0，又 0，所以只能取正号。曲线方程为
1
arcsin
1
这个曲线方程可以改成参数形式，arcsin
sin ，取
，
是摆线方程。
sin 1 cos
这里我们只验证了驻值条件，还需进一步验证是否有二次变分 0，
6 / 40
1
21
1
1
21
确实是极小值。
另一种解法是设
，见沈 p219.
左边
12
1 23
1 12
右边 0
设 0时，
,
0,1
,
1
14 / 40
代入上式得
1
1
0
考虑到左右对称，令
1
2
,
0.
2
1 2!
代入微分方程，并将微分方程左边按
1
⁄1
3!
4!
的级数展开，得
2
4
,
,
3
保留到 项，再由
23 3 3
13
,
4 12
5
103 16 48
,
45
5
2
2 2
2 2
2
2,
3
cos
0.0001
例Φ
sin Φ
0.337979.
1
泛函可类比于多变量函数，
,,, ~ ,,, ,
Φ~
的定义域 .
这里的 相当于前面多变量函数的自变量 ，
,
；泛函Φ 是以不可数无穷多个变
量,
, 作为自变量的函数。
例 复合函数可以看成是一族泛函，
,,
，其中 是参数。
2. 变分
泛函可类比于多变量函数，
多变量函数 , , , ，自变量的微分为 , , , ,
Φ ,, ,
,, , ,, ,
,
，,
，
,
Euler 方程为
不指定边值时，自然边界条件为
0,
1,2, , .
(5) 多重积分型泛函的固定边界驻值
Φ
, , ,, ,
0
,
, 边界值
Euler 方程
已指定。
0
注意左边第二项 是对整个括号中式子求偏导数，
。
不指定边值，可得自然边界条件
0
,,
(6) 含高阶导数泛函的固定边界驻值 以 2 阶为例计算。……
07-12-06, 09:55
第 3 章 变分法与HAMILTON原理
一、 泛函与变分
1. 泛函
普通函数 :
,
泛函是普通函数概念的推广，Φ: 集合
自变量的集合通常取为函数，Φ
。
例
2 是函数；Φ
1 是泛函，并且有
Φ sin sin 1 0.84, Φ exp e 2.718, Φ 3.