(江苏专版)19版高考数学一轮复习第十三章立体几何13.1平面的基本性质讲义
江苏省2019年年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).。
高考江苏数学大一轮精准复习课件平面及其基本性质
观的图形来帮助理解和解决数学问题。
利用图形进行推理
02
在解题过程中，可以通过画出相关的图形来帮助理解和推理，
如画出两平面的交线、画出过某点的直线等。
结合代数方法进行求解
03
在利用图形进行推理的同时，可以结合代数方法进行求解，如
利用向量的运算、利用方程的求解等。
06
高考中平面及其基本性质的备考建议
建议一：熟练掌握平面的基本性质
加强平面与直线交点的求 解
掌握求解平面与直线交点的方法和步骤，能 够运用相关定理和性质进行求解和分析。
建议三：注重数形结合思想在解题中的应用
强化数形结合意识
在解题过程中，注重将数与形结合起来，通过图形的直观性来辅助理解和分析题目，提 高解题的效率和准确性。
熟练掌握数形结合的方法
了解数形结合的基本方法和技巧，如利用图形的性质、构造图形、利用向量的几何意义 等，能够灵活运用这些方法来解决实际问题。
直线在平面内
如果一条直线上的所有点都位 于平面上，则该直线属于该平 面。
直线在平面外
如果一条直线上至少有一个点 不属于该平面，则该直线不属 于该平面。
05
高考中平面及其基本性质的解题技巧
技巧一：利用平面的基本性质解题
掌握平面的基本性质
了解并掌握平面的基本性质，如平面的无限延展性、平面内任意 两点确定一条直线等。
03
平面的性质与应用
平面的平行性质
01
02
03
平行公理
过直线外一点，有且仅有 一条直线与已知直线平行 。
平行线的性质
两条平行线被第三条直线 所截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补。
平行面的性质
两个平行平面被第三个平 面所截，截得的两条交线 平行。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第十三章 立体几何 13.3 垂直的判定与性质讲义-人教版高三全册数学
§13.3 垂直的判定与性质考纲解读考点内容解读 要求五年高考统计常考题型 预测热度2013 2014 2015 2016 20171.线面垂直的判定与性质1.线面垂直的证明2.线面垂直的性质应用B16题14分解答题 ★★★2.面面垂直的判定与性质1.面面垂直的证明2.面面垂直的性质应用B15题14分 解答题 ★★★分析解读 空间垂直问题是某某高考的热点内容,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用,复习时要认真掌握解决垂直问题常用的方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一 线面垂直的判定与性质1.(2016某某理,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是.①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n. 答案 ③2.(2015某某,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AC⊥BC,BC=CC 1,设AB 1的中点为D,B 1C∩BC 1=E. 求证:(1)DE∥平面AA 1C 1C; (2)BC 1⊥AB1.证明 (1)由题意知,E 为B 1C 的中点, 又D 为AB 1的中点,因此DE∥AC. 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C,AC ⊂平面AA 1C 1C, 所以DE∥平面AA 1C 1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.3.(2015某某,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.解析(1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=·S△ABC·PA=.(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连结BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,从而NC=AC-AN=.由MN∥PA,得==.4.(2015某某,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,从而S△ABC=AB·BC=x.由EF∥BC知,==,得△AFE∽△ABC,故==,即S△AFE=S△ABC.由AD=AE,S△AFD=S△AFE=·S△ABC=S△ABC=x,从而四边形DFBC的面积为S DFBC=S△ABC-S△AFD=x-x=x.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE===2.体积V P-DFBC=·S DFBC·PE=·x·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3,所以,BC=3或BC=3.5.(2014某某,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点. 求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥B C1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连结AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.教师用书专用(6—8)6.(2014某某,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.解析(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC.因此AC=DC.又G为AD的中点,所以CG⊥AD.同理BG⊥AD,因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O,由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,所以V D-BCG=V G-BCD=·S△DBC·h=×BD·BC·sin 120°·=.7.(2014某某,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:如图,连结OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,又因为BM=,且∠OBM=,所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos=.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连结AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.由于MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去),即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.8.(2013某某,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.(1)证明:PC⊥BD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.解析(1)证明:连结AC,交BD于O点,连结PO.因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC.因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点,所以V P-BCE=V C-PEB=V C-PAB=V B-APC.由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.因为∠BAD=60°,所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC,故S△APC=PO·AC=3.由(1)知,BO⊥面APC,因此V P-BCE=V B-APC=×·BO·S△APC=.考点二面面垂直的判定与性质1.(2017某某,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.2.(2017某某文,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明本题考查线面平行与面面垂直.(1)取B1D1的中点O1,连结CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.教师用书专用(3)3.(2016,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:(10分)取PB中点F,连结EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.(13分)又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.(14分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一线面垂直的判定与性质1.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.答案 22.(苏教必2,一,2,变式)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有个直角三角形.答案 43.(2018某某海安高级中学高三阶段考试)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,在平面ABC中,AB=2,BC=4,M为BC的中点,过A1,B1,M三点的平面交AC于点N.(1)求证:N为AC的中点;(2)求证:AC⊥平面A1B1MN.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面ABC∥平面A1B1C1,∵平面A1B1M∩平面ABC=MN,平面A1B1M∩平面A1B1C1=A1B1,所以MN∥A1B1.因为AB∥A1B1,所以MN∥AB,所以=.因为M为BC的中点,所以N为AC的中点.(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,所以在三角形A1AN中,AN=1,AA1=2,由余弦定理得A1N=,故A1A2=AN2+A1N2,所以∠A1NA=90°,即A1N⊥AC.在三角形ABC中,AC=2,AB=2,BC=4,所以BC2=AB2+AC2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.又MN∥AB,所以AC⊥MN.因为MN∩A1N=N,MN⊂面A1B1MN,A1N⊂面A1B1MN,所以AC⊥平面A1B1MN.4.(2017某某某某期末调研,16)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,点M,N分别是AE,CD的中点.求证:(1)直线MN∥平面EBC;(2)直线EA⊥平面EBC.证明(1)取BE的中点F,连结CF,MF,因为M是AE的中点,所以MF∥AB,MF=AB,又N是矩形ABCD的边CD的中点,所以NC∥AB,NC=AB,所以MF NC,所以四边形MNCF是平行四边形,所以MN∥CF,又MN⊄平面EBC,CF⊂平面EBC,所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中,BC⊥AB,因为平面EAB⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面EAB=AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面EAB,又EA⊂平面EAB,所以BC⊥EA,又EA⊥EB,BC∩EB=B,EB,BC⊂平面EBC,所以EA⊥平面EBC.5.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(一),16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥CB.证明(1)连结BC1,因为OE∥平面BCC1B1,且OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点,所以E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,又AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C,A1B⊂面A1BC,所以AC1⊥面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.考点二面面垂直的判定与性质6.(2018某某某某中学高三阶段测试)如图,在几何体中,四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD的交点为O,四边形DCEF为梯形,EF∥CD,FB=FD.(1)若CD=2EF,求证:OE∥平面ADF;(2)求证:平面ACF⊥平面ABCD.证明(1)取AD的中点G,连结OG,FG,∵对角线AC与BD的交点为O,∴OG∥CD,OG=CD.∵EF∥CD,CD=2EF,∴OG∥EF,OG=EF,∴四边形OGFE为平行四边形,∴OE∥FG.∵FG⊂平面ADF,OE⊄平面ADF,∴OE∥平面ADF.(2)连结OF.∵四边形ABCD为菱形,∴OC⊥BD,∵FB=FD,O是BD的中点,∴OF⊥BD.又∵OF∩OC=O,∴BD⊥平面ACF.∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACF⊥平面ABCD.7.(2017某某某某辅仁中学质检,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点.(1)求证:BD⊥OE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.证明(1)因为平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,又因为OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD,AB=2CD,AC与BD交于O,所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2,又因为AE=2EP,所以CO∶OA=PE∶EA,所以EO∥PC,又因为PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,所以EO∥平面PBC.8.(2017某某某某,某某一模,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,又DE⊂底面ABC,所以CC1⊥DE.又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC,又CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.9.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起,记折起后A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD.求证:(1)CD⊥平面PBD.(2)平面PBC⊥平面PDC.证明(1)∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,又∵AD∥BC,∴∠DBC=45°,又∠DCB=45°,∴∠BDC=90°,即BD⊥DC.∵平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.又BP⊥PD,PD∩CD=D,∴BP⊥平面PDC.又BP⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDC.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(苏教必2,一,2,变式)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是.①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.答案③二、解答题(共15分)2.(2017某某某某、某某、某某三模,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP=AD,M,N分别为棱PD,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAB;(2)AM⊥平面PCD.证明(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点,所以MN∥DC,又因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC,所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为AP=AD,M为PD的中点,所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.因为CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以AM⊥平面PCD.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明线面垂直的方法1.(2017某某某某师X大学附属中学调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EBD;(2)求证:PB⊥平面EFD.证明(1)连结BE,BD,AC,设AC交BD于G,连结EG,则G为AC的中点,在△PAC中,E为PC的中点,G为AC的中点,故PA∥EG,又EG⊂面BED,PA⊄面BED,所以PA∥平面EBD.(2)∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC.∵BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂面PCD,∴BC⊥面PCD,又DE⊂面PCD,∴BC⊥DE,∵PD=CD,E为PC的中点,∴DE⊥PC,又BC∩PC=C,BC,PC⊂面PBC,∴DE⊥面PBC,又PB⊂面PBC,∴DE⊥PB,又∵PB⊥EF,EF∩DE=E,EF,DE⊂面EFD,∴PB⊥平面EFD.方法2 证明面面垂直的方法2.(2017某某某某期中,17)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证: (1)BD1∥平面EAC;(2)平面EAC⊥平面AB1C.证明(1)连结BD交AC于O,连结EO.易知O为BD的中点,因为E为DD1的中点,所以EO∥BD1. 又BD1⊄平面EAC,EO⊂平面EAC,所以BD1∥平面EAC.(2)易知AC⊥BD,DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC,因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1,所以AC⊥BD1,同理可证AB1⊥BD1,又AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,因为EO∥BD1,所以EO⊥平面AB1C,又EO⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面AB1C.。
江苏省2019年年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：
αβ=且
l
P
可以帮助我们解决哪些几何问题？
）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第13章 空间向量与立体几何13.1空间向量及其运算教学案 苏教版
本节所涉及到的高考题是理科生必做题，要求考生能类比平面向量的概念和运算，认识空间向量的概念和运算．对于空间任何三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基底，只要基底确定，就可用基向量表示空间其他向量．在空间中，若存在三条两两互相垂直的直线，则可将空间向量进行正交分解，从而用坐标表示它们．充分掌握空间向量的共线与共面以及数量积的运算是解决有关空间问题的基础．
2．共线、共面向量定理及空间向量基本定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是__________________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得__________________．
1．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任意一点，若 ＋ ＋ ＝λ ，求λ的值．
2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的 长；若不存在，说明理由．
3．平面图形ABB1A1C1C如图(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝ ，A1B1＝A1C1＝ .现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图(2)所示的空间图形．
请做针对训练1
二、空间向量的数量积
【例2】(安徽高考)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点，
(1)证明：BD⊥EC1；
2019版高考数学一轮复习课件： 第十三章 立体几何 13.1 平面的基本性质课件
第十三章 立体几何
§13.1 平面的基本性质
知识清单
拓展延伸
1.公理1用来证明“点在面内”或“线在面内”. 2.公理2用来确定两个平面的交线,尤其是画截面图或补体时用到,证明 “三点共线”“三线共点”. 3.公理3及推论用来证明两个平面重合,确定一个平面或证明“点线共面”.
方法技巧
都经过该点.而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两 个平面的公共点.
例1 如图,已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1, C1D1的中点,证明:EF,HG,DC三线共点.
证明 连结C1B,HE,GF,由题意知HC1������ EB,
∴四边形HC1BE是平行四边形,
例2 三个平面两两相交得到三条交线,证明若其中有两条相交于一点,
则第三条也经过此点.
证明 已知:如图,设平面α,β,γ满足α∩β=a,β∩γ=b,γ∩=c,且a∩b=A.求 证:A∈c.
证明:∵a∩b=A,∴A∈a,A∈b. 又∵α∩β=a,β∩γ=b,∴a⊂α,b⊂γ.∴A∈α,A∈γ. ∴点A在α与γ的交线上,即A∈c.
方法 证明点共线、线共点等的方法
1.证明多点共线的方法 (1)首先找出两个平面的交线,然后证明若干点都是这两个平面的公共 点,根据公理2,可推知这些点都在交线上,即若干点共线. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另外一些点都在这条直线上. 2.证明多线共点的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点,再证明其他直线
∴HE������ C1B.
又C1G=GC,CF=BF,
1 C1B, ∴GF∥C1B,且GF= 2
1 ∴GF∥HE,且GF= HE, 2
(江苏专)高考数学一轮复习第十三章立体几何13.1平面的基本性质讲义
§13.1 平面的基本性质命题探究考纲解读考点内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 平面的基本性质 空间点、线、面关系判断 A填空题 ★☆☆分析解读 平面的基本性质是立体几何的基础,高考很少单独考查,但只有充分认识平面的基本性质,才能为学好后面的平行与垂直打下坚实的基础.五年高考考点 平面的基本性质1.(2015福建改编,7,5分)若l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的 条件.答案 必要而不充分2.(2013安徽理改编,3,5分)在下列命题中,不是．．公理的是 (填序号). ①平行于同一个平面的两个平面相互平行②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 ④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 ①三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点 平面的基本性质 1.(2017江苏宿迁中学月考)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是BD 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M,给出下列四个结论:①A 1、M 、O 三点共线;②M、O 、A 1、A 四点共面;③A、O 、C 、M 四点共面; ④B 、B 1、O 、M 四点共面.其中正确结论的序号是 .答案①②③2.(苏教必2,一,2,变式)下列命题中,正确的个数为.①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.答案 23.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.证明(1)如图,连结EF、CD1、A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥BA1,EF=BA1.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E、C、D1、F四点共面.(2)易知EF=C D.∵EF∥CD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P,如图所示.则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面AB CD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)解答题(共15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1、H、O三点共线.证明连结BD、B1D1,OD1,如图.则BD∩AC=O,∵BB1 DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D,B1D⊂平面BB1D1D,∴H∈平面BB1D1D,∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,H∈平面ACD1,∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线.C组2016—2018年模拟·方法题组方法证明点共线、线共点等的方法如图,在空间四边形ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:(1)E,F,H,G四点共面;(2)EF,GH,BD交于一点.证明(1)连结GE,FH,因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC,GE=AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,FH=AC.从而FH∥GE,FH≠GE.所以四边形EFHG是一个梯形,故E,F,H,G四点共面.(2)因为四边形EFHG是一个梯形,且FH∥GE,所以直线EF与GH相交.设交点为O,则O∈GH,O∈EF.因为GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD,所以O∈平面ABD,O∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.。
高中数学苏教版必修第二册第十三章《平面的基本性质》示范公开课教学课件
（2）若平面与直线有两个公共点呢？
不一定在
在
两点确定一条直线
（3）为什么两个公共点可以？
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
作用：①判定线面之间的关系； ②判断点是否在平面内等等.
下列条件能否确定一个平面？
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
以下图的长方体为例，你能说明下列点、直线和平面的位置关系吗？
（1）点，与直线是什么位置关系？（2）点，与平面是什么位置关系？（3）直线与直线是什么位置关系？（4）直线、直线平面是什么位置关系？
点在直线上，点不在直线上；点在平面内，点不在平面内；直线与直线相交于点；直线在平面内、直线不在平面内．
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
解：（1），. (如图①)（2），，，，.(如图②)（3）.(如图③)
已知：，，，．求证：直线，，共面．
因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．因为，所以．又，所以（基本事实2）．同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
符号表示
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
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§13.1平面的基本性质
命题探究
考纲解读
要求
2
分析解读平面的基本性质是立体几何的基础,高考很少单独考查,但只有充分认识平面的基本性质,才能为学好后面的平行与垂直打下坚实的基础.
五年高考
考点平面的基本性质
1.(2015福建改编,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的条件.
答案必要而不充分
2.(2013安徽理改编,3,5分)在下列命题中,不是
．．公理的是(填序号).
①平行于同一个平面的两个平面相互平行
②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案①
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点平面的基本性质
1.(2017江苏宿迁中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,给出下列四个结论:
①A1、M、O三点共线;
②M、O、A1、A四点共面;
③A、O、C、M四点共面;
④B、B1、O、M四点共面.
其中正确结论的序号是.
答案①②③
2.(苏教必2,一,2,变式)下列命题中,正确的个数为.
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
答案 2
3.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
证明(1)如图,连结EF、CD1、A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥BA1,EF=BA1.
又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E、C、D1、F四点共面.
(2)易知EF=C D.
∵EF∥CD1,
∴CE与D1F必相交,
设交点为P,如图所示.
则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面AB CD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:20分时间:10分钟)
解答题(共15分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1、H、O三点共线.
证明连结BD、B1D1,OD1,如图.
则BD∩AC=O,
∵BB1DD1,
∴四边形BB1D1D为平行四边形,
又H∈B1D,B1D⊂平面BB1D1D,
∴H∈平面BB1D1D,
∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,H∈平面ACD1,∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法证明点共线、线共点等的方法
如图,在空间四边形ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.
求证:(1)E,F,H,G四点共面;
(2)EF,GH,BD交于一点.
证明(1)连结GE,FH,因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC,GE=AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以
FH∥AC,FH=AC.从而FH∥GE,FH≠GE.所以四边形EFHG是一个梯形,故E,F,H,G四点共面.
(2)因为四边形EFHG是一个梯形,且FH∥GE,所以直线EF与GH相交.设交点为O,则O∈GH,O∈EF.因为GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD,所以O∈平面ABD,O∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD.所以
EF,GH,BD交于一点.。