四川省2015年高考理科数二轮复习规范练2

规范练(二) 数列
1．已知n ∈N *
，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋……＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．
(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；
(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和．
解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2
， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n .
因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根． 所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，
解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .
(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8， T 2 015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 014)． ＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8
＝20×81 007－67. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.
(1)求a n ，b n ；
(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n ＜7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1， ∴a n －1＝2n －1.
∴a n ＝2n ＋1，
∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ，
∴当n ≥2时，b n ＝4n －13
n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13
n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1
， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13
n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1
＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43
n －1－4n －13n ＝3＋4·13(1－13n －1)1－13
－4n －13n ＝5－4n ＋53n .
∴T n ＝152－4n ＋52·3
n －1. T n －T n ＋1＝4(n ＋1)＋52·3n －4n ＋52·3
n －1＝－(4n ＋3)3n ＜0. ∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列．
又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7，
∴T n ＜7时，n 的最大值为3.
3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.
(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2
(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13. (1)解 由a n ＋1＝2S n ＋1，①
得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②
①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n
∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n
＝3，
又当n ＝1时，a 2a 1
＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1. 由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ， ∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3，
∴b n ＝3n －6.
(2)证明 由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3
n ＋1＝n 3n ， 所以c n ＋1－c n ＝1－2n 3
n ＋1＜0， ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13.
4．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且
a 2·a 5＝a 1·a 14，令
b n ＝1a n ·a n ＋1
，数列{b n }的前n 项和为T n . (1)求a n 及T n ；
(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得 ⎩⎨⎧ a 5＋a 7＝22，a 2·
a 5＝a 1·a 14， 即⎩⎨⎧ 2a 1＋10d ＝22，(a 1＋d )(a 1＋4d )＝a 1(a 1
＋13d )，整理得 ⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎨⎧ d ＝2，a 1＝1，
所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.
由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1
) 所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋
12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. (2)假设存在．
由(1)知，T n ＝n 2n ＋1，所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1， 若T 1，T m ，T n 成等比数列，则有
T2m＝T1·T n⇒(
m
2m＋1
)2＝
1
3·
n
2n＋1
⇒
m2
4m2＋4m＋1
＝
n
6n＋3
⇒
4m2＋4m＋1
m2＝
6n＋3
n⇒
3 n＝4m＋1－2m2
m2，……①
因为n＞0，所以4m＋1－2m2＞0⇒1－
6
2＜m＜1＋
6
2，因为m∈N
*，m＞1，
∴m＝2，当m＝2时，带入①式，得n＝12.
综上，当m＝2，n＝12时可以使T1，T m，T n成等比数列．。