函数图像平移公式
二次函数的平移规律总结与应用技巧
二次函数的平移规律总结与应用技巧二次函数是高中数学中重要的一部分，通过对二次函数的平移规律进行总结和应用技巧的探索，可以更好地理解和应用这个函数形式。
本文将从平移规律的基本概念入手，逐步介绍相关的技巧和应用。
1. 平移规律的基本概念平移是指将函数图像沿着坐标轴平行地移动。
对于二次函数，其标准形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)表示二次函数图像的顶点坐标。
2. 平移规律的总结与应用技巧2.1 平移规律总结根据平移规律，改变二次函数中的参数a, h, k可以对函数图像进行平移。
具体总结如下：- 参数a的变化：a>0时，图像开口向上；a<0时，图像开口向下。
绝对值|a|越大，图像越"瘦长"；|a|越小，图像越"胖宽"。
- 参数h的变化：若h>0，图像向左平移；若h<0，图像向右平移。
绝对值|h|越大，平移距离越长；|h|越小，平移距离越短。
- 参数k的变化：若k>0，图像向上平移；若k<0，图像向下平移。
绝对值|k|越大，平移距离越高；|k|越小，平移距离越低。
2.2 平移规律应用技巧- 技巧1：根据函数参数的变化，确定平移的方向和距离。
例如，对于函数y=2(x-1)^2+3，参数a=2，h=1，k=3，可以知道图像开口向上，向右平移1个单位，向上平移3个单位。
- 技巧2：通过平移规律，根据已知函数图像和顶点坐标，求出函数的表达式。
例如，已知函数图像经向左平移3个单位、向下平移2个单位后，顶点坐标为(3,-2)，可以得到新函数的表达式为y=a(x-3)^2-2。
3. 平移规律的应用举例3.1 平移的图像比较可以通过比较两个函数的图像来观察平移规律。
例如，比较函数y=x^2和y=(x-1)^2+2的图像，可以发现后者相对于前者向左平移了1个单位，向上平移了2个单位。
3.2 解题应用解决实际问题时，可以利用平移规律来建立数学模型并求解。
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
一次函数左右平移规律
一次函数左右平移规律一次函数，也称为线性函数，是一种形式为y = kx + b的函数，其中k和b是常数。
左右平移是指将函数图像沿x轴的方向移动。
一次函数的左右平移规律可以总结如下：1.左平移规律：当将一次函数y = kx + b向左平移h个单位时，可以通过将x坐标减去h来实现。
即，新的函数为y = k(x - h) + b。
这样做的结果是，原来在x = a处的点，将会移动到新的位置x = a - h处。
2.右平移规律：当将一次函数y = kx + b向右平移h个单位时，可以通过将x坐标加上h来实现。
即，新的函数为y = k(x + h) + b。
这样做的结果是，原来在x = a处的点，将会移动到新的位置x = a + h处。
左右平移规律也可以通过对一次函数的参数进行调整来实现。
具体来说，当a为正数时，对于y = kx + b函数，可以将k的值调整为k' =k/a，然后将b的值调整为b' = b - hk'/a，从而实现向左平移a个单位。
同样地，当a为负数时，可以将b的值调整为b' = b - hk'/a，从而实现向右平移a个单位。
左右平移规律还可以通过函数图像的特征来理解。
一次函数是一条直线，其斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线的截距。
左右平移就是将整条直线沿x轴方向平行地移动。
当左平移时，直线的截距减小；当右平移时，直线的截距增大。
举个例子来说明左右平移规律。
考虑一次函数y=2x+3、如果将函数向左平移2个单位，则新的函数为y=2(x-2)+3，简化为y=2x-1、这意味着原来在x=1处的点现在移动到新的位置x=-1处。
另外，原来的直线在x轴上的截距由3减小到-1总结起来，一次函数的左右平移规律可以通过改变图像的参数或调整函数表达式来实现。
无论是通过改变参数还是通过改变表达式，效果都是将整个函数图像沿x轴方向移动。
左平移通过减小斜率b来实现，右平移通过增大斜率b来实现。
二次函数平移规律
二次函数平移规律二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，代表曲线的形状、位置和方向。
平移变换的规律可以分为以下几种情况：1.沿x轴平移：将整个图像沿x轴的正方向或负方向移动一个固定的距离。
将二次函数的公式中的x换成(x-h)，其中h表示x轴的平移量。
例如，若h>0，则平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
2. 沿y轴平移：将整个图像沿y轴的正方向或负方向移动一个固定的距离。
将二次函数的公式中的c换成c + k，其中k表示y轴的平移量。
例如，若k > 0，则平移后的函数为y = ax^2 + bx + (c + k)。
3.组合平移：同时沿x轴和y轴方向进行平移变换。
将二次函数的公式中的x换成(x-h)，c换成(c+k)。
例如，若h>0且k>0，则平移后的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+(c+k)。
需要注意的是，平移会改变函数的位置，但不会改变函数的形状和方向。
也就是说，平移前后的函数曲线是相似的，它们只是在坐标系中的位置不同。
平移变换也可通过绘制函数图像来观察和理解。
首先，绘制原始函数的图像，然后通过调整参数a、b、c、h和k，分别代表二次函数的系数和平移量，来获得不同位置的图像。
通过比较不同图像之间的差异，可以更好地理解平移变换的规律。
此外，可以通过数学的推导和计算来验证平移变换的规律。
对于给定的二次函数，通过代入不同的参数值，并计算出相应的函数值，可以验证函数图像在平移后是否符合平移变换的规律。
总结起来，二次函数的平移变换是通过改变函数的参数来实现的。
沿x轴平移可以通过更改x的值，沿y轴平移可以通过更改c的值，组合平移则同时改变x和c的值。
平移变换不仅可以通过绘制函数图像来观察和理解，还可以通过数学的推导和计算来验证和探索。
掌握了二次函数的平移规律，可以更好地理解二次函数的性质和变换。
常见函数放缩公式
常见函数放缩公式函数的放缩（或者称为函数的伸缩）指的是通过对函数的自变量或因变量进行一系列的变换，来改变函数图像的形状、位置或大小。
常见的函数放缩公式包括平移、压缩和反转等操作。
1.平移：平移是指通过添加或减去一个常数来改变函数图像在横轴或纵轴上的位置。
设原函数为f(x)，平移后的函数为f(x-a)或f(x)+a。
其中a为平移距离，负数表示向右平移，正数表示向左平移。
2.垂直放缩：垂直放缩是指改变函数图像在纵轴方向的大小。
设原函数为f(x)，垂直放缩后的函数为c*f(x)或f(cx)。
其中c为放缩因子，当0<c<1时，函数图像被压缩；当c>1时，函数图像被拉伸。
3.水平放缩：水平放缩是指改变函数图像在横轴方向的大小。
设原函数为f(x)，水平放缩后的函数为f(kx)。
其中k为放缩因子，当0<k<1时，函数图像被压缩；当k>1时，函数图像被拉伸。
4.对称与反转：对称与反转是指改变函数图像在横轴或纵轴上的对称性。
设原函数为f(x)，对称后的函数为f(-x)。
函数在横轴上对称是指当(x,y)在函数图像上时，(-x,y)也在函数图像上；函数在纵轴上对称是指当(x,y)在函数图像上时，(x,-y)也在函数图像上。
5.垂直翻转：垂直翻转是指将函数图像沿纵轴翻转。
设原函数为f(x)，垂直翻转后的函数为-f(x)。
翻转后，函数图像的上方变为下方，下方变为上方。
6.水平翻转：水平翻转是指将函数图像沿横轴翻转。
设原函数为f(x)，水平翻转后的函数为f(-x)。
翻转后，函数图像的左侧变为右侧，右侧变为左侧。
这些常见的函数放缩公式是数学中很重要且实用的概念。
通过对函数进行放缩，我们可以在图像上更方便地观察函数图像的特征，并且可以根据需要调整函数的位置、大小和形状，以满足不同的需求。
数学函数平移知识点总结
数学函数平移知识点总结一、平移的基本概念在数学中，平移是指将图形沿着给定的方向和距离移动的操作。
在函数中，平移也是将函数的图像沿着给定的方向和距离移动，而函数本身的定义不会发生改变。
平移主要可以分为水平平移和垂直平移两种类型。
对于函数y=f(x)，其水平平移和垂直平移分别可以表示为：1.水平平移：y=f(x-h)，其中h为水平方向上的平移距离，当h>0时向右平移，h<0时向左平移。
2.垂直平移：y=f(x)+k，其中k为垂直方向上的平移距离，当k>0时向上平移，k<0时向下平移。
二、平移对函数图像的影响1. 水平平移：对于函数y=f(x-h)，当h>0时，函数图像沿着x轴正方向平移h个单位；当h<0时，函数图像沿着x轴负方向平移|h|个单位。
2. 垂直平移：对于函数y=f(x)+k，当k>0时，函数图像沿着y轴正方向平移k个单位；当k<0时，函数图像沿着y轴负方向平移|k|个单位。
三、平移后函数的性质1. 平移后函数的零点：对于函数y=f(x-h)，零点由f(x-h)=0得到，即x=h是f(x-h)的零点。
同样，对于函数y=f(x)+k，零点由f(x)+k=0得到，即y=-k是f(x)+k的零点。
2. 平移后函数的图像：平移不改变函数的性质，只是改变了函数的位置。
平移后的函数图像与原函数图像相比，形状不变，只是在坐标平面上左右或上下移动了一定的距离。
3. 平移后函数的定义域和值域：平移不改变函数的定义域和值域，只是改变了函数图像的位置。
所以对于平移后的函数，其定义域和值域与原函数保持一致。
四、平移的应用1. 几何形状的平移：在几何学中，平移是指将图形沿着给定的方向和距离移动。
平移通常用于描述物体的位置变化，比如在坐标平面上的图形移动等。
2. 坐标变换：在数学中，坐标变换通常会用到平移的概念。
对于给定的点(x,y)，将其平移(h,k)个单位后得到的新坐标为(x+h,y+k)。
原题目：函数的图像与平移、翻折、伸缩变换
原题目：函数的图像与平移、翻折、伸缩变换函数的图像与平移、翻折、伸缩变换是数学中常见的概念。
通过对函数进行这些变换，我们可以改变函数图像的位置、形状和尺寸。
平移变换（___）平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。
平移变换可以向左、向右、向上或向下移动函数图像。
可以使用以下公式将函数平移：对于函数$f(x)$，水平平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$f(x-a)+b$。
对于函数$y=f(x)$，向左平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$y=f(x+a)+b$。
对于函数$y=f(x)$，向右平移$a$个单位，垂直平移$b$个单位后的函数为$y=f(x-a)+b$。
对于函数$y=f(x)$，向上平移$a$个单位，水平平移$b$个单位后的函数为$y=f(x+b)+a$。
对于函数$y=f(x)$，向下平移$a$个单位，水平平移$b$个单位后的函数为$y=f(x-b)+a$。
翻折变换（___）翻折变换是指将函数的图像关于坐标轴进行对称的操作。
翻折变换可以关于x轴翻折、关于y轴翻折，或者关于原点进行翻折。
可以使用以下公式进行函数翻折：对于函数$y=f(x)$，关于x轴翻折后的函数为$y=-f(x)$。
对于函数$y=f(x)$，关于y轴翻折后的函数为$y=f(-x)$。
对于函数$y=f(x)$，关于原点翻折后的函数为$y=-f(-x)$。
伸缩变换（___）伸缩变换是指改变函数图像的尺寸的操作。
伸缩变换可以沿x轴方向或y轴方向进行。
可以使用以下公式进行函数的伸缩：对于函数$y=f(x)$，沿x轴方向放大$a$倍后的函数为$y=f\left(\frac{x}{a}\right)$。
对于函数$y=f(x)$，沿x轴方向缩小$a$倍后的函数为$y=f(ax)$。
对于函数$y=f(x)$，沿y轴方向放大$a$倍后的函数为$y=af(x)$。
对于函数$y=f(x)$，沿y轴方向缩小$a$倍后的函数为$y=\frac{1}{a}f(x)$。
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函数图像平移公式
设在直角坐标系xoy 中有一函数为)(x f y =则其图像平移公式有：
1. 把图像向右平移（X 轴正方向）m （m>0）个单位，再向上平移（Y 轴的正方向）n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=-
2. 把图像向右平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y -=+
3. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向上平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=-
4. 把图像向左平移m （m>0）个单位，再向下平移n （n>0）个单位后所得的图像的解析式为)(m x f n y +=+
这些规律可总结为：左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”
说明：利用这个规律写平移后函数图像的解析式只需要考查是用m x +还是用m x -替换)(x f y =中的x,是用n y +还是用n y -来替换)(x f y =中的y,使用起来很方便。
例一、 抛物线3422
---=x x y 向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线
的解析式。
解：根据左右平移“X 左加右减”上下平移“下加上减”的规律分别用3+x 、4+y 去替换抛物线3422---=x x y 中的x 、y 就可以得到平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为3)3(4)3(242-+-+-=+x x y
即371622---=x x y
例二、 将一抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得到抛物线的解析式为322+-=x x y 求此抛物线的解析式。
解：所求抛物线可以看成是将抛物线322
+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。
所以所求抛物线的解析式为3)2(2)2(32+---=+x x y 即862+-=x x y
例三、 求将直线15-=x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得到直线的解析式
解：所求直线的解析为1)3(55-+=-x y 即145+=x y
例四、 已知两条抛物线C 1 ：522+-=x x y ，C 2：742
+-=x x y 问抛物线C 1经过怎
样的平移后与C 2：抛物线重合。
解：设用n y m x ++.,分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2。
于是C 2的解析式又可表示为5)(2)(2++-+=+m x m x n y 即52)1(222+--+-+=n m m x m x y 比较系数得4)1(2-=-m 、7522=+--n m m 解方程组可得1,1=-=n m
由此可知用1,1+-y x 分别替换C 1 中的y x ,得到抛物线C 2，所以抛物线C 1先向右平移1个单位，再向下平移1个单位后可与抛物线C 2重合。
例五、 已知把直线23+-=x y 平移后经过点A （－4，2）求平移后所得到的直线解析式、
并说明是向左还是向右平移几个单位得到的。
解：用m x +替换直线23+-=x y 中的x 得到平移后的直线解析式
2)(3++-=m x y 又平移后的直线经过点A （－4，2），于是有 2)4(32++--=m ，解之得4=m
所以平移后所得到的直线解析式是103--=x y ，它是将直线23+-=x y 向左平移4个单位得到的。