数学猜想在数学教学中的作用

浅谈中学教学中的数学猜想
摘要：通过史实的种种证明，猜想在整个数学教学过程中都起到非常重要的作用。

本文从“数学猜想”的定义入手，到它的方法意义，然后到它在中学教学的指导作用，最后，深入分析它的四种分类。

重在讨论如何运用数学猜想解决数学问题。

关键词：猜想，创新，中学教学，推理
一、数学猜想的定义及其特征
数学猜想是根据已经存在的数学知识和数学事实，对未知量及其关系作出的似真判断，具有科学假说性。

任何数学定理或结论的形成都人模糊到确立，也就是从猜想（假说）到结论。

科学家牛顿曾说：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。

”数学教育家波利亚也认为一个好的数学家，首先必须是一个好的猜想家，并提出：“在数学教学中必须有猜想的地位。

”
数学猜想既有逻辑的成份又含有非逻辑的成份，因此，它具有科学性的同时也有很大程度的假定性，我们需要推理和论证才能最好终确立这样的猜想是否正确，而这样的推理和论证过程刚是一种创造性的思维活动，是科学发现的一种重要手段。

数学猜想具有科学性，假定性和创新性三个基本特征。

（１）、科学性数学猜想并不是凭空想像，而是以数学经验事实为基础，对未知量和相互关系作出的推测和判断。

因此，数学猜想具有一定的科学性。

（２）、假定性任何猜想都需要以真实依据为先导，合情推理为手段进行论证或推翻，只要这个猜想还没被证实，那么它就是假定的，似真的。

其实，数学猜想就是科学性和假定性的统一体。

（３）、创新性创新是数学猜想的灵魂，没有创新就无所谓数学猜想。

有了猜想就要去推出它，证明你的猜想是个事实，而这个证明或推理的过程就是一个思维碰撞的过程，通过这样的过程，产生了新的见解，事实或规律等。

所以每个数学猜想的论证都有创新性。

因此，数学猜想对于数学理论的发展和创新具有十分重要的作用。

二、数学猜想的方法论意义
数学猜想作为一种科学思维形式和数学研究方法，是数学发展的重要途径，每个数学理论、分支的产生与发展无不烙下数学猜想的印迹［１］。

而数学猜想作为一种研究方法，它本身就是数学方法论的研究对象。

数学猜想的类型、特征、提出方法和解决途径等，对于一些数学理论的证明都具有非凡的意义。

（1）、数学猜想对于许多的数学理论的形成起到很在的促进
作用，导致了今天的数学对整个世界乃至宇宙都有着巨大的贡献。

数学猜想是数学发展史中最频繁跃现的因素之一，是人类理发思维中的最好不安分却最具创造性的部分。

古今中外，我们不难发现，有无数的数学家被吸进数学理论研究的大熔炉里，甘愿与数学研究共生存共发展，甚至其他领域的科学家也被这样神奇的猜想方法深深地吸引过来。

也因此，很多的数学定理便应运而生。

比如，“伯恩赛德猜想”：每一个非交换的单群都是偶数阶的。

1963年被汤普森和菲特证明，从此转化为数学定理。

当然，并不是每个数学猜想都会成为正确的数学定理，但在数学猜想的讨论研究过程中总会有意外的惊喜，同样丰富了数学理论。

（2）、数学猜想是创造数学思想方法的重要途径。

数学猜想的探讨过程总有风雨和坎坷，但不得不被人们承认的一点就是在这个漫长的过程总是能创造出大量有效的数学思想方法。

比如在研究“无穷小悖论”问题时，创立了“极限思想方法”史厄曼在研究哥德巴赫猜想过程中创造了“密率法”；陈景润改进了古老的“筛法”。

这些数学思想方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。

（３）、数学猜想本身就是研究科学方法论的研究对象。

数学猜想的类型、特征、提出方法和解决方法等，对总结一般科学方法尤其是对创造性思维方法研究具有特殊意义和价值。

事实证明，关于数学猜想的条件变更法、逐级猜想法、判定数学猜想真伪命题转化与反例否定法等，对后时代研究科学理论上都有举足轻重的作用。

数学的发展要靠猜想，我们应学会习惯去猜想，并利用猜想渗透到数学领域里去。

猜想－证明－猜想－证明，数学就是这样一个历程，虽然曲折但
总的还是在不断地前进着。

三、数学猜想对中学数学教学的指导作用。

中学教育无论对于老师还是学生而言都是一项伟大的教与学的工程，因此教师作为指引者就显得尤为关键。

数学教学的目的是使学生掌握数学知识和数学技能，培养学生分析问题和解决问题的能力。

［２］
为了让学生牢记解题方法和获得的基本知识，我们必须带领学生“再创造”，虽然知识是前人证明和研究出来的，但我们更应该让学生也像那些科学家们一样学会自己发现，这就需要我们教师去引导和帮助。

“再创造”实际上就是重视数学猜想，一般用已学过的旧知识进行归纳揄和类比推理，然后层层迭进经过推理－结论－修正－新结论－……如此往复地进行完善，最终获得最后的结果。

四、数学猜想的分类
（1）不完全归纳猜想
不完全归纳法（简称归纳法），是依据少量经验事实，作出关于一般规律的猜想或假设的思维形式。

它含有丰富的想象和直觉判断，而想象和直觉判断属于思维的范畴，因此归纳法具有发现新知识和探索趔的创造功能，成为数学发现的重要方法之一。

在中学教学中利用这种猜想，可发现和解决某些一般性的问题，其思维模式是试验－归纳－猜想。

例如：
化简：
因为归纳推理与人们认识事物的进程较为一致，故而易为理解和接受。

在许多命题的解题过程中，用归纳法猜出结果后，就可以确定具体的解题目标，从而避免漫无目标的盲目探索，同时，根据已知信息，制定出合理的解题方案。

（２）、类比猜想
类比法是根据两个或两类对象某些特点的相同或相似，然后判断它们的其他特点也相同或相似的思维形式，也称为类比揄。

长期以来类比猜想有了很大的发展，它们的作用早就被众多的科学家认识到。

天文学家开普勒说过：“我最珍视类比，它是我最可靠的老师。

”数学家拉普拉斯也指出：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。

”
在中学数学教学中，用类比猜想，可由两命题中条件的相似，去猜想结论的相似，去猜想推理方法的相似；还可以由两个概念的相似去猜想解题思路的相似。

其思维的般方式是类比－联想－猜想。

例：
类比法在数学问题解决中有启迪新思路和触类旁通的作用。

著名哲学家康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这种方法往往能指引我们前进。

”恰到好处地运用好类比猜想，有时对教学也有意想不到的帮助。

在数学教学当中，许多公式、定理和法则，还有一些例题和习题等都可以适当地运用类比法提出猜想，然后引导学生获得新知识，这对学生的创造性思维能力指导具有重要意义。

（３）、探索性猜想
探索性猜想是指依据思维里已经存在的知识经验，获得对于需要解决的问题作出逼近结论的方向性的猜想。

此猜想多次重复试探和论证。

通过多次探索和修改，逐步向结论靠近，最后获得解题方向。

其思维大致模式是：猜想－修正－猜想。

例：
（４）、审美性猜想
审美性猜想是运用数学美的思想－简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等，对研究的对象或问题，结合已有知识与经验所作研究的对象或问题，结合已有知识与经验所作出的直觉性猜想。

比如，复杂的问题可能存在简单的解答；对称的条件能导致对称的结论；相似的对象具有相似的性质等等。

我们中学教学中碰到很多问题用其它方法都解决不了，其实只要你细心观察，会发现它们的某些部分的眼光去猜想最后的结论并加以论证。

审美性猜想的思维模式是：观察－审美－猜想。

例：
五、数学猜想在中学教学中的应用
《全日制义务教育数学课程标准》中指出，学生的“推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给证明或举出反例。

”显然，数学猜想是思维能力的范畴，是义务教育的培养目标之一。

因此，数学教师必须在教学中重视学生猜想能力的培养。

以上几种是中学数学中最常用的猜想，教学还必须让学生明白：第一，这些猜想是不能分开使用的，例如，审美直觉在解题过程中往往起着调控和决策
作用，正是有了对美的追求才激发了人们对所研究的问题提出种种猜想，有时是类比，也会是归纳，或者两者都有。

第二，数学猜想的结果不一定是正确的，它的正确性要经过逻辑论证。

总之，掌握数学猜想的规律和方法是数学教学中应予以加强的一项重要工作，它不仅可以提高学生的理解能力，更有助于学生思维的发展和创造能力的提高。