2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 同步测试卷 圆锥曲线的综合问题
2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 同步测试卷 圆锥曲线的综合问题
13．(18 分)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心 率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线 l：x－y ＋ 2＝0 与以原点 O 为圆心，以椭圆 C 的短半轴长为 半径的圆相切．
(1)求椭圆 C 的方程； (2)设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA， MB 交椭圆于 A，B 两点，设两直线的斜率分别为 k1， k2，且 k1＋k2＝4，求证：直线 AB 过定点； (3)过点 P(0，2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 D， E，当△ODE 面积最大时，求DE.
分。
此时直线 AB 的方程为 x＝－12，
－12，－1也在直线 x＝－12上．
综上，直线 AB 过定点－12，－1. (3)依题意知直线 l 的斜率存在，
故设直线 l 的方程为 y＝tx＋2， 设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，联立 y＝tx＋2 和x22＋y2
＝1 得，
(1＋2t2)x2＋8tx＋6＝0，由 Δ>0，得 t2>32，
第十六页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。所以B＝ （1＋k2）1＋82k2
＝
8（1＋k2） 1＋2k2 .
点 M( 2，0)到直线 l 的距离 d＝ 1＋2kk 2.
则GH＝2
r2－1＋2k2k2.
所以要使AG＝BH，只要AB＝GH，
所以8（1＋1＋2kk22）＝4r2－12＋k2k2.
r2＝12＋k2k2＋2（11＋＋2kk22）＝2（23kk44＋＋33kk22＋＋11）
第十二页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
【解析】(1)证明：如图，设 A(x1， 2x21)，
B(x2，2x22)，把 y＝kx＋2 代入 y＝ 2x2，得 2x2－kx－2＝0.
2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 同步测试卷 函数的应用
④y＝x－1x，直线 AB 的方程为：y＝32x－32，设 D
点的横坐标为 t(1≤t≤2)，则|DC|＝32t－32－t＋1t ＝32－
12t＋1t ≤32－2
12t·1t ＝32－
1 2<4.
第十五页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
10．已知函数 f(x)对任意的实数 x 满足：f(x＋3)＝
第十七页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分．解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(16 分)已知 f(x)是 R 上的单调函数，且对任意 的 a∈R，有 f(a)＋f(－a)＝0 恒成立，若 f(－3)＝2.
(1)试判断 f(x)在 R 上的单调性，并说明理由； (2)解关于 x 的不等式 fm－x x＋f(m)<0，其中 m∈R 且 m>0.
即xf（>0x）<0或xf（<0x）>0，∴0<x<1 或 x>4 或－
4<x<－1.
第五页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
5．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x－4)＝
－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程 f(x)＝
m(m>0)，在区间[－8，8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，
第七页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
【解析】对于①，由|f(x)－g(x)|＝|x2－(2x－2)|＝|(x －1)2＋1|≤1，得 x＝1，即为唯一的“友好点”；
对于②，|f(x)－g(x)|＝|
x－(x＋2)|＝
x－122＋74
2016年新课标名师导学一轮复习理科数学课件 同步测试卷 空间图形的有关计算
则 cos
θ＝|nn|·|DD→→CC|＝
10 5.
即二面角 C－AS－D 的余弦值为
10 5.
第八页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上．)
7．已知空间三点 A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2， －2，3)，则A→B与C→A的夹角 θ 的大小是_1_2_0_°___．
∴D→P＝(0，0，a)，A→E＝－1，1，a2，
由 cos〈D→P，A→E〉＝ 33，∴a22＝a 2＋a42· 33，
∴a＝2.
∴E 的坐标为(1，1，1)．
第五页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
5．在空间四边形 ABCD 中，A→B·C→D＋A→C·D→B＋ A→D·B→C＝( B )
A．－1 B．0 C．1 D．不确定
【解析】解法一：如图，在空间四边形
ABCD 中，连接对角线 AC，BD，得三棱锥
A－BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正
四面体，
∵正四面体的对棱互相垂直，
∴A→B·C→D＝0，A→C·D→B＝0，A→D·B→C＝0.
∴A→B·C→D＋A→C·D→B＋A→D·B→C＝0.
解法二：在解法一的图中，选取不共面的向量A→B，
＝12(A→1B1－A→1D1)－13A→1A＝12a－12b－13c.
第三页，编辑于星期五：二十一点 五十七分。
3．如图，E、F 分别是三棱锥 P－ABC 的棱 AP、BC 的中点，PC＝10，AB＝6， EF＝7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为
(C )
A．30° B．45° C．60° D．90°
2016’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习 同步测试卷
新课标名师导学一轮复习文科数学课件同步测试卷圆锥曲线
C．4－2 2 D．5－2 2
【解析】设|AF1|＝|AB|＝m，则|BF1|＝ 2m，|AF2| ＝m－2a,
|BF2|＝ 2m－2a， ∵|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m， ∴m－2a＋ 2m－2a＝m，
∴4a＝
2m，∴|AF2|＝1－
22m，
∵△AF1F2 为 直 角 三 角 形 ， ∴|F1F2|2 ＝ |AF1|2 ＋
【解析】由题意，Rt△PF1F2 中，PF2＝12F1F2＝c， PF1＝ 23·F1F2＝ 3c，而 PF1＋PF2＝2a＝(1＋ 3)c， 故 e＝ac＝ 3－1.
9．已知双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线 均与圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0 相切，则该双曲线的离
35 心率等于___5___．
此椭圆的一焦点与抛物线 y2＝4 5x 的焦点重合，则椭
圆的方程为( B ) A.x82＋y32＝1 C.x92＋y82＝1
B.x92＋y42＝1 D.1x62 ＋y92＝1
【解析】由题中的定义知，关于x的不等式|x－(a ＋b－2)|<a＋b的解集为(－2，8)，解这个不等式得 －(a＋b)<x－(a＋b－2)<a＋b，解得－2<x<2(a＋b)－ 2，∴2(a＋b)－2＝8，得a＋b＝5.又由于椭圆xa22＋by22＝
物线的焦点为F
0，1
，依抛物线的定义知P到该抛物
线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(2，0)的
距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋
|PA|≥|AF|＝ －22＋12＝ 5.
6．定义：关于 x 的不等式|x－A|<B 的解集叫 A 的 B 邻域．已知 a＋b－2 的 a＋b 邻域为区间(－2，8)， 其中 a，b 分别为椭圆xa22＋by22＝1 的长半轴和短半轴．若
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(圆锥曲线的综合问题) 时间：60分钟 总分：100分
第一页，编辑于星期五：二十一点 五十五分。
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要 求的．)
1．已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线 上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( C )
＋
（k2＋1）（4b2－12） 4k2＋3
＋
b2
＝
7b2－12（k2＋1） 4k2＋3
＝
2（k2＋1） 4k2＋3 .
第二十一页，编辑于星期五：二十一点 五十五 分。
令2（4kk22＋＋31）＝1，则 4k2＋3＝2k2＋2，即 2k2＋1
＝0，无解．
②当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝± 2，
＝ 322－22＝ 25＝ba，
∴离心率 e＝
1＋ba22＝
1＋45＝3
5 5.
第五页，编辑于星期五：二十一点 五十五分。
4．椭圆1x62＋y72＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，
一直线过 F1 交椭圆于 A，B 两点，则△ABF2 的周长 为( B )
A．32 B．16 C．8 D．4 5．以双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 为圆
第十三页，编辑于星期五：二十一点 五十五分。
【解析】(1)证明：设 P(x1，y1)是双曲线上任意一 点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是 x－2y＝0、x
＋2y＝0.
点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是
|x1－2y1|和|x1＋2y1|，
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9．设 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A，B，C 为该抛 物线上三点，若F→A＋F→B＋F→C＝0，则|F→A|＋|F→B|＋|F→C| ＝__6__．
【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又 2p＝4，p＝2，
F(1，0)，则F→A＝(x1－1，y1)，F→B＝(x2－1，y2)， F→C＝(x3－1，y3)，∵F→A＋F→B＋F→C＝0， ∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0.∴x1＋x2＋x3＝3， 故|F→A|＋|F→B|＋|F→C|＝x1＋x2＋x3＋32p＝3＋3＝6.
A．2 B．4 C．6 D．8
6．若椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e＝12，右焦
点为 F(c，0)，方程 ax2＋2bx＋c＝0 的两个实数根分别
是 x1 和 x2，则点 P(x1，x2)到原点的距离为( A )
A. 2
B.
7 2
C．2
D.74
【解析】因为 e＝ac＝12，所以 c＝12a.由 a2＝b2＋c2，
【解析】(1)因为圆 C1，C2 关于直线 l 对称， 圆 C1 的圆心 C1 的坐标为(4，0)，圆 C2 的圆心 C2 的坐 标为(0，2)， 显然直线 l 是线段 C1C2 的中垂线， 线段 C1C2 中点坐标是(2，1)， C1C2 的斜率是 k＝xy11－ －xy22＝04－ －20＝－12， 所以直线 l 的方程是 y－1＝－1k(x－2)，即 y＝2x－3.
(1)求动圆的圆心轨迹 C 的方程； (2)是否存在直线 l，使 l 过点0，1，并与轨迹 C 交于 P，Q 两点，且满足O→P·O→Q＝0？若存在，求出 直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 【解析】(1)设 M 为动圆圆心，F(1，0)，过点 M 作直线 x＝－1 的垂线，垂足为 N， 由题意知：|MF|＝|MN|， 即动点 M 到定点 F 与到定直线 x＝－1 的距离相 等， 由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中 F(1，0)为焦点，x＝－1 为准线， ∴动圆圆心的轨迹方程为 y2＝4x.
2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题
2016届高考数学一轮复习教学案圆锥曲线的综合问题[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或1＋1k2|y 1－y 2|.[小题能否全取]1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.答案：635．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝01.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．典题导入[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[自主解答](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k 2x 1＋x 22－4x1x 2]＝2＋k 2＋6k 21＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1.典题导入[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2，设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则 S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m 2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，23 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.由题悟法1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．以题试法2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.典题导入[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值． [自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p ，得y 1＝by 0－2pa y 0－b，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pay 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b，y 2＝2pay 0，则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0.当x ＝a ，y ＝2pab时上式恒成立，即定点为⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b1．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ,·2PF ,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1PA ,·2PF ,＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA ,·2PF ,取得最小值－2.2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．(2012·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM ,＝4MN ,，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.35D.45解析：选B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a，bc a，由FM ,＝4MN ,得b 2a ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a －b 2a ，即b c ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53.4．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,22 ]．答案：[2,22 ]6．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－63，－63，∴|AB |＝433.设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪≤32，∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝2.答案：27．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y2b2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1， 所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－b 2＋b 22－－2b 21＋b 2＝8b 4＋b 22，解得b ＝22.8．(2012·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. ∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ＜12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．(2012·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，求实数k 的取值范围．解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03.又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·| y 03| ，∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k 2，∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16，点P 在直线l ′上，∴3m3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16， ∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k(4k 2＋3)，∴k 2＋236k 2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k＞68或k ＜－68，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－68∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫68，＋∞.1．(2012·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|AM |,＋|BM |,的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积的最大值．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM |,2＋|BM |,2－2|AM |,·|BM |,cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|AM |,＋|BM |,)2－2|AM |,·|BM |,·(1＋cos 2θ)＝4，所以(|AM|,＋|BM|,)2－4|AM|,| BM|,·cos2θ＝4.因为|AM|,·|BM|,cos2θ＝3，所以(|AM|,＋|BM|,)2－4×3＝4，所以|AM|,＋|BM|,＝4.又|AM|,＋|BM|,＝4＞2＝|AB|，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以曲线C的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x＝my＋1x24＋y23＝1，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则△APQ的面积S△APQ＝12×2×|y1－y2|＝|y1－y2|.由根与系数的关系得y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48×3m2＋33m 2＋42.令t＝3m2＋3，则t≥3，(y1－y2)2＝48t＋1t＋2，由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3， 所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1. 2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5. ∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝＋2＋12＋－2＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4y 1＋y 22－4y 1y 2＝241013.1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：选C 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多1个 B ．2个 C ．1个D ．0个解析：选B 由题意得4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ,·TN ,的最小值，并求此时圆T 的方程； (3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝ca＝32， ∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.(*)由已知T (－2,0)，则TM ,＝(x 1＋2，y 1)，TN ,＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM ,·TN ,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM ,·TN ,取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325. 故圆T的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式， 得x R ·x S ＝－y 21y 20－－y 20y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．平面解析几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·佛山模拟)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P ,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.3．(2012·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.4．(2012·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2C ．3D ．5解析：选A ∵抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.5．(2012·郑州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.53C.324D.54解析：选B 依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53. 6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能解析：选C 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|PA |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1, 3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0.8．(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2B ．2 2C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．(2012·潍坊适应性训练)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则|PF 2|＝|F 1F 2|，则1PF ,·2PF ,等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：选C 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以1PF ,·2PF ,＝10×6×56＝50.10．(2012·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )A.x 275－y 2100＝1B.x 2100－y 275＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝1 解析：选D ∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314，∴cos ∠BAC ＝1114，|AC |＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14，sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC )＝sin 60°cos∠BAC －cos 60°sin∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB |＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC |－|AB ||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.11．(2012·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3C.3±1D.3－1解析：选A 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2± 3.12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为4的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32或4 2B ．26或27C ．25或27D.5或7解析：选C 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n 且m ，n ＞0)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，消去x 得(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0，由Δ＝0得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m＝16，①又c ＝2，即1m －1n＝±4，②由①②联立得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝15，故椭圆的长轴长为27或2 5.二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)13．(2012·青岛模拟)已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，所以θ＝k π(k ∈Z )．所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z )14．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a，故直线OP 的斜率为－b a，直线OP 的方程为y ＝－b a x .与椭圆方程联立得x 2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5，故2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.答案：x 210＋y 25＝115．(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为26.答案：2616．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)(由题可知k 存在)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.18．(12分)(2012·南昌模拟)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝－k x B －－k x A －x B －x A＝2k －k x B ＋x Ax B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．19．(12分)(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 2a 2＋y20b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.20．(12分)(2012·河南模拟)已知椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)由题意知ca ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k k 2＋，x 1x 2＝－16k 2＋.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4＋k 2k 2＋k 2＋＝4269， 化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)∵MA ,＝(x 1，y 1－1)，MB ,＝(x 2，y 2－1)，∴MA ,·MB ,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)，＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－＋k 2k 2＋－16k 2k 2＋＋169 ＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .21． (2012·广州模拟)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若1OF ,＋21AF ,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE ,·PF ,的最大值．解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1(a 2－2，0)，由1OF ,＋21AF ,＝0，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE ,·PF ,＝(NE ,－NP ,)·(NF ,－NP ,) ＝(－NF ,－NP ,)·(NF ,－NP ,)＝NP ,2－NF ,2＝NP ,2－1.从而将求PE ,·PF ,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20. 因为点N (0,2)，所以NP ,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12. 因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP ,2取得最大值12. 所以PE ,·PF ,的最大值为11.22． (2012·湖北模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52. (1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积． 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，两式相减得xc ＝32. 由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52， 则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c ＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x 29＋y 28＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－3≤x ≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32. (2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°，所以∠CF 1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2. 由余弦定理得22＋(2r )2－2×2×2r cos 45°＝r 2， 解得r ＝2，所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.。
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题(1)
(2)若|A1A|＞|B1B|，求ba的取值范围； (3)一条直线与果圆交于两点，两点间的线段称为“果圆” 的弦．是否存在平行于 x 轴的直线交“果圆”于两点，得到的 弦的中点轨迹方程为椭圆？
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[分析] (1)根据△F0F1F2中的|F0F1|、|F1F2|的值，解出 a、b、c的值，得出“果圆〞的方程．
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[规律总结] 求范围的方法同求最值及函数值域的方法 类似．常见的解法有两种：几何法和代数法．假设题目的条 件和结论能明显表达几何特征及意义，那么考虑利用图形性 质来解决，这就是几何法．假设题目的条件和结论能表达一 种明确的函数关系，那么可首先建立起目标函数，再求这个 函数的最值，这就是代数法．求函数最值常用的代数法有配 方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性、有界性法.
∴A(
22a，12a)，故
kAB＝
22，AB
方程为
y＝
2 2 x.
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(2)连结 AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的 对称性可知 S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2.
∴12×2c×12a＝4 2. 又由 c＝ 22a，解得 a2＝16，b2＝16－8＝8， 故椭圆方程为1x62 ＋y82＝1.
在入手，找出一个正确结论即可.
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例 3 已知半椭圆xa22＋by22＝1(x≥0)与半椭圆by22＋xc22＝1(x≤0) 组成的曲线称为“果圆”，其中 a2＝b2＋c2，a＞0，b＞c＞0， F0、F1、F2 是对应的焦点，点 A1、A 和 B1、B 分别是“果圆” 与 x 轴和 y 轴的交点．
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2 2 x y 10.已知抛物线 y2＝2px 的焦点与双曲线 － ＝1 7 9 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 32 ． 在抛物线上且|AK|＝ 2|AF|，则△AFK 的面积为____
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分．解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16 分)已知抛物线 C：y＝2x2，直线 y＝kx＋2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； → ·NB → ＝0？若存在，求 k (2)是否存在实数 k 使NA 的值；若不存在，说明理由．
【解析】不妨设 F(－c，0)为椭圆左焦点，F2 为椭 圆的右焦点， P 在椭圆上， 线段 PF 的中点为 M， 则|PM| ＝|FM|， 圆 x2＋y2＝b2 与线段 PF 相切于点 M， 则|OM| ＝b(O 为坐标原点)．显然有 OM 为△FPF2 的中位线， 则 |PF2| ＝ 2|OM| ＝ 2b. 由勾股定理可得 |PF| ＝ 2|FM| ＝ 2 c2－b2.再由椭圆定义可知，|PF|＋|PF2|＝2a，得出 e 5 ＝ . 3
x2 y2 4 ． F1 ， F2 是椭圆 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0) 的两焦点， P a b 是椭圆上任一点， 过一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的 垂线，则垂足 Q 的轨迹为( A ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【解析】如图，∵PQ 平分∠F1PA，且 PQ⊥AF1， ∴Q 为 AF1 的中点， 且|PF1|＝|PA|， 1 ∴|OQ|＝ |AF2| 2 1 ＝ (|PF1|＋|PF2|)＝a， 2 ∴点 Q 的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆．
【解析】∵x2＝8y， ∴焦点 F 的坐标为(0，2)，准线方程为 y＝－2. 由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2. 以 F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为 x2＋ (y－2)2＝(y0＋2)2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交， 又圆心 F 到准线的距离为 4，故 4<y0＋2，∴y0>2.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上．) x2 y2 7． 设 F1、 F2 分别是椭圆 ＋ ＝1 的左、 右焦点， 25 16 P 为椭圆上任一点， 点 M 的坐标为(6， 4)， 则|PM|＋|PF1| 15 ． 的最大值为____
【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝10－|PF2|. ∴|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|.易知点 M 在椭圆 外，连接 MF2 并延长交椭圆于点 P，此时|PM|－|PF2| 取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为 10＋|MF2| ＝10＋ （6－3）2＋42＝15.
2．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过 点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点， 则直线 l 的斜率的取 值范围是( C ) 1 1 A.－2，2 B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
3．设 M(x0，y0)为抛物线 C：x2＝8y 上一点，F 为 抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛 物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是( C ) A．(0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
x2 y2 5． 已知 F1， F2 是双曲线 2－ 2＝1(a>0， b>0)的左， a b 右焦点，若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直线 b y＝ax 对称，则该双曲线的离心率为( B ) 5 A. B. 5 C. 2 D．2 2
x2 y2 6．已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的一个焦点为 F，若 a b 椭圆上存在一个 P 点，满足以椭圆短轴为直径的圆与 线段 PF 相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为 ( A) 5 2 2 5 A. B. C. D. 3 3 2 9
【解析】 双曲线的右焦点为(4， 0)， p 抛物线的焦点为 2，0， p 所以 ＝4，即 p＝8. 2 所以抛物线方程为 y2＝16x，焦点 F(4，0)，准线 方程为 x＝－4，即 K(－4，0)， y2 设 A 16，y，过 A 做垂线交准线于点 M， 由抛物线的定义可知|AM|＝|AF|， 所以|AK|＝ 2|AF|＝ 2|AM|，即|AM|＝|MK|， y2 所以 －(－4)＝y，整理得 y2－16y＋64＝0， 16 即(y－8)4＝0， 1 1 所以 y＝8，所以 S△AFK＝ |KF|y＝ ×8×8＝32. 2 2
x2 y2 8．已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的离心率为 e a 线的渐近线方程为________ (2)过双曲线上一点 M 作直线 MA，MB 交双曲线于 A， B 两点，且斜率分别为 k1，k2，若直线 AB 过原点 O， 3 ． 则 k1·k2 的值为____
2016’新课标· 名师导学· 新高考第一轮总复习 同步测试卷 理科数学(十八) (圆锥曲线的综合问题) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．) 1．当动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上移动时，它与定点 B(3，0)连线的中点 M 的轨迹方程是( C ) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 32 2 1 D.x＋2 ＋y ＝ 2