matlab 微分方程组的解法.ppt18

matlab常微分方程数值解法精品PPT课件

科学计算与MATLAB
2012
第七讲常微分方程数值解法
内容提要
引言欧拉近似方法龙格-库塔(R-K)方法 MATLAB的常微分方程函数小结
1、引言
物理学所研究的各种物质运动中，有许多物质运动的过程是用常微分方程来描述的。
例如,质点的加速运动，简谐振动等。
F m dv dt
d2x 2x2 0
f xn1
x0
y(x), x dx
y(xn ) f y(xn ), xn h
作如下近似
yn y(xn )
得：
yn1 yn f yn , xn h
2.1.4 欧拉法误差
利用泰勒级数得：
y xn1 y(xn h)
y(xn )
hy(xn )
1 2
h2
y(xn )
y(xn )
x2 …. xn ….
y(x0) y(x1) y(x2) …. y(xn) ….
y0
y1 y2 …. yn ….
在xn节点上，微分方程可以写为
y(xn1) y(xn ) f y(xn ) , xn h
作如下近似：
yn y(tn )
则得到欧拉解法递推公式的一般形式：
yn1 yn f ( yn , xn ) h
hf
y(xn ),
xn
1 2
h2 y(xn )
作如下近似
yn y(xn )
yn1 yn f yn , xn h
局部截断误差
y
y0
dy dx
x0 x x0
y0 f ( y0 , x0 ) x x0
此切线与x=x1交点纵坐标为：
y1 y0 f ( y0 , x0 ) x1 x0

matlab常微分方程 ppt课件

odeplot 随计算过程，显示解向
量
属性名 OutputSel
Refine
2020/4/10
参数设置
取值
含义
若不使用缺省设置，则
有效值：正整数向量缺省值：[]
OutputFcn所表现的是那些正整数指定的解向量中的分量的曲线或数据。若为缺省值时，则缺省地按上面情形进行操
作
有效值：正整数k>1 缺省值：k
y1 (0 ) y 0
y0
y
2
(
0
)
y1
yn
(
0
)
yn
• （3）根据（1）与（2）的结果，编写能计算
• 导数的M-函数文件odefile。
• （4）将文件odefile与初始条件传递给求解
• 器Solver中的一个，运行后就可得到ODE
• 的、在指定时间区间上的解列向量y（其中包 2含020/4y/10及不同阶的导数）。
参数设置
属性名 NormControl Events
取值
含义
有效值： on、off 缺省值：
off
为‘on’时，控制解向量范数的相对误差，使每步计算中，满足： norm(e)<=max(RelTol*n orm(y),AbsTol)
有效值：为‘on’时，返回相应的 on、off 事件记录
2020/4/10
例3
x' x 2
x(0)
1
创建函数function2, 保存在function2.m中
function f=function2(t,x)
f=-x.^2;
在命令窗口中执行 >> [t,x]=ode45('function2',[0,1],1); >> plot(t,x,'-',t,x,'o'); >> xlabel('time t0=0,tt=1'); >> ylabel('x values x(0)=1');

matlab教学第二章微分方程PPT课件

作线性组合得到平均斜率，由此得到更高阶的精
度，这就是龙格-库塔方法的基本思路。
在MATLAB软件中含有数值求解的系统函数，其
实现原理就是龙格－库塔方法。
其中参数k >0，m=18。
2020/11/12
8
2.2.2 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等。利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系。
此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立。
例2.2 战斗模型：两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到
导数。
我们熟悉的速度公式：dy v 就是一个简单的一阶微分方
程。
dt
微分方程是指含有导数或微分的等式。一般形式： F(x,y,y,,y(n))0
或y： (n) f(x,y,y,,y(n1)).
常用的建立微分方程的方法有：运用已知物理定律；利用平衡与增长式；运用微元法；应用分析法。
y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h);
y3(k+1)=(y3(k)+(h/2)*(-y3(k)+x1(k)+x1(k+1)+2))/(1+h/2);
end
x=0:0.1:1;
y=x+exp(-x);
x1=x1(1:11),y=y(1:11),y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),y3=y3( 1:11),
202092040捕食者的存在使食饵的增长率降低假设x1降低的程度与捕食者数量x2成正比即食饵对捕食者的数量x2起到增长的作用其程度与食饵数量x1成正比即dtdxdtdxdtdxdtdx生产理论把企业仅仅抽象为一个生产函数一种投入产出关系一个追求利润最大化的黑匣子它没有讨论企业内部是如何配置资源的企业是如何组织生产的企业和市场的关系如何各自的边界在哪里

matlab求微分方程精确解与近似解课件

Runge-Kutta 方法
Euler 法与 R-K法误差比较
Matlab 解初值问题
用 Maltab自带函数解初值问题
求解析解：dsolve
求数值解：
ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb
dsolve 求解析解
dsolve 的使用
y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v') 其中 y 为输出， eq1、eq2、...为微分方程，cond1、 cond2、...为初值条件，v 为自变量。
例 1：求微分方程 dy 2xyxex2 的通解，并验证。 dx
>> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') >> syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2)
y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y}); x=x+h; szj=[szj;x,y]; end szj plot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')
Euler折线法举例（续）
解析解： y53e3x 2x231/3
解析解
近似解
Runge-Kutta 方法
为了减小误差，可采用以下方法：
例
4：求初值问题
dy dx
2 y 2x2
2x
的数值解，求解范
围为 [0,0.5]
y(0) 1

偏微分方程的matlab解法PPT课件

求解抛物型方程的例子
考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边
保持在100 °C，板的右边热量从板向环境空气定常流动，
t t 其他边及内孔边界保持绝缘。初始
°C ，于是概括为如下定解问题;
是板的温度为0 0
d u u0 , t
u 1 0 0 ,在左边界上
u 1，在右边界上 n u = 0，其他边界上 n
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3
先确定方程大类
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4
Draw Mode
画图模式，先将处理的区域画出来，二维，方形，圆形，支持多边形，可以手动更改坐标，旋转rotate
例如，对于细杆导热，虽然是一维问题，可以将宽度y虚拟出来，对应于y的边界条件和初始条件按照题意制定
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5
Boundary Mode
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20
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21
第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，打开Plot Selection对话框，选中Color,Height(3D plot)和 Show mesh三项.再单击Polt按钮，显示三维图形解，如图22.5所示.
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22
第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击plot菜单中parameter 选项，在plot selection对话框中选中 contour 和arrow两选项。然后单击plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图，如图2.6所示。
2u (2u t 2 x2
u t to 0
区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4),

第8章MATALAB微分方程-PPT精选文档

0
, y(t),r 均可测出。
可算出白铅中铅的衰变率 y 0 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。矿石中铀的最大含量可能 2~3%，若白铅中铅210 每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。
测定结果与分析
画名 Emmaus的信徒们洗足钋210衰变原子数镭226衰变原子数
更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而
铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅
从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
铀238
T 45 亿年
4
6
Байду номын сангаас
5 5 x 1 y ( 1 , ) 当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中 . 24 24 y5 t . 被击中时间为 : 若 v = 1 , 则在 t = 0 . 2 1 处被击中 . 0 v v 0 24 0
二范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
( t t ) 0
N t t0 ln 0 N 1
半衰期 T
1

ln 2
, N(t) 能测出或算出，只要知道 N 0 就可算出
断代。这正是问题的难处，下面是间接确定N 0 的方法。
油画中的放射性物质白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应
用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和
镭226
T 1600 年
（无放射性）
铅206
钋210

matlab_常微分方程数值解法【爆款】.ppt

dx
f (x,
y)
y(x0 ) y0
节点： x0 , x1, , xi , , xn , 步长： h xi1 xi
积分法求欧拉公式时，矩形法采用前一点函数值求积，
若利用后一点，即为向后的欧拉方法。
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21
即
y
x
dy f (x, y)dx
y0
x0
x
y(x) y0
f (x, y)dx
x0
y0 f y(x0 ), x0 h
.精品课件.
16
同样，在[x0,x2] ，积分采用矩形近似，得：
y(x2 ) y0
x2 f y(x), x dx
x0
y0
x1 f y(x), x dx
x0
x2 f y(x), x dx
x1
y(x1) f y(x1), x1 h
非刚性多步法；Adams算法；高低精计算时间比 ode45 短度均可到 10-3～10-6
适度刚性采用梯形算法
适度刚性情形
ode15s
刚性多步法；Gear’s 反向数值微分；若 ode45 失效时，可尝
精度中等
试使用
ode23s
ode23tb
刚性刚性
单步法；2 阶Rosebrock 算法；当精度较低时，计算时
.精品课件.
29
3 改进的欧拉方法取两点斜率平均值，即：
yn1
yn
h 2
k1
k2
k1 f (xn , yn )
k2 f (xn1, yn1)
整体截断误差： O(h2)
.精品课件.
30
欧拉方法（前、后）和改进的欧拉方法优点是算法简单，但计算精度较低，不能满足实际问题求解对精度的要求，所以使用较少。

matlab求微分方程组的解析解

matlab求微分方程组的解析解摘要：I.引言- 介绍微分方程组及其在科学和工程中的应用- 说明求解微分方程组的解析解的重要性II.MATLAB求解微分方程组的基本步骤- 准备微分方程组- 初始化参数- 选择适当的求解方法- 检查和分析解III.MATLAB求解微分方程组的常用函数- ode45: 使用RK方法求解常微分方程组- ode23: 使用二阶龙格-库塔方法求解常微分方程组- pdsolve: 求解偏微分方程组IV.求解微分方程组的示例- 常微分方程组示例- 偏微分方程组示例V.结论- 总结MATLAB求解微分方程组的方法和函数- 强调解析解的重要性及其在实际问题中的应用正文：微分方程组广泛应用于科学和工程领域，如物理、化学、生物学、经济学等。

求解微分方程组的解析解有助于我们深入理解这些领域的规律和特性。

MATLAB作为一种强大的数学计算工具，可以方便地求解微分方程组。

本文将介绍MATLAB求解微分方程组的解析解的基本方法和常用函数。

首先，我们简要回顾一下MATLAB求解微分方程组的基本步骤。

1) 准备微分方程组：根据实际问题建立微分方程组，确定其数学模型。

2) 初始化参数：设定求解区间、初始值和边界条件等参数。

3) 选择适当的求解方法：根据微分方程组的类型和参数特点选择合适的求解函数。

4) 检查和分析解：对求得的解进行检查，确保其合理性和准确性。

MATLAB提供了丰富的求解微分方程组的函数。

1) ode45：使用RK方法求解常微分方程组。

该函数具有较高的求解精度和稳定性，适用于大多数常微分方程组问题。

2) ode23：使用二阶龙格-库塔方法求解常微分方程组。

该函数在某些情况下具有较好的性能，尤其适用于具有对称性的微分方程组。

3) pdsolve：求解偏微分方程组。

该函数可以处理多变量、多区域和多时间的偏微分方程组问题。

为了更好地理解MATLAB求解微分方程组的方法和函数，我们来看两个示例。