MATLAB偏微分方程求解 2

MATLAB偏微分方程求解 2
• MATLAB提供了两种方法解决PDE 问题：① pdepe()函数，它可以求解一般的PDEs，具有较 大的通用性，但只支持命令行形式调用。
• ②PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 问题， PDEtool 有较大的局限性，比如只能求解二阶 PDE 问题，并且不能解决偏微分方程组，但是它 提供了GUI界面，从繁杂的编程中解脱出来了， 同时还可以通过File->Save As直接生成M代码
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• @pdebc：是PDE的边界条件描述函数，必 须先化为下面的形式
p(tu x , ),q(tu ,x* )f ,(.x tu ,, u ,)0 x
• 于是边值条件可以编写下面函数描述为 [pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)其中a 表示下 边界，b 表示下边界
• [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)
• m,x,t就是对应于(式1)中相关参数和自变量， du是u的一阶导数，由给定的输入变量即可 表示出出c,f,s这三个函数
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• @pdeic：是PDE 的初值条件，必须化为下 面的形式
u(x,t0)u0
• 我们使用下面的简单的函数来描述为 u0=pdeic(x)
x t x
x
x
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• @pdefun：是PDE 的问题描述函数，它必 须换成下面的标准形式
c (x ,t,u ， u ) u x m [x m f(x ,t,u , u ) ] st (u ,x u ,), (1
x t x
x
x
• PDE 就可以编写下面的入口函数
• 偏微分方程分为①线性偏微分方程式与② 非线性偏微分方程式，常常有几个解而且 涉及额外的边界条件。
常微分方程：在微分方程中，若自变量的个数只有一个的微分方程。
偏微分方程：自变量的个数有两个或两个以上的微分方程。
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• 求解偏微分方程的数值方法： • 1. 有限元法（Finite Element Method, FEM）---
hp-FEM • 2. 有限体积法（Finite Volume Method, FVM） • 3. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。
• 其它：广义有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、扩展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、无网格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、离散迦辽金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。
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• 主讲人：
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• 微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解包含 • １：常微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解（上
节课已经讲过）这里不再赘述。
• ２：偏微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解（本 次教学内容）
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• 偏微分方程（Partial Differential Equation ，简称PDE）指含有未知函数及其偏导数 的方程。描述自变量、未知函数及其偏导 数之间的关系。
是name后边的名字'NumberTitle','off'是关掉默认显示名字。 • subplot(211) • surf(x,t,sol(:,:,1))%sol(:,:,i)表示ui的解 • title('The Solution of u_1') • xlabel('X') • ylabel('T') • zlabel('U') • subplot(212) • surf(x,t,sol(:,:,2))%sol(:,:,i)表示ui的解 • title('The Solution of u_2') • xlabel('X') • ylabel('T') • zlabel('U')
• 使用pdeval()直接计算某个点的函数值？？？
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• 直接求解一般偏微分方程(组)，它的调用格式 为 sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)
输出 参数
参数
问题描 述函数
初值 条件
边界 条件
自变 量
c (x ,t,u ， u ) u x m [x m f(x ,t,u , u ) ] st (u ,x u ,), (1
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c (x ,t,u ， u ) u x m [x m f(x ,t,u , u ) ] st (u ,x u ,), (1
x t x
x
x
• m：就是对应于(式1)中相关参数 • x,t：就是对应于(式1)中自变量
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• sol：是一个三维数组，sol(:,:,i)表示ui的解， 换句话说uk对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)
11.46*temp));
MATLABபைடு நூலகம்微分方程求解 2
• 初值条件改写为
• %% 初值条件函数 • function u0=pdeic(x) • u0=[1;0];
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• 边界条件改写为
• %% 边界条件函数 • function
[pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) • %a表示左边界，b表示右边界 • pa=[0;ua(2)];qa=[1;0]; • pb=[ub(1)-1;0];qb=[0;1];
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• 例：
初值条 件 边界条件
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• 【解】第一步根据（1）对照给出的偏微分 方程，则原方程可以改写为
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• %% 目标PDE函数 • function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du) • c=[1;1]; • f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; • temp=u(1)-u(2); • s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-
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• clc • x=0:0.05:1; • t=0:0.05:2; • m=0; • sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t); • figure('numbertitle','off','name','PDE Demo——by Matlabsky')%创建个窗口，窗口名字