MATLAB算法程序 偏微分方程的数值解法
偏微分方程Matlab数值解法(补充4)
偏微分方程Matlab 数值解法（补充4）Matlab 可以求解一般的偏微分方程，也可以利用偏微分方程工具箱中给出的函数求解一些偏微分方程。
1 偏微分方程组求解Matlab 语言提供了pdepe()函数，可以直接求解偏微分方程(,,,)[(,,,)](,,,)m mu u u u C x t u x x f x t u s x t u x t x x x-∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ （4.1）这样，偏微分方程可以编写为以下函数的描述，其入口为[,,](,,,)x c f s pdefun x t u u =其中：pdefun 为函数名。
由给定输入变量可计算出,,c f s 这三个函数。
边界条件可以用下面的函数描述(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂+=∂ （4.2） 这样的边值函数可以写为Matlab 函数[,,,](,,,)a a b b x p q p q pdebc x t u u =初始条件数学描述为00(,)u x t u =，编写一个简单的函数即可0()u pdeic x =还可以选择x 和t 的向量，再加上描述这些函数，就可以用pdepe （）函数求解次偏微分方程，需要用如下格式求解(,@,@,@,,)sol pdepe m pdefun pdeic pdebc x t =【例1】 试求下列偏微分方程2111222221220.024()0.17()u u F u u t x u u F u u tx ⎧∂∂=--⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩ 其中： 5.7311.46()xx F x e e -=-，且满足初始条件1(,0)1u x =，2(,1)0u x =及边界条件1221(0,)0,(0,)0,(1,)1,(1,)0u u t u t u t t x x∂∂====∂∂解：对照给出的偏微分方程和（4.1），可将原方程改写为111222120.024/()1.*10.17/()u u x F u u u u x F u u t x ∂∂--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂-∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可知0m =，且1122120.024/()1,,10.17/()u x F u u c f s u x F u u ∂∂--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂-⎣⎦⎣⎦⎣⎦编写下面的Matlab 函数function [c,f,s]=c7mpde(x,t,u,du)c=[1;1];y=u(1)-u(2);F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y);s=F*[-1;1]; f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];套用（4.2）中的边界条件，可以写出如下的边值方程左边界2010.*00f u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，右边界1100.*100u f -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 编写下面的Matlab 函数function [pa,qa,pb,qb]=c7mpbc(xa,ua,xb,ub,t) pa=[0;ua(2)];qa=[1;0];pb=[ub(1)-1;0];qb=[0,1]; 另外，描述初值的函数function u0=c7mpic(x) u0=[1;0];有了这三个函数，选定x 和t 向量，则可以由下面的程序直接求此微分方程，得出解1u 和2u 。
(完整版)偏微分方程的MATLAB解法
引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。
人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。
然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。
现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。
偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
常用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。
【精品】偏微分的MATLAB数值解法课件
方法一：pdepe函数实现
• x=0:1:40; • t=0:0.01:0.2; • m=0; • sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t); • b=sol(20,:); • plot(x,b); • title('the solution of u') • xlabel('x') • ylabel('y') • zlabel('u')
偏微分的MATLAB数值解法
偏微分的MATLAB数值解法
• 方法一：pdepe函数实现 • 方法二：pdetool实现 • 方法三：程序实现
方法一：pdepe函数实现
• @pdeic： • function u0=pdeic(x) • if x<10 • u0=0; • elseif x<30 • u0=1; • else • u0=0; • end
•
end
• end
方法三：程序实现
图 22.12 波动方程解析解的分布
偏微分的MATLAB数值解法
• 方法总结： • 1.pdede调用简单，但计算功能稍弱 • 2.pdetool使用方便，但限于四种方程类
型 • 3.程序编写较为繁琐
方法一：pdepe函数实现
方法二：pdetool实现
• 1.pdetool界面 • 2.选定求解微分方程类型（双曲线、抛物线、椭
圆、特殊值型）并设定参数 • 3.绘制求解区域 • 4.边界条件和初值条件（Dirichlet和Neumann） • 5.生成网格 • 6.求解方程并绘制图形
方法二：pdetool实现
• 应用实例：
u(ux,y)
x2 y x0
matlab 偏微分方程
MATLAB是一个强大的数值计算环境，可以用来解决各种各样的数学问题，包括偏微分方程。
下面是一个简单的例子，展示如何在MATLAB中解决一维的偏微分方程。
假设我们要解决以下一维的热传导方程：
∂u∂t=∂2u∂x2
在给定的初始条件和边界条件下：
u(x,0)=sin(πx)u(0,t)=0, u(1,t)=0
我们可以使用MATLAB中的pdepe函数来求解这个问题。
以下是一个简单的MATLAB代码示例：
```matlab
定义参数
T = 1; 最终时间
h = 0.01; 空间步长
t = 0:T/h:T; 时间向量
x = 0:h:1; 空间向量
n = length(x); 空间点的数量
m = length(t); 时间点的数量
初始化矩阵存储解
U = zeros(m, n);
U(:,1) = sin(pi*x); 初始条件
定义偏微分方程
pdepe('u_tt', U, t, x, 'heat', 'periodic');
使用pdepe求解偏微分方程
[U, ~] = pdepe(U, t, x);
绘制结果
surf(x, t, U);
```
这个代码示例使用了MATLAB的pdepe函数，这是一个用于求解偏微分方程的函数。
在上面的代码中，我们首先定义了参数，然后初始化了存储解的矩阵。
然后，我们定义了偏微分方程，并使用pdepe 函数求解它。
最后，我们使用surf函数绘制了结果。
最新偏微分方程数值解法的MATLAB源码说课讲解
最新偏微分方程数值解法的M A T L A B源码[ 原创]偏微分方程数值解法的MATLAB源码【更新完毕】说明：由于偏微分的程序都比较长，比其他的算法稍复杂一些，所以另开一贴，专门上传偏微分的程序谢谢大家的支持！其他的数值算法见：..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=82450041、古典显式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典显式格式求解抛物型偏微分方程%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x) %边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层……% x -空间变量% t -时间变量%输入参数：uX -空间变量x的取值上限% uT -时间变量t的取值上限% phi -初值条件，定义为内联函数% psi1 -边值条件，定义为内联函数% psi2 -边值条件，定义为内联函数% M -沿x轴的等分区间数% N -沿t轴的等分区间数% C -系数，默认情况下C=1 % %应用举例：%uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1; %phi=inline('sin(pi*x)');p si1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C); %设置参数C的默认值if nargin==7 C=1; end %计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=C*dt/dx/dx;%步长比r1=1-2*r; if r > 0.5 disp('r > 0.5,不稳定') en d %计算初值和边值U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U (1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end %逐层求解for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=r*U(i-1, j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j); end end U=U'; %作出图形mesh(x,t,U); title('古典显式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t') zlabel('一维热传导方程的解 U') retur n;古典显式格式不稳定情况古典显式格式稳定情况2、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）function [U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典隐式格式求解抛物型偏微分方程%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x) %边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层……% x -空间变量% t -时间变量%输入参数：uX -空间变量x的取值上限% uT -时间变量t的取值上限% phi -初值条件，定义为内联函数% psi1 -边值条件，定义为内联函数% psi2 -边值条件，定义为内联函数% M -沿x轴的等分区间数% N -沿t轴的等分区间数% C -系数，默认情况下C=1 % %应用举例：%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;C=1; %phi=inline('sin(pi*x)');psi 1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C); %设置参数C的默认值if nargin==7 C=1; end %计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=C*dt/dx/dx;%步长比Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素Low= zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素for i=1:M-2 Diag(i)=1+ 2*r; Low(i)=-r; Up(i)=-r; end Diag(M-1)=1+2*r; %计算初值和边值U=zeros(M+1,N+1); for i =1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end %逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward）for j=1:N b1=zeros(M-1,1); b1(1)= r*U(1,j+1); b1(M-1)=r*U(M+1,j+1); b=U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low, Diag,Up,b); end U=U'; %作出图形mesh(x,t,U); title('古典隐式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t') zlabel('一维热传导方程的解 U') return;此算法需要使用追赶法求解三对角线性方程组，这个算法在上一篇帖子中已经给出，为了方便，再给出来追赶法解三对角线性方程组function x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %追赶法求解三对角线性方程组Ax=b %x=EqtsForwar dAndBackward(L,D,U,b) %x:三对角线性方程组的解%L:三对角矩阵的下对角线，行向量%D:三对角矩阵的对角线，行向量%U:三对角矩阵的上对角线，行向量%b:线性方程组Ax=b中的b，列向量% %应用举例: %L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1]'; %x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U, b) %检查参数的输入是否正确n=length(D);m=length(b); n1=length(L);n2=length(U); if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m disp('输入参数有误！') x=' '; return; end %追的过程for i=2:n L(i-1)=L (i-1)/D(i-1); D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1); end x=zeros(n,1); x(1)=b(1); for i=2:n x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);end %赶的过程x(n)=x(n)/D(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i); end return;古典隐式格式在以后的程序中，我们都取C=1，不再作为一个输入参数处理3、Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程需要调用追赶法的程序function [U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) %Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程%[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) % %方程：u_t=u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t < = uT %初值条件：u(x,0)=phi(x) %边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层……% x -空间变量%t -时间变量%输入参数：uX -空间变量x的取值上限% uT -时间变量t的取值上限% p hi -初值条件，定义为内联函数% psi1 -边值条件，定义为内联函数% psi2 -边值条件，定义为内联函数% M -沿x轴的等分区间数% N -沿t轴的等分区间数% %应用举例：%uX= 1;uT=0.2;M=50;N=50; %phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicCN (uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N); %计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx; t= (0:N)*dt; r=dt/dx/dx;%步长比Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素for i=1:M-2 Diag(i)=1+r; Low(i)=-r/2;Up(i)=-r/2; end Diag(M-1)=1+r; %计算初值和边值U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end B=zeros(M-1,M-1); for i=1:M-2 B(i,i)=1-r; B(i,i+1)=r/2; B(i+1,i)=r/2; end B(M-1,M-1)=1-r; %逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward）for j=1:N b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2; b=B*U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward (Low,Diag,Up,b); end U=U'; %作出图形mesh(x,t,U); title('Crank-Nicolson隐式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t') zlabel('一维热传导方程的解 U') return;Crank-Nicolson隐式格式4、正方形区域Laplace方程Diriclet问题的求解需要调用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解线性方程组function [U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) %正方形区域Laplace 方程的Diriclet边值问题的差分求解%此程序需要调用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解线性方程组%[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) % %方程：u_xx+u_ yy=0 0<=x,y<=ub %边值条件：u(0,y)=phi1(y) % u(ub,y)=phi2(y) % u(x,0)=psi1(x) % u (x,ub)=psi2(x) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示y=0时的值，第二行表示第y=h时的值……% x -横坐标% y -纵坐标%输入参数：ub -变量边界值的上限% phi1,phi2,psi1,psi2 -边界函数，定义为内联函数% M -横纵坐标的等分区间数% type -求解差分方程的迭代格式，若t ype='Jacobi'，采用Jacobi迭代格式% 若type='GS'，采用Guass-Seidel迭代格式。
偏微分方程解的几道算例(差分、有限元)-含matlab程序(1)
A(i-1,i)=-r; A(i,i-1)=-r; end end u=zeros(N+1,M+1); u(N+1,:)=u1; for k=1:N b=u(N+2-k,2:M)+0.02; u(N+1-k,2:M)=inv(A)*b';%求解迭代方程组 end uT=u(1,:);%0.25时刻的解 %精确解与数值解画图 x1=[0,x,1]; plot(x1,uT,'o') hold u_xt = exp (-pi*pi*T)*sin (pi*x1) + x1.*(1 - x1); plot (x1, u_xt, ' r') e=u_xt-uT; 六点格式 function [e]=six(dx,dt,T) %用六点对称格式求解，dx为x方向步长，dt为t方向步长 % e为误差 M=1/dx; N=T/dt; %得到第一层的值 u1=zeros(1,M+1); x=[1:M-1]*dx; u1([2:M])= sin(pi*x)+x.*(1 - x); %网比 r=dt/dx/dx;r2=2+2*r;r3=2-2*r; %构造三对角矩阵A for i=1:M-1 A(i,i)=r2;
0.0070 0.0027
-0.0097 -0.0037
-0.0013 -0.0005
0.0082 0.0000
-0.0114 0.0000
-0.0015 0.0000
0.0087 -0.0120
-0.0016
注：这里的"误差"=精确解-数值解. 2.精确解与数值解结果图像对比
“向前差分格式”：
Matlab求解微分方程及偏微分方程
第四讲Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的, 特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一.相关函数、命令及简介1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数, D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve（＜eqnl，,，eqn2函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解. 但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver,其一般格式为：［T,Y］=solver（odefun,tspan,yO）说明：（1 ）solver 为命令ode45、ode23、odel 13、odel5s、ode23s、ode23t、ode23tb、odel5i 之一.（2）odefun是显示微分方程），=f （t,y）在积分区间tspan =［心心］上从心到“用初始条件儿求解.（3）如果要获得微分方程问题在其他指定时间点bG©…心上的解，则令（span = 『“，•••『/■］（要单调的）.（4）因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供T多种求解器solver,对于不同的ODE问题，采用不同的solver.程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.。
matlab 求解偏微分方程组
一、介绍Matlab是一种强大的数学计算工具，用于解决各种数学问题，包括求解偏微分方程组。
偏微分方程组是描述自然界中许多物理现象的数学模型，其求解对于科学研究和工程应用具有重要意义。
在Matlab中，可以通过多种方法来求解偏微分方程组，包括有限差分方法、有限元方法、谱方法等。
本文将对Matlab中求解偏微分方程组的方法进行介绍和讨论。
二、有限差分方法有限差分方法是一种常用的求解偏微分方程组的数值方法。
其基本思想是将连续的变量离散化为有限个点，并利用差分逼近来近似偏微分方程的导数。
在Matlab中，可以通过编写相应的差分方程组来求解偏微分方程组。
对于二维热传导方程，可以将偏导数用中心差分逼近，并构建相应的差分方程来求解温度分布。
通过循环迭代的方式，可以逐步逼近偏微分方程的解，并得到数值解。
三、有限元方法有限元方法是另一种常用的求解偏微分方程组的数值方法。
其基本思想是将求解区域离散化为有限个单元，并在每个单元内建立近似函数来逼近原始方程。
在Matlab中，可以利用有限元建模工具箱来构建离散化的网格，并编写相应的有限元方程来求解偏微分方程组。
对于弹性力学方程，可以利用有限元方法来求解结构的位移和应力分布。
通过求解线性方程组，可以得到离散化网格上的数值解。
四、谱方法谱方法是一种利用特定基函数展开偏微分方程解的方法。
其基本思想是选取适当的基函数，并通过展开系数来得到偏微分方程的数值解。
在Matlab中，可以通过谱方法工具箱来实现对偏微分方程组的求解。
对于波动方程，可以利用正交多项式展开来逼近波函数，通过选取适当的基函数和展开系数，可以得到偏微分方程的数值解。
五、总结在Matlab中，有多种方法可以用来求解偏微分方程组，包括有限差分方法、有限元方法、谱方法等。
这些方法各有特点，适用于不同类型的偏微分方程和求解问题。
通过合理地选择方法和编写相应的数值算法，可以在Matlab中高效地求解偏微分方程组，为科学研究和工程应用提供重要支持。