有限差分法求解偏微分方程MATLAB教学教材
有限差分法Matlab实现课件
函数与脚本
03
Matlab中的函数和脚本可以用来组织代码和实现特
定功能，支持参数传递和局部变量。
Matlab的数据类型
数值型
数值型变量用于存储数字数据，包括整数 和浮点数。
单元数组
单元数组是一种特殊的数据类型，可以用 来存储多个字符串或数值型数据，每个元 素用方括号括起来。
总结词：三维有限差分法是求解偏微分方程的一种数值 方法，通过在三个方向上将方程离散化，用差分近似代 替微分，从而将原问题转化为求解一系列线性方程组。
1. 将求解区域划分为一系列离散的网格点；
详细描述：三维有限差分法通常采用如下的步骤进行实 现
2. 用差分近似代替微分，将原微分方程转化为差分方 程；
3. 利用线性方程组的求解方法，如高斯消元法、迭代法 等，求解差分方程；
r(i,i+1) = -2/h^2 + x(i+1)^2/h^2;
b(i) = (u(i+1) - 2*u(i) + u(i-1))/h^2 x(i)^2*u(i)/h^2;
一维有限差分法的代码示例及解析
end
r(1,1) = r(N,N) = 4/h^2;
b(1) = b(N) = (u(2) - u(1))/h^2;
在图像处理中的应用
图像去噪
有限差分法可以用来对图像进行去噪处理，通过减少图像中的噪声 来提高图像质量。
图像增强
有限差分法可以用来增强图像的边缘和细节，提高图像的视觉效果 。
图像重建
有限差分法可以用来从部分图像中重建出完整的图像，应用于计算 机视觉、模式识别等领域。
05
CATALOGUE
Matlab实现的代码示例及解析
matlab有限差分法求解非齐次偏微分方程
《使用 MATLAB 有限差分法求解非齐次偏微分方程》在科学和工程领域，偏微分方程是描述自然现象和过程中关键的数学工具。
非齐次偏微分方程作为其中的一个重要分支，在描述真实世界中的复杂现象方面具有广泛的应用。
而 MATLAB 作为一个强大的数学建模和计算工具，其有限差分法求解非齐次偏微分方程的能力受到了广泛关注。
在本文中，我们将以 MATLAB 为工具，探讨有限差分法如何用于求解非齐次偏微分方程，以及其中涉及的深度和广度。
1. 偏微分方程及有限差分法简介当我们研究自然界中的变化和现象时，经常会遇到连续变量之间的相关性和变化规律。
偏微分方程便是用来描述这些连续变量之间关系的数学工具。
而有限差分法则是一种数值计算方法，通过将连续的变量离散化，将偏微分方程转化为代数方程组，从而求解偏微分方程的数值解。
2. 非齐次偏微分方程的求解非齐次偏微分方程与常见的齐次偏微分方程相比，具有更复杂的边界和初始条件，因此其求解方法也更为复杂。
通过有限差分法，我们可以将非齐次偏微分方程转化为离散的代数方程组，进而求解出数值解。
3. MATLAB 中有限差分法的实现MATLAB 提供了丰富的数学建模和计算工具，包括用于求解偏微分方程的函数和工具箱。
通过调用这些函数和工具箱，我们可以方便地实现有限差分法对非齐次偏微分方程的求解。
4. 示例应用与个人观点我们将以一个实际的例子，展示 MATLAB 中有限差分法求解非齐次偏微分方程的过程，并共享对这一过程的个人观点和理解。
通过该示例，我们能更深刻地理解有限差分法在求解非齐次偏微分方程中的应用，以及其中涉及的数学原理和算法流程。
总结与回顾在本文中，我们以 MATLAB 为工具，探讨了有限差分法求解非齐次偏微分方程的深度和广度。
通过对有限差分法的基本原理和实际应用进行全面评估，我们详细介绍了有限差分法在求解非齐次偏微分方程中的具体步骤和流程。
我们也共享了在示例应用中对这一过程的个人理解和观点，以期帮助读者更全面、深刻和灵活地理解该主题。
matlab有限差分法求解非齐次偏微分方程
matlab有限差分法求解非齐次偏微分方程【导语】本文将介绍matlab有限差分法在求解非齐次偏微分方程中的应用。
非齐次偏微分方程是数学和物理学中的常见问题之一，它们描述了许多实际系统的行为。
通过有限差分法，可以将偏微分方程转化为差分方程，从而利用计算机来求解。
本文将从原理、步骤和实例三个方面来分析非齐次偏微分方程的有限差分法求解过程。
【正文】一、原理有限差分法是将连续函数在一系列有限的点上进行逼近的方法。
它的基本思想是用差分代替微分，将偏导数转化为差分算子。
通过对空间和时间离散化，将非齐次偏微分方程转化为差分方程组，再利用数值计算的方法求解这个差分方程组，从而得到非齐次偏微分方程的近似解。
具体而言，有限差分法将求解区域划分为网格，并在网格上近似表示偏微分方程中的函数。
利用中心差分公式或向前、向后差分公式来近似计算偏导数。
通过将偏微分方程中的微分算子替换为差分近似，可以将方程转化为一个代数方程组，进而求解得到非齐次偏微分方程的近似解。
二、步骤1. 确定求解的区域和方程：首先要确定求解的区域，然后确定非齐次偏微分方程的形式。
在matlab中，可以通过定义一个矩阵来表示求解区域，并将方程转化为差分算子形式。
2. 离散化：将求解区域划分为网格，确定每个网格点的位置，建立网格点之间的连接关系。
通常，使用均匀网格来离散化求解区域，并定义网格点的坐标。
3. 建立差分方程组：根据偏微分方程的形式和离散化的结果，建立差分方程组。
根据中心差分公式，用网格点上的函数值和近邻点的函数值来近似计算偏导数。
将差分算子应用于非齐次偏微分方程的各个项，得到差分方程组。
4. 求解差分方程组：利用线性代数求解差分方程组。
将方程组转化为矩阵形式，利用matlab中的线性方程组求解功能，得到差分方程组的近似解。
通过调整求解区域划分的精细程度和差分算子的选取，可以提高求解的精度。
5. 回代和结果分析：将求解的结果回代到原非齐次偏微分方程中，分析其物理意义和数值稳定性。
差分法求解偏微分方程MAAB
南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨学号：成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：具体求解的偏微分方程如下：2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。
二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-differencemethods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。
有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+-(2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k kt t x x h τ++-=⎧⎨-=⎩(2-2) 2.1古典显格式2.1.1古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂(2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂(2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂(2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂(2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu u u x t u x t x x x x o x x x xu u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku u u x t u x t h h o h x xu u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩(2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t uo h x h+--+∂=+∂(2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k k i i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k k k k k i i i i i i u u uu u f hτατ++----+=(2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++(2-13)2r hτ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。
(完整版)偏微分方程的MATLAB解法
引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。
人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。
然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。
现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。
偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
常用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。
(完整版)偏微分方程的MATLAB解法
引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。
人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。
然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。
现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。
偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
常用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。
有限差分法求解偏微分方程MATLAB
南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程*名：**学号： 1成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：22(,)()u uf x t t xαα∂∂-=∂∂其中为常数具体求解的偏微分方程如下：22001(,0)sin()(0,)(1,)00u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==≥⎪⎪⎩2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。
二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。
有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k kt t x x h τ++-=⎧⎨-=⎩ (2-2) 2.1 古典显格式2.1.1 古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂ (2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂ (2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂ (2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂ (2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu uu x t u x t x x x x o x x x x u u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku uu x t u x t h h o h x xu u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩ (2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t u o h x h+--+∂=+∂ (2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得21112(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ++---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k k i i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k k k k k i i i i i i u u uu u f h τατ++----+= (2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++ (2-13)2r h τ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。
偏微分方程的matlab解法讲课文档
现在二十五页，总共二十五页。
Байду номын сангаас
初始条件
现在三页，总共二十五页。
先确定方程大类
现在四页，总共二十五页。
Draw Mode
画图模式，先将处理的区域画出来，二维， 方形，圆形，支持多边形，可以手动更改坐
标，旋转rotate
例如，对于细杆导热，虽然是一维问题， 可以将宽度y虚拟出来，对应于y的边界条 件和初始条件按照题意制定
现在五页，总共二十五页。
°C，板的右边热量从板向环境空气定常流动，其他边及内孔边界保
持绝缘。初始
题;
t t 是板的温度为0 °C ，于是概括为如下定解问 0
d u u0 , t
u 1 0 0 ,在 左 边 界 上
u 1， 在 右 边 界 上 n u = 0， 其 他 边 界 上 n
u t to 0
区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,0.8)。 内边界顶点坐标(-0.05,-0.4), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4), (0.05,0.4)。
MATLAB形成M文件．
现在十六页，总共二十五页。
现在十七页，总共二十五页。
第四步：设置方程类型
选择PDE菜单中PDE Mode命令，进入PDE模式， 再单击PDE菜单中PDE Secification选项，打开
PDE Secification对话框，设置方程类型．
本例取抛物型方程 du(cu)auf, t
Conditions选项，打开Boundary Conditions对话框， 输入边界件．本例取默认条件，即将全部边界设为齐次
Dirichlet条件，边界显示为红色． 如果想将几何与边界信息存储，可选Boundary菜单 中的Export Decomposed Geometrv．Boundary
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有限差分法求解偏微分方程M A T L A B南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨学号： 115104000545成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：22(,)()u uf x t t xαα∂∂-=∂∂其中为常数具体求解的偏微分方程如下：22001(,0)sin()(0,)(1,)00u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==≥⎪⎪⎩2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。
二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。
有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k k t t x x hτ++-=⎧⎨-=⎩ (2-2) 2.1 古典显格式2.1.1 古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂ (2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂ (2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂ (2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂ (2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu uu x t u x t x x x x o x x x x u u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku uu x t u x t h h o h x x u u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩ (2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t u o h x h+--+∂=+∂ (2-9)将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得21112(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ++---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k ki i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k kk k k i i i i i i u u uu u f hτατ++----+= (2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++ (2-13)2r hτ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。
2.1.2 古典显格式稳定性分析古典显格式(2-13)写成矩阵形式为()112k k k h h h u ra I raC u f τ+=-++⎡⎤⎣⎦(2-14)12212,(,,......,,)k k k k kh N N r u u u u u h τ--==其中。
(1)(1)01010*********N N C -⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L MM L 上面的C 矩阵的特征值是：2cos()1,2,......,1C j h j N λπ==-()12H ra I raC =-+()()()212=122cos()121cos()14sin 1,2,......,12H j C ra ra ra ra j h ra j h j hra j N λλπππ=-+-+=--=-=- (2-15)使()1H ρ≤，即2114sin 12j hra π-≤-≤ 102ra ≤≤结论：当102ra ≤≤时，所以古典显格式是稳定的。
2.2 古典隐格式2.2.1 古典隐格式的推导 将1k t t -=代入式 (2-3)得21,11(,)(,)()()(())j k j k j k k k k k uu x t u x t t t o t t t---∂=+-+-∂ (2-16) 21,(,)(,)()()j k j k j k uu x t u x t o tττ-∂=-⋅+∂ (2-17)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()j k j k j k u x t u x t uo t ττ--∂+∂ (2-18) 将式(2-9)、(2-18)原方程得到11122(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()j k j k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ-+---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦(2-19)为了方便把(2-19)写成11122k k k k kj jj j j k j u u u u u f h ατ-+-⎡⎤--+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-20) ()11122k k kk k kj jj j j j u u uu u f h τατ-+----+= (2-21)最后得到古典隐格式的差分格式为()111(12)k k k k k j j j jj ra u r u u u f ατ-+-+-+=+ (2-22) 2r hτ=其中，古典隐格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。
2.2.2 古典隐格式稳定性分析将古典隐格式(2-22)写成矩阵形式如下()1212()k k kh h hra I raC u u f r h ττ++-=+=⎡⎤⎣⎦ (2-23)误差传播方程()112k k hh ra I raC v v ++-=⎡⎤⎣⎦ (2-24) ()12,A ra I raC B I=+-=所以误差方程的系数矩阵为()1112H A ra I raC --==+-⎡⎤⎣⎦()11,2,......,1122cos H j j N ra ra j hλπ==-+-使()1H ρ≤，显然()21122cos()112(1cos())114sin 2H j ra ra j h ra j h j h ra λπππ=+-=+-=+1H j λ≤恒成立。
结论：对于0r ∀>，即任意网格比下，古典隐格式是绝对稳定的。
2.3 Richardson 格式2.3.1 Richardson 格式的推导 将11k k t t t t +-==和，代入式(2-3)得21,1121,11(,)(,)()()(())(,)(,)()()(())i k i k i k k k k k i k i k i k k k k ku u x t u x t t t o t t t u u x t u x t t t o t t t +++---∂⎧=+-+-⎪⎪∂⎨∂⎪=+-+-⎪∂⎩(2-25) 即21,21,(,)(,)()()(,)(,)()()i k i k i k i k i k i ku u x t u x t o t u u x t u x t o t ττττ+-∂⎧=+⋅+⎪⎪∂⎨∂⎪=-⋅+⎪∂⎩(2-26) 由此得到可得211,(,)(,)()()2i k i k i k u x t u x t uo t ττ++-∂=+∂ (2-27)将式(2-9) 、(2-27)代入原方程得到下式2211112(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()2i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ+-+---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦(2-28) 为了方便可以把式(2-28)写成1111222k k k k k ki i i i i i u u u u u f h ατ+-+-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-29) 即()111122k k kk k k i i i i i i u u uu u f hτατ+-+----+= (2-30)最后得到Richardson 显格式的差分格式为()1111222k k k k k k i i i i i i u r u u u u f ατ+-+-=-+++ (2-31)2r hτ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是22()o h τ+。