用MATLAB求解微分方程.
用Matlab解微分方程
用Matlab 软件求解微分方程1．解析解（1）一阶微分方程 求21y dxdy +=的通解：dsolve('Dy=1+y^2','x') 求y x dxdy -+=21的通解：dsolve('Dy=1+x^2-y','x') 求⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)0(12y y dx dy 的特解：dsolve('Dy=1+y^2',’y(0)=1’,'x')（2）高阶微分方程 求解⎩⎨⎧-='==-+'+''.2)2(,2)2(,0)(222πππy y y n x y x y x 其中，21=n ，命令为： dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-0.5^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x') 求042=-+'-'''x y y y 的通解，命令为：dsolve('D3y-2*Dy+y-4*x=0','x')输出为：ans=8+4*x+C1*exp(x)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+1)*x)+C3*exp(1/2*(5^(1/2)-1)*x)（3）一阶微分方程组求⎩⎨⎧+-='+=').(3)(4)(),(4)(3)(x g x f x g x g x f x f 的通解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','x') 输出为： f =exp(3*x)*(cos(4*x)*C1+sin(4*x)*C2)g =-exp(3*x)*(sin(4*x)*C1-cos(4*x)*C2)若再加上初始条件1)0(,0)0(==g f ，则求特解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1','x')输出为： f =exp(3*x)*sin(4*x)g =exp(3*x)*cos(4*x)2．数值解（1）一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-=.1)0(,10,2y x y x y dxdy 现以步长h=0.1用“4阶龙格—库塔公式”求数值解： 先建立“函数M —文件”：function f=eqs1(x,y)f=y-2*x/y;再命令： 格式为：[自变量,因变量]=ode45(‘函数文件名’,节点数组,初始值) 命令为： [x,y]=ode45('eqs1',0:0.1:1,1)若还要画图，就继续命令： plot(x,y)（2）一阶微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-='≤≤-+='.3.0)0(,2.0)0(,2sin ,10,2cos 21212211y y y y x y x y y x y 只须向量化，即可用前面方法： function f=eqs2(x,y)f=[cos(x)+2*y(1)-y(2);sin(x)-y(1)+2*y(2)];将此函数文件，以文件名eqs2保存后，再下命令：[x,y]=ode45('eqs2',0:0.1:1,[0.2;0.3])（注：输出的y 是矩阵，第i 列为函数i y 的数值解）要画图，继续命令：hold on,plot(x,y(:,1)),plot(x,y(:,2)),hold off（3）高阶微分方程先化成一阶微分方程组，再用前面方法。
matlab如何解一阶微分方程
matlab如何解一阶微分方程
在MATLAB中，可以使用dsolve函数来求解一阶微分方程。
dsolve函数是MATLAB的符号计算工具箱提供的方程求解器，可用于求解微分方程的解析解。
下面是使用dsolve函数求解一阶微分方程的基本步骤：
1.定义微分方程：首先，需要定义微分方程，使用syms函
数声明符号变量，并使用符号变量编写微分方程。
例如，定义一个一阶线性常微分方程 dy/dt = -2*y + 3：
syms t y(t)
eqn = diff(y(t), t) == -2*y(t) + 3;
2.求解微分方程：调用dsolve函数，将微分方程作为参数传
递给它：
sol = dsolve(eqn);
3.显示结果：通过使用disp函数或直接调用解sol来显示求
得的微分方程的解析解。
例如，使用disp函数来显示解析解：
disp(sol);
完整的示例代码如下：
syms t y(t)
eqn = diff(y(t), t) == -2*y(t) + 3;
sol = dsolve(eqn);
disp(sol);
上述代码将输出微分方程的解析解。
值得注意的是，dsolve函数可以处理各种类型的微分方程，但并不是所有微分方程都存在解析解。
对于某些复杂的微分方程，可能需要使用数值方法进行求解或者求得近似解。
对于需要数值求解的情况，可以使用ode45等数值求解器函数，如前面提到的方法。
Matlab求解微分方程
4、求解微分方程：2'xy yy=-，()01y=，h=0.2，区间为[0,1];%建立微分方程函数；function yd=f(x,y)if nargin==2yd=y-2*x/y;endend%欧拉方法程序；%x0为给定的初值x，y0为给定的初值y；%n为需要计算的次数；%h为步长；%f（x）为建立的微分方程函数；function [x,y]=oula(x0,y0,n,h)x0=input('Please enter the value of x0:'); y0=input('Please enter the value of y0:'); n=input('Please enter the value of n:'); h=input('Please enter the value of h:'); y=[y0];x=[x0];for k=1:1:ny1=y0+h*(y0-2*x0/y0);y(k+1)=y1;y0=y1;x0=x0+h;x(k+1)=x0;endend此题中，h=0.2，区间为[0，1]，所以n=5，程序运行结果为x= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000y= 1.0000 1.2000 1.3733 1.5315 1.6811 1.8269%欧拉改进方法程序；%x0为给定的初值x，y0为给定的初值y；%n为需要计算的次数；%h为步长；%f（x）为建立的微分方程函数；function [x,y]=oulagai(x0,y0,n,h)x0=input('Please enter the value of x0:');y0=input('Please enter the value of y0:');n=input('Please enter the value of n:');h=input('Please enter the value of h:');y=[y0];x=[x0];for k=1:1:nyp=y0+h*f(x0,y0);yc=y0+h*f(x0+h,yp);y1=(yp+yc)/2;y(k+1)=y1;y0=y1;x(k+1)=x0+h;x0=x0+h;endend程序运行结果x= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 y=1.0000 1.1867 1.3483 1.4937 1.6279 1.7542 若改变微分方程，需将原方程函数改变。
matlab最小二乘法求微分方程系数
matlab最小二乘法求微分方程系数在Matlab中，可以使用最小二乘法来求解微分方程的系数。
最小二乘法是一种统计方法，用于寻找一组参数，使得这组参数与数据之间的误差平方和最小化。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的步骤：1. 首先，定义微分方程的形式，如y'(t) = a * y(t) + b *u(t)，其中y'(t)表示y关于t的导数，a和b是待求解的系数，u(t)是输入函数。
2. 生成输入数据u(t)和对应的输出数据y(t)。
将输入数据和输出数据存储在向量中。
3. 创建误差函数，该函数计算模型预测值与实际输出值之间的误差。
根据微分方程的形式，计算预测值y_pred(t) = a * y(t-Δt) + b * u(t-Δt)，其中Δt是时间步长。
4. 使用Matlab的非线性最小二乘函数（如lsqnonlin）来求解最小二乘问题。
将误差函数作为目标函数，并给定初始猜测的参数值，通过迭代优化参数值以最小化误差函数。
5. 获取最优参数值。
下面是使用Matlab实现最小二乘法求解微分方程系数的示例代码：```matlab% 定义微分方程形式 y'(t) = a * y(t) + b * u(t)% 生成输入数据 u(t) 和输出数据 y(t)% 将输入数据和输出数据存储在向量 u 和 y 中% 创建误差函数function error = diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt)a = x(1);b = x(2);y_pred = a * y(1:end-1) + b * u(1:end-1);error = y(2:end) - y_pred;end% 给定初始猜测的参数值x0 = [1, 1];% 使用 lsqnonlin 求解最小二乘问题coefficients = lsqnonlin(@(x) diff_eqn_coefficients(x, u, y, dt), x0);% 获取最优参数值a = coefficients(1);b = coefficients(2);```在实际应用中，需根据具体的微分方程形式和数据进行适当的修改和调整。
matlab求解微分方程
Matlab求解微分方程教学目的：学会用MATLAB求简单微分方程的解析解、数值解，加深对微分方程概念和应用的理解；针对一些具体的问题，如追击问题，掌握利用软件求解微分方程的过程；了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；体会微分方程建摸的艺术性．1微分方程相关函数（命令）及简介因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver．阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．2 求解微分方程的一些例子2.1 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子：例1：求解微分方程22x xe xy dxdy -=+，并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2diff(y ,x)+2 *x*y-x*exp(-x^2) %line3simplify(diff(y ,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4说明：(1) 行line1是用命令定义x,y 为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4) 行line4 用 simplify() 函数对上式进行化简，结果为 0， 表明)(x y y =的确是微分方程的解．例2：求微分方程0'=-+x e y xy 在初始条件e y 2)1(=下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为：syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab 格式)，即x e e y x+=，此函数的图形如图 1：图1 y 关于x 的函数图象2.2 用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例３：求解微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1)0(2222y x x y dx dy 的数值解，求解范围为区间[0, 0.5]．fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); x; yplot(x,y ,'o-')>> x'ans =0.0000 0.0400 0.0900 0.1400 0.1900 0.24000.2900 0.3400 0.3900 0.4400 0.4900 0.5000>> y'ans =1.0000 0.9247 0.8434 0.7754 0.7199 0.67640.6440 0.6222 0.6105 0.6084 0.6154 0.6179图形结果为图2．图2 y关于x的函数图像3 常微分在实际中的应用3.1 导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A（1，0）处的乙舰发射导弹，导弹v沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度始终对准乙舰。
matlab傅里叶谱方法求解微分方程
matlab傅里叶谱方法求解微分方程1. 前言微分方程作为数学中重要的研究对象之一，其在各个领域均有着重要的应用。
而求解微分方程的方法也有很多种，其中傅里叶谱方法是一种常用且有效的方法之一。
本文将介绍如何使用matlab中的傅里叶谱方法求解微分方程，并通过一个具体的例子来说明其求解过程和结果。
2. 傅里叶谱方法简介傅里叶谱方法（Fourier spectral method）是一种基于傅里叶级数展开的方法，通过将微分方程转化为频域上的代数方程来求解。
其基本思想是将微分方程中的未知函数表示为一组正交基（通常是正弦函数和余弦函数）的线性组合，然后通过傅里叶级数的性质将微分方程转化为方便求解的代数方程。
3. matlab中傅里叶谱方法的实现在matlab中，可以使用fft函数来进行傅里叶变换，将微分方程转化为频域上的代数方程。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示如何使用matlab中的傅里叶谱方法求解微分方程。
4. 例子：求解一维热传导方程考虑一维热传导方程：∂u/∂t = α*∂^2u/∂x^2其中，u(x, t)为温度分布，α为热传导系数。
为了使用傅里叶谱方法求解该方程，首先需要进行空间上的离散化，将u(x, t)表示为傅里叶级数的形式：u(x, t) = Σ(A_k(t)*exp(i*k*2πx/L))其中，A_k(t)为待定系数，L为空间的长度，k为频率。
将上述形式代入热传导方程，得到：∂A_k/∂t = -α*(2πk/L)^2*A_k通过这一步变换，我们将原本的偏微分方程转化为了关于A_k(t)的一组常微分方程，可以通过常微分方程的数值计算方法求解。
5. 结果展示通过matlab编写代码，可以对上述常微分方程进行数值求解，得到A_k(t)的解。
进而通过傅里叶级数的线性叠加，可以得到u(x, t)的近似解，并画出其空间分布随时间的演化图。
这样就可以直观地观察到热传导方程的解随时间的变化规律。
用MATLAB求解微分方程
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结 果：u = tan(t-c)
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
STEP2
STEP1
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
由(1),(2)消去t整理得模型:
解法二(数值解)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
matlab解带参数的微分方程
matlab解带参数的微分方程微分方程是描述物理和数学问题的重要方程之一。
它通常用于描述系统随时间的变化，并且在工程、物理、生物和经济等领域中都有广泛的应用。
MATLAB是一种强大的数值计算软件，可以用于解决微分方程的数值近似解。
在MATLAB中，可以使用ode45函数来求解带参数的微分方程。
ode45函数是一种常用的数值求解微分方程的方法，它使用了龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，并具有自适应步长控制和误差控制的功能，因此能够较准确地求解微分方程。
首先，我们需要定义一个匿名函数来表示微分方程。
假设我们要求解的微分方程是dy/dt = f(t, y, p)，其中y是未知函数的值，t 是自变量的值，p是参数。
可以使用如下方式定义这个函数：```MATLABfunction dydt = myODE(t, y, p)dydt = f(t, y, p); % f是一个给定的函数，用于计算dy/dtend```然后，我们可以使用ode45函数来求解微分方程。
其中，tspan表示求解的时间区间，y0表示初始条件，p表示参数。
可以使用如下方式调用ode45函数：```MATLAB[t, y] = ode45(@(t, y) myODE(t, y, p), tspan, y0);```在这个例子中，@(t, y) myODE(t, y, p)是一个匿名函数，它将t 和y作为输入，调用myODE函数来计算dy/dt，然后返回结果。
ode45函数将返回一个时间向量t和一个与t对应的解向量y。
在解得微分方程后，可以使用plot函数将结果可视化。
例如，如果要绘制y关于t的图像，可以使用如下方式：```MATLABplot(t, y);xlabel('t');ylabel('y');title('Solution of the differential equation');```以上代码将绘制出y关于t的图像，并添加了合适的坐标轴标签和标题。
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例 3 求微分方程组的通解. dx dt 2 x 3 y 3 z dy 4 x 5 y 3z dt dz 4 x 4 y 2 z dt
2. 用Matlab求常微分方程的数值解
[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s
由待解 方程写 成的m文件名
ts=[t0，tf]， 函数的 初值 t0、tf为自 变量的初 值和终值
ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') 3、结果如图 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰 发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度 v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求 导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
注意:
1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量， m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须 等价地变换成一阶微分方程组.
d 2x dx 2 1000(1 x 2 ) x 0 例 4 dt dt x(0) 2; x' (0) 0
5 5 ) 处时被导弹击中. 当 x 1时 y ，即当乙舰航行到点 (1, 24 24 y 5 被击中时间为 : t . 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. v0 24v0
例1 求
d2y dx
2
0 应表达为：D2y=0.
du 1 u 2 的通解. dt
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
运行结果：u = tan(t-c)
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)
运行结果为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2、取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')
例5
解微分方程组.
y1 ' y2 y3 y2 ' y1 y3 y3 ' 0.51y1 y2 y1 (0) 0, y2 (0) 1, y3 (0) 1
x
0
1 y' 2 dx 5v0 t
(2)
由(1),(2)消去t整理得模型:
1 (1 x) y" 1 y '2 5 初值条件为: y (0) 0
解即为导弹的运行轨迹:
4 5
(3)
y' (0) 0
6 5
5 5 5 y (1 x) (1 x) 8 12 24
解: 令 y1=x，y2=y1’
则微分方程变为一阶微分方程组：
y1 ' y2 2 y ' 1000 ( 1 y 2 1 ) y 2 y1 y (0) 2, y (0) 0 1 2
3、结果如图
2 1.5 1 0.5 0
1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
假设导弹在 t 时刻的位置为 P(x(t), y(t))，乙舰位于 Q(1, v0 t ) .
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
v0 t y y' 即有 1 x v0t (1 x) y' y 即
(1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍， 即
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12
解
1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);
用MATLAB求解微分方程
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等 表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程