二叉树

二叉树
在计算机科学中，树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构。

二叉树是每个节点最多有两个子树的有序树。

通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

值得注意的是，二叉树不是树的特殊情形。

在图论中，二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。

有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。

有了根结点后，每个顶点定义了唯一的根结点，和最多2个子结点。

然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。

(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第h 层外，其它各层(1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

(3)深度——二叉树的层数，就是深度。

性质
(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；
(2) 深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；
(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
若I为结点编号则如果I>1，则其父结点的编号为I/2；
如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。

(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。

h(N)为卡特兰数的第N项。

h(n)=C(n,2*n)/(n+1)。

（7）设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i 二叉树遍历编辑
遍历是对树的一种最基本的运算，所谓遍历二叉树，就是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有结点，使每一个结点都被访问一次，而且只被访问一次。

由于二叉树是非线性结构，因此，树的遍历实质上是将二叉树的各个结点转换成为一个线性序列来表示。

设L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树，则对一棵二叉树的遍历有三种情况：DLR（称为先根次序遍历），LDR（称为中根次序遍历），LRD （称为后根次序遍历）。

(1)先序遍历
首先访问根，再先序遍历左（右）子树，最后先序遍历右（左）子树，C语言代码如下：
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void XXBL(tree* root)
{
//Do Something with root
if(root->lchild!=NULL)
XXBL(root->lchild);
if(root->rchild!=NULL)
XXBL(root->rchild);
}
(2)中序遍历
首先中序遍历左（右）子树，再访问根，最后中序遍历右（左）子树，C语言代码如下
1 2 3 4 5 6 7 8
void ZXBL(tree* root)
{
if(root->lchild!=NULL)
ZXBL(root->lchild);
//Do Something with root
if(root->rchild!=NULL)
ZXBL(root->rchild);
}
(3)后序遍历
首先后序遍历左（右）子树，再后序遍历右（左）子树，最后访问根，C语言代码如下
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void HXBL(tree* root)
{
if(root->lchild!=NULL)
HXBL(root->lchild);
if(root->rchild!=NULL)
HXBL(root->rchild);
//Do Something with root
}
（4）层次遍历
即按照层次访问，通常用队列来做。

访问根，访问子女，再访问子女的子女（越往后的
层次越低）（两个子女的级别相同）
特殊的二叉树
1.完全二叉树
Complete Binary Tree
若设二叉树的高度为h，除第h 层外，其它各层(1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层从右向左连续缺若干结点，这就是完全二叉树。

2.满二叉树
Full Binary Tree
一个高度为h的二叉树包含正是2^h-1元素称为满二叉树。