基于二叉树模型的期权定价

S0u 如，我们将一个X股股票的长头寸和一份期权的短头寸组成一个交易组合。我们能够找到一个实数X使得当前交易组合不具有任何风险。期权到期时的价值在股票价格上涨时为
S0uX-fu
期权到期时价值在股票价格下降时为
S0dX-fd
令以上两个值相等，即
S0uX-fu=S0dX-fd
我们得出
或
或
(2.1)
其中
(2.2）
当股票的价格代入如上方法设置的一步二叉树当中时，这一系列式子可以来对期权进行一步定价。
优点：二叉树方法可以在多种期权（例如美式期权和欧式期权）中进行应用，原理简洁明确是其最大的优势，并且在前人的努力下，简单二叉树模型已经比较完善，其中的参数设置已经比较成熟，相对于其它模拟（如蒙特卡洛方法）方法来讲，二叉树方法需要的初始数据较少，适合大体趋势的模拟。
1.2
使用风险中性原则进行定价是Black-Scholes模型构造原则之一，此方法使得用这个模型得到的期权价格实质上是一个期望。其本身就是一个随机问题，那么我们要估计其数值解很自然的就可以想到数值模拟的算法。二叉树方法正是典型的的随机模拟算法之一，其思路清晰，且没有涉及过多复杂运算，是数值方法模拟的极优选择。对于计算机而言，如果采用数值模拟算法，就可以避免直接进行一些复杂微分方程的求数值解时不停地执行迭代循环的问题，大幅提升计算机运算速度。这主要是基于以下原因，首先，二叉树方法简洁易懂，不需要过多的数学及统计基础，只是基于概率论以及利息理论等简单内容的算法，另外，作为计算机模拟方法，二叉树方法过程并不复杂，计算量相对较小，一般只需30步迭代即可求得比较精确的期权价格，还有二叉树方法作为简单的模拟方法还有很大的发展空间，比如三叉树以及有股息的二叉树都是简单二叉树方法的发展。
我们首先来讨论一步二叉树中各节点股票价格以及期权价格，假设初始0时刻股票价格为S0，股票期权的价格为f，T表示期权的有效期，在期权此有效期内，股票的价格可能会由S0上涨到S0u，也有可能从S0下跌到S0d，其中u>1，d<1。当股票涨价时，这支股票价格增长的比率为u-1。当股票降价时，这支股票价格下跌的比率为1-d。假设如果股票价格变到S0u，相应的期权价格为fu；而股票价格变为S0d时，期权价格为fd。结果如图所示。
期权相关的研究从这种金融衍生品诞生起就开始了，金融从业者和投资者们想要依靠各种不同数学以及计算机工具来分析期权，想要从供求机制引导的市场波动中找出期权变化发展的隐藏规律，从而使自己获得最大的利润。1973 年，Black和Scholes得出的期权定价模型的出现是对于金融数学研究有重大意义，尤其是在期权定价方面，它是在金融市场的基本准则上建立的，模型在提出之后又经过不同的研究人员改进，基本符合市场的变化规律，并依此可以对未来的期权价格进行定价研究。令很多数学家和金融学家欣喜的一点就是Black和Scholes得出的期权定价模型在欧式期权的应用中有着性质优良的解析解，这一点让很多人眼前一亮同时也为其它更加复杂的衍生品的研究打下了良好的基础。
关键词：二叉树方法，Black-Scholes 模型，风险中性定价
Black-ScholesFormulaisthecoreofBlack-ScholesOptionPricingModelwhichprovidesapracticalmethodforoptionpricing.Ithasanalyticalsolutionswithgoodpropertiesinsomespecialsituations,forinstance,Europeanoptions.However,theanalyticalsolutionisdifficulttofindinmanyderivativemodelslikeAsianoptionsand American option.Asasortoftypicalstatisticalsimulationmethod,Binomial treeplaysveryimportantrolesinGraph Theory andothersignificantacademicfields.When it applies to the option price,binomial tree method has much more special use.Themainideaisthatwe put the binomial tree into effect,reapply this method and getnumericalresultsofoption price.By comparing the results of Black-Scholes formula with the results of binomial tree method,we come to the advantages and disadvantages of both method. Meanwhile,the study of the steps of binomial tree method is also included to get its relationship with the method’s results and accuracy,which leads us to understand this method deeply and rightly.However,we set many extra conditions,which pushes the situation further away from the real situation.The simple binomial tree method is supposed to be improved constantly in case the finance market changes ceaselessly. Ternary tree is a good supplement for the binomial tree.
随着这个模型的广泛应用，人们发现这个模型还是具有一定缺陷。正如很多这样的预测一样，在长期市场大环境下这个模型也许还有着不错的效果，然而金融市场越来越复杂，单纯的数学层面上的技术分析得到的结论往往不是那么尽如人意，于是人们开始不断的发展模型，向里面加入各种各样的新型变量，从而使其更加符合一小段时间下特定市场状况以得到更好的期权定价结果。但是这又带来另一个问题，随着模型越来越复杂，变量越来越多，计算模型的难度越来越大，求得解析解的情况已经很少，即使用一些现代的数学计算工具和软件，求解单个复杂的微分方程也是相当耗费时间和资源的，更不必说对于一些大的基金公司，要同时追踪上千上万只期权和股票，那么找到一个快速而且相对精准的计算方法就显得非常必要了。
期权又细分为两种：看涨期权和看跌期权。持有看涨期权的人可以在将来某特定时间选择使用该权利以某一确定价格即执行价格买入一定量的某种资产，持有看跌期权的人则可以在将来某特定时间选择使用该权利以某一特定价格卖出一定量的某种资产。我们平时所说的欧式期权、美式期权和由基本期权衍生的亚式期权是根据不同种类期权行使时间的差别而产生的。本文中，我们主要讨论欧式期权。欧式期权的特征为：期权持有人也即期权的长头寸方只有在期权到期日此特定时刻才能选择是否行使期权。这也为我们建立模型以及统计计算提供了便利。
Keywords:Binomial treemethod,Black-Scholesoptionpricingmodel,Risk-neutral valuation
第一章
1.1
金融数学这门学科是随着金融市场崛起后产生的一门衍生学科，作为为金融学和数学的交叉学科，它的主要想法就是收集大量金融市场中的实际数据，建立适当的数学模型并不断进行优化，利用一系列的现代数学工具（例如概率论、随机分析以及程序辅助）研究风险资产如金融衍生产品的定价，同时尽可能规避投资风险以及选择最优的消费投资策略。期权交易作为金融衍生品中的重要部分，18世纪后期在美国与欧洲市场有了初步的雏形，发展初期交易制度以及人们对这种新兴金融产品的认识还十分有限。那时的期权主要由商业自营者自己提出报价然后由出资人选择购买，因此商业自营者的报价一定会偏向于对自己有利的价格，正是由于这种不完备性期权交易的发展在当时一直受到各种因素的限制。到了1973年，横空出世的芝加哥交易所规范了期权合约标准了后期交易流程，使这种情况得到改善。
缺点：二叉树方法作为数值模拟方法，其随机性没有典型的随机模拟方法那么好，毕竟股票价格是在一定规律下随机波动，缺少随机性的设置使得二叉树模拟并不精确，尤其是在步数较少的情况下，而在步数过大时，计算复杂度较高，会耗时耗力。
风险中性定价是二叉树方法以及B-S公式模型中一个重要的原理和原则，所谓的风险中性定价（risk-neutral valuation）：指当对衍生品定价时，我们可以假设投资者是风险中性的。这个假设具体是指投资风险增长时，投资者并不需要额外的预期回报率。我们将所有的投资者都是风险中性的世界定义为风险中性世界(risk-neutral world）。当然，我们所生活的世界不是风险中性的，投资者所承受的风险越大，要求的回报也会越高。然而，我们发现当假设世界是风险中性时，给出衍生产品价格不但在风险中性世界是正确的，在我们所生活的世界里也是正确的。对于买方和卖方对于投资风险的厌恶程度这种感性的内容，我们无法用精确的数字来衡量，所以我们不得不设法躲避这个变量，而风险中性定价原则正好迎合了我们的需求。
举一个简单的例子：投资者购买了一份股票的欧式看涨期权，期权合约表明该合约的持有者可以在3个月之后以20元的价格买入一份大豆。3个月后的履约日，一份股票的价格涨到了22元，那么，该合约的持有者可以履行该合约，以20元的价格买入一份股票然后再以22元的当时市场价卖出，从而赚得了2元的差价。
2.2
二叉树方法、蒙特卡洛方法以及微分方程的有限差分方法等都是期权定价的重要方法，其中二叉树方法是对期权和其他衍生品进行估算而普遍使用的一种数值模拟方法。
Cox,Ross和Rubinstein在1979年提出的二叉树法是现在较为成熟的二叉树方法的思想基础，二叉树法中树图如下图所示，表示衍生品资产价格在有效期内按一定规律可能遵循的路径，从而更明显地分析真实期权，而且得出的模拟结果与Black-Scholes公式得到的结果是等价的，尤其是当二叉树方法的步数足够大的时候，二叉树方法得出的数值解与B-S公式得到的解析解基本没有差异。