青岛版园复习知识点

。
O
P
A
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法
正多边形
1、正多边形： 各边相等，各角 也相等的多边形叫做 正多边形。 如正五边形满足的条件是 AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
E
A
D


d＜r；

d = r；
d＞r .
P P P
O
r
·
A
直线与圆的位置关系：
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l ．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切点
D A C O
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆和等圆中相等的圆周角所 对的弧也相等.
·
B
E
半圆（或直径）所对的圆周角 是直角， 90°的圆周角所对的弦 是直径．
C2 C1 C3
A
O
·
B
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
点P在圆内 点P在圆上
点P在圆外
B
D
1
E
O C
∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180°，∠B=∠1
一、切线长定义 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长。
A
· O
P
切线与切线长的区 别与联系：
B
（1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。 B
中心角
O
·
半径R
边心距r
中心角 = 360 n

中心角
E
D
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
F
R
. .O
a
C
180 AOG = BOG = n A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r = 面积S =
R
2
（
a ） ， 2
2
1 1 L 边心距（r） = na 边心距（r） 2 2
O
B
• r E
F
C
大课堂68页5题
弧长和扇形面积
nR l= 180
S扇形 nR = 360
2
1 = lR 2
A D O B
什么是圆内接四边形？
C
如果一个四边形 的所有顶点都在 同一个圆上，那么
这个四边形叫做圆内接四边形
这个圆叫做这个四边形的外接圆。
圆内接四边形定理： A 圆的内接四边形的对角互 补，并且任意一个外角等 于它的内对角． 几何表达式：（如图）
圆的对称性 垂径定理及推论
C
·
垂径定理：垂直于弦的 直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
E A D B
O
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
内心： 三角形 内切圆 的圆心
O
探究2、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆 半径的求法
B
c R= —— 2
A
c O
a
b
C
探讨2：
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为 a+b-c c 则其内切圆的半径ｒ为: r = 2 （以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ） A 如：直角三角形的两 直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的 半径为______ 2cm 。 b D C c r O r E a
三角形的外接圆、内切圆
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 ⊙ O是△ABC的 外接 点O叫△ABC的 外心 ， 它是三角形 三边垂直平分线 2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 ⊙I是△DEF的 内切 圆， 点I是 △DEF的 内 心， 它是三角形 三条角平分线 的交点。 3. 三角形的内切圆能作____ 1 个,圆的外切三角形有 _____ 个,三角形的内心在三角形的_______. 无数 内部 的交点。 三角形， 圆，
A
． O
B
D
． I
图2 图1
C
E
F
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点ຫໍສະໝຸດ 图形Ao性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 C 部．
B 三角形三条 角平分线的 交点
B
A 1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
圆的中心对称
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
那么它们所对的圆心角相等 _____， 所对
的弦________ ； 相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，
B
C
2、正三角形是中心对称图形吗？是轴对称
图形？正五边形 呢？正六边形呢？……
边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
正n边形是轴对称图形.有n条对称轴.
一个正多边形的外接圆和内切圆的 公共圆心叫做这个正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的外接圆的圆 心角叫做正多边形的中心角. 内切圆的半径叫做正多边形 的边心距.
相等 那么他们所对的圆心角______ ，所对
的弧_________ ． 相等
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半. 如图：则有
1 ∠ACB= 2 AOB ；
1 ∠ADB= AOB ； 2
∠ ACB =∠ ADB .
⌒ 1.在一个圆中，并画出AB 所对的圆周角能
画多少个？它们有什么关系？ 2.在同圆和等圆中，如果两个弧 相等，它们所对的圆周角一定 相等吗？为什么？反过来呢？
B
等边三角形外接圆、内切圆半径
的求法
A
基本思路： 构造三角形BOD，BO为外接圆半径， DO为内切圆半径。
R
O r
B
D
C
R外接=
r内切=
探究3： 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长 之和为L，△ABC 的面积S,我们会有什么结论? A
1 = 三角形面积 S 2 rL
D
（L为三角形周 长，r为内切圆 半径）
切线
交点
割线
切线的判定
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? 切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线 是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆 的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这 点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与 这直线垂直。 简记为：有交点,连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公 共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线, 再证垂线段长等于半径长。 简记为：无交点,作垂直,证半径。